Prólogo: Las preguntas de la ciencia
Decir que para entender el mundo en que vivimos es necesario entender la ciencia
se ha convertido en un tópico que casi nadie discute. ¾Cómo no estar de acuerdo con
esto en el siglo XXI, cuando nuestra vida está con gurada a todos los niveles por la
ciencia y la tecnología? Sin embargo, entender la ciencia puede tener dos sentidos:
entender su contenido o entender su funcionamiento. Y ahí empiezan las diferencias
de opinión.
Si lo que queremos es aprobar una asignatura o estar informados, basta con
conocer los contenidos. Para eso están los libros de texto, y hay también muchos excelentes
libros de divulgación cientí ca. Pero si se trata de entender el funcionamiento
de la ciencia, ni los libros de texto ni los de divulgación son de mucha utilidad. Los
libros de texto, condicionados a cubrir un temario, suelen contarnos las respuestas
sin que sepamos cuales eran las preguntas, y darnos soluciones a problemas que no
nos habíamos planteado. Nos dicen lo que se descubrió, pero no por qué se descubrió
eso y no otra cosa. Así poco puede entenderse de cómo funciona la ciencia.
Por otra parte, la divulgación clásica de autores como como Asimov o Sagan
explica muy bien los maravillosos descubrimientos de la física de partículas, de la
química o de la astronomía, pero tampoco enseña la manera de pensar que nos ha
permitido alcanzarlos. Lo poco que relatan de los procesos de la ciencia es casi siempre
anecdótico: héroes intelectuales víctimas del fanatismo, sabios despistados que
tienen una iluminación dormitando en el autobús, genios adolescentes que escriben
un tratado de matemáticas la noche antes de un duelo… Son historias edi cantes
que vienen bien para sazonar una exposición, pero que tomadas como ilustración
del funcionamiento de la ciencia son invariablemente engañosas.
Nunca está de más aprobar asignaturas y estar al tanto de los últimos descubrimientos,
pero la ciencia es mucho más que un conjunto de resultados: es, ante todo, un
proceso: una manera de pensar y de acercarse al mundo. Por eso, entender de verdad
la ciencia sólo puede signi car entender cómo funciona. Se trata, en de nitiva, de
aprender a pensar como un cientí co.
Entre Viena y Edimburgo
Pero si no nos sirven de mucho ni la divulgación ni los libros de texto, ¾a dónde
podemos recurrir para aprender a pensar como cientí cos? Hay una disciplina que
promete enseñarnos precisamente esto: la losofía de la ciencia. Por desgracia, si
nos volvemos hacia ella para aclarar nuestras ideas, seguramente nos llevaremos
una decepción. Los divulgadores sólo nos informaban del contenido, pero al menos
estaban de acuerdo en lo fundamental de ese contenido. Los lósofos, por el contrario,
7
8 Prólogo: Las preguntas de la ciencia
de enden las teorías más opuestas que imaginarse pueda.
Por ejemplo, el Círculo de Viena fue un grupo de lósofos del que formaron parte
Moritz Schlick, Rudolf Carnap, Carl G. Hempel y otros. Para ellos, la ciencia es la
única manera válida de acercarse a la realidad. La losofía, el arte o la religión no
añaden nada a nuestro conocimiento, porque sus a rmaciones no son veri cables
experimentalmente, y por tanto son metafísicas (lo que para estos autores signi ca
que ni siquiera tienen sentido: podríamos decir que son meras exhalaciones de aire).
Esta doctrina se conoció como positivismo lógico y tuvo gran in uencia en los años
20 y 30 del siglo XX.
En contraste, en los años 70 y 80 estuvo de moda la Escuela de Edimburgo,
formada en torno a David Bloor, Barry Barnes y Stephen Saphin. La tesis de estos
autores es el llamado programa fuerte, que sostiene que la ciencia consiste simplemente
en las creencias de los cientí cos, y que éstas deben ser explicadas como se
explican las creencias de cualquier otro grupo social: básicamente por las presiones
engendradas por las estructuras sociales. Así, las leyes de la física no describen la
realidad del mundo, sino que se parecen más bien a las reglas del baloncesto: están
condicionadas por la realidad externa pero son ante todo un convenio que re eja la
historia del juego, las preferencias de los jugadores y de los a cionados, etc.
Primum vivere, deinde philosophari
¾Cómo es posible tal divergencia?¾Cómo es posible que Edimburgo esté en las
antípodas de Viena y ambos sigan perteneciendo al país de la losofía de la ciencia?
Puede aprenderse mucho de los lósofos de la ciencia, y en nuestro recorrido de
Tales a Newton atravesaremos de vez en cuando terrenos losó cos. Pero sí es cierto
que, en algunos casos, losofar desde la torre de mar l puede llevar a posturas
extremas, por ese afán escolástico de hilar demasiado no y buscar tres pies al gato.
El mejor antídoto está en el viejo adagio: primum vivere, deinde philosophari. Para
poder hacer losofía de algo antes hay que haberlo vivido, pero resulta que muchos
lósofos de la ciencia no han vivido esa ciencia.
Una anécdota puede ilustrar este punto. El Instituto de Estudios Avanzados de
Princeton, donde pasó Einstein buena parte de su vida, iba a conmemorar en 1979
el centenario de su nacimiento, y formó un comité para elegir a los oradores que
participarían. El físico Freeman Dyson recuerda lo que ocurrió:
Cogimos las listas de cientí cos preseleccionados y todos ellos eran
gente a la que conocíamos personalmente. Cogimos la lista de los
historiadores de la ciencia y eran gente cuyos nombres habíamos oído,
aunque no les conociéramos personalmente. Y luego cogimos la lista de
los lósofos de la ciencia y eran gente de cuyos nombres no teníamos la
menor idea. Esto a mi me parece interesante. Quiero decir que en algún
lugar del mundo hay toda una cultura de losofía de la ciencia con la
que no tenemos ningún contacto en absoluto.
En vista de este divorcio, de esta falta de conocimiento de primera mano, no es
tan extraño que los retratos que algunos lósofos hacen de la ciencia puedan ser un
tanto extravagantes. Pero si el primum vivere es condición necesaria para el deinde
Prólogo: Las preguntas de la ciencia 9
philosophari, ¾no hemos llegado a una conclusión demasiado pesimista? Resultaría
que tendríamos que hacernos cientí cos para entender la ciencia, y ½en una vida no
da tiempo a hacer tantas cosas! (por seguir con el latín, lo podemos expresar con
otro adagio: el que dice ars longa, vita brevis ).
Afortunadamente, creo que hay un atajo: si la vida es corta, si no podemos vivir
todo en primera persona, sí podemos enriquecernos con las experiencias de los demás.
La literatura nos permite meternos en la piel de Don Quijote, de Raskolnikov o de
Madame Bovary. La historia, cuando es algo más que el palmarés de los poderosos,
puede enseñarnos cómo se pensaba en otras épocas y permitirnos vivir otras vidas.
Eso es lo que buscaremos en este libro, y por eso haremos historia de la ciencia.
Pero no como un n sino como un medio: nuestro objetivo será ver la ciencia desde
dentro, para aprender a pensar como los cientí cos. Al nal del libro, cuando ya nos
hayamos familiarizado con esa historia, podremos echar un vistazo con más provecho
a la losofía.
El peligro whig
Hay que tener presente este objetivo porque la historia de la ciencia también
tiene sus trampas. En una de ellas caen casi todos los libros de divulgación; es tan
habitual que se ha ganado un nombre propio: la historiografía whig.
Lo mejor para entender de qué se trata es verlo con un ejemplo típico: el caso
de Aristarco de Samos, que a rmó, 300 años antes de Cristo, que todos los planetas
giran en torno al Sol. Así lo cuenta Carl Sagan en su célebre libro Cosmos:
Durante la mayor parte de los 1800 años que separan a Aristarco de
Copérnico, nadie conoció la disposición correcta de los planetas, a
pesar de haber sido expuesta de modo perfectamente claro en el 280 a.
de C. La idea escandalizó a algunos de los contemporáneos de
Aristarco. Hubo gritos, como los dedicados a Anaxágoras, a Bruno y a
Galileo, pidiendo que se les condenara por impiedad.
Ciertamente es sorprendente que no se aceptara la teoría correcta cuando ya
había sido descubierta, y la explicación más cómoda es pensar que fue por los gritos
de fanáticos inmovilistas. Pero lo cierto es que no hay pruebas de tal cosa, y sí de que
los griegos tenían buenas razones para rechazar la teoría de Aristarco sobre bases
puramente cientí cas. Entendían perfectamente que los movimientos de los astros se
explicaban igual de bien con una Tierra móvil y un Sol jo que con una Tierra ja y
un Sol móvil. Pero ¾por qué suponer que la Tierra se mueve cuando es evidente que
está ja? Hoy lo aceptamos sin rechistar porque nos lo han enseñado de pequeños,
pero los antiguos griegos, no sometidos a este adoctrinamiento, tenían más sentido
crítico que nosotros. En realidad, cuando estudiemos este asunto ½llegaremos a la
conclusión de que hasta Galileo lo más racional fue el geocentrismo!
El problema no está en la presunta irracionalidad o fanatismo de los griegos, sino
en nosotros. Miramos el pasado con los ojos del presente y solo apreciamos lo que está
en sintonía con nuestras ideas. Caemos así constentemente en valoraciones anacrónicas:
creemos que Aristarco era un genio incomprendido y Ptolomeo un mediocre.
Esa era la cítica que el destacado historiador británico Sir Herbert Butter eld hacía
10 Prólogo: Las preguntas de la ciencia
a los victorianos del partido whig: que enjuiciaban el pasado con los criterios de su
presente. No eran capaces de concebir que hubiera otros, porque, siendo unos rmes
creyentes en el progreso, asumían que la nalidad de toda historia era llevar mundo
a la cumbre de civilización que ellos representaban.
Hoy ya no consideramos tan evidente ese progreso moral y social del que ellos
presumían, pero nadie sensato puede discutir que en la ciencia sí hay progreso. Por
eso aquí sigue siendo muy fuerte la tentación de hacer historia al modo whig. Otro
gran historiador británico, A. C. Crombie, lo explicó muy bien:
Puesto que la Ciencia no progresa auténticamente sino haciendo
descubrimientos y detectando errores, es casi irresistible la tentación de
considerar los descubrimientos del pasado como meros anticipos y
contribuciones a la ciencia actual y borrar los errores suponiendo que
no condujeron a ninguna parte.
Es precisamente esta tentación, que pertenece a la esencia de la
Ciencia, la que puede hacernos más difícil algunas veces comprender
cómo se realizaron de hecho los descubrimientos y cómo fueron
consideradas las teorías por los autores en su propia época; tentación
que puede llevar a la forma más insidiosa de falsi cación de la Historia.
Olvidar lo que sabemos
Este es el punto esencial: si no razonamos en los términos de la época, si no
estudiamos el pasado de atrás hacia adelante, no podremos entender nada de lo
que realmente ocurrió. Por eso, en la historia whig que cultivan los divulgadores
como Sagan, el pasado está lleno de fanáticos oscurantistas (¾cómo si no pudieron
rechazar algo tan evidente cómo que la Tierra se mueve?). Sólo nuestros precursores
destacan como héroes solitarios… aunque a menudo, como en el caso de Aristarco,
no tuvieran razón a la luz de los conocimientos de su época.
Caer en esta trampa sería fatal para nuestro proyecto de entender cómo fuciona
la ciencia a través de su historia. Por eso será esencial desaprender : olvidar que
sabemos que la Tierra es una esfera que gira alrededor del Sol, que ese Sol nos atrae
y nos mantiene en órbita, que las luces que vemos por la noche son otros soles…
Olvidar todas esas cosas que sólo consideramos evidentes porque nos las enseñaron
cuando éramos demasiado pequeños para tener sentido crítico, pero que la mayoría
de nosotros no sabemos justi car más que apelando al argumento de autoridad.
Nuestra tarea será entender cómo llegamos a saberlas evitando los anacronismos,
intentando mirar los problemas con los ojos de sus protagonistas. Y sin borrar los
errores, porque lo que hoy nos parecen teorías equivocadas a menudo fueron en su
día grandes aciertos, y pueden ser las que más nos enseñen sobre cómo funciona la
ciencia.
Sólo así podremos entender las preguntas que se hacían los cientí cos, hacer nuestros
los problemas con los que lucharon, pensar por nosotros mismos unas respuestas
y apreciar las que ellos dieron: en de nitiva, participar en la ciencia. Porque, aunque
en los libros de texto pueda parecerlo, la ciencia no es un catálogo de respuestas. La
ciencia gira en torno a las preguntas. Y su afán detectivesco no puede entenderse
Prólogo: Las preguntas de la ciencia 11
si no sabemos qué pistas tenemos y qué misterio estamos resolviendo… pero no hay
misterio si han empezado por darnos las respuestas.
Una historia especial
Por eso la historia que hagamos tendrá que ser una historia especial. Ante todo,
no daremos nada por sabido: empezaremos con la mirada limpia de un griego del
siglo VI a.d.C. Y tendremos que asumir algunas limitaciones:
No abarcaremos mucho; de hecho, nos vamos a limitar casi en exclusiva a
la pequeña parcela que forman la cosmología y la mecánica. Gracias a esta
limitación podremos entrar en detalles que habitualmente no se cuentan, y que
son imprescindibles para entender qué estaban haciendo realmente personajes
como Hiparco, Copérnico o Galileo, y distinguir dónde está su auténtico mérito
(que casi siempre no es el que suele atribuírseles).
Acabaremos nuestro estudio en Newton, así que no hablaremos de nada novedoso.
De este modo podremos ver la evolución de las ideas desde su origen y
las entenderemos mejor. Y las matemáticas, que a partir de Newton se complican
mucho, no serán un problema (aunque hay algunas fórmulas por aquí
y por allá, todo lo que requiere algún conocimiento previo de matemáticas se
ha relegado a los apéndices).
Nos limitaremos a cosas bastante conocidas: las fases de la luna, los mapas, el
movimiento de un cuerpo que cae… No habrá aquí ni agujeros negros ni viajes
en el tiempo. De ese modo no tendremos que abandonar nuestra intuición:
podremos pensar por nosotros mismos y nos daremos cuenta de cómo las cosas
aparentemente más sencillas no lo son tanto, y hasta qué punto no sabemos lo
que creemos saber.
En de nitiva, nuestro enfoque va a ser el opuesto al habitual en los libros de
divulgación. Si el lector quiere que le cuenten un montón de resultados novedosos
en las fronteras del saber, es mejor que busque otro libro: nosotros vamos a explicar
pocas cosas, antiguas y (presuntamente) bien conocidas. Pero si quiere entender
cómo funciona la ciencia, siga leyendo.
0.0.1. Observaciones [¾?]
Notas no intrusivas. Agradecimientos.
12 Prólogo: Las preguntas de la ciencia
Capítulo 1
En el principio fue la medida
Cuando no podemos medir, nuestro conocimiento tiene un carácter pobre
y poco satisfactorio
Lord Kelvin
Seguramente no ha habido una sociedad con mayor entusiasmo por la ciencia que
la Inglaterra del siglo XIX. Hoy sabemos mucho más, tenemos muchos más cientí cos
y éstos manejan un presupuesto enormemente mayor, pero nuestra actitud ante la
ciencia es más ambigua. Hiroshima, las denuncias de los movimientos ecologistas
y, últimamente, el miedo al calentamiento global han moderado la juvenil fe en el
progreso que tenían los súbditos de la Reina Victoria.
Entonces, las conferencias que la Royal Society organizaba en Londres eran un
acontecimiento social de primer orden: personas de todas las edades y condiciones
se agolpaban para oir las explicaciones de Humphry Davy o de Michael Faraday
sobre química o electricidad (las deliciosas conferencias de Faraday sobre la química
de la combustión, reunidas en La historia química de una vela , no han dejado de
reeditarse desde entonces).
Estos brillantes cientí cos victorianos estaban poseídos por una pasión cuanti -
cadora. Para ellos, la ciencia no podía trabajar si no tenía datos, y los datos sólo
podían ser cuantitativos. La construción de instrumentos de medida tuvo un auge
extraordinario, pero la medida no se basaba sólo en aparatos; requería, a menudo,
una compleja interacción entre datos y teoría. Así, William Thomson (al que, en
virtud de sus muchos servicios al Imperio Británico, se le concedió el título de Lord
Kelvin en 1892) fue capaz de medir la edad de la Tierra basándose en el aumento de
temperatura observado al descender a una mina y el tiempo que requeriría, según la
teoría de la conducción del calor, enfriar su esfera desde un estado inicial de fusión
hasta la temperatura observada actualmente.
Por la misma época, Francis Galton, el primo de Darwin, llevaba la medida a
extremos casi maníacos:
En su laboratorio midió cabezas, narices, brazos, piernas, color de ojos
y pelo, capacidad respiratoria, fuerza al tirar y al estornudar, agudeza
de vista y oído, tiempo de reacción, altura, peso, y así sucesivamente.
13
14 1. En el principio fue la medida
Compiló estadísticas sobre el tiempo, sobre las propiedades de los
gemelos idénticos, la frecuencia de los bostezos, la esterilidad de los
herederos, la duración de la vida, la herencia de caracteres físicos y
mentales. Contó el número de movimientos por minuto de las
personas que asistían a conferencias; el propósito de esta observación
era aparentemente derivar un coe ciente de aburrimiento. Hizo un
mapa de belleza de las Islas Británicas, clasi cando a las chicas con
las que se cruzaba por la calle en varias ciudades como atractivas,
indiferentes o repelentes; registraba la puntuación haciendo agujeros
en un papel que guardaba en el bolsillo. Londres quedó en primer
lugar, Aberdeen en el último.
No es de extrañar que intentos como estos hayan provocado críticas. Muchos
han echado en cara a la ciencia que todo lo convierte en números. El venerable
Aristóteles habría estado de acuerdo: para él, la cuanti cación nos impide acceder a
las esencias, a la auténtica naturaleza de las cosas, que es cualitativa, no cuantitativa.
Pero por el momento vamos a dejar de lado esta polémica. Lo cierto es que la
medida ha resultado ser, históricamente, uno de los ingredientes básicos de la ciencia,
y para entender qué es la ciencia debemos entender qué es medir, cómo se mide, y
por qué los cientí cos se empeñan en hacerlo. Más adelante, cuando nos hayamos
familiarizado con la manera de pensar de los cientí cos como Lord Kelvin, podremos
reconsiderar cual es el papel de la medida en la ciencia. Pero antes nos queda mucho
por descubrir.
1.1. Los orígenes de la geometría
Según el Diccionario de la Real Academia Española, medir es comparar una
cantidad con su respectiva unidad, con el n de averiguar cuantas veces la segunda
está contenida en la primera. Esta de nición describe bien la realización de una
medida directa. Es lo que hacemos multitud de veces en la vida cotidiana: en una
tienda, medimos un mueble con el metro para saber si nos cabrá en el salón; o en la
cocina, siguiendo una receta, medimos con una cuchara la harina que hay que echar
en la masa del bizcocho.
Esta operación es muy sencilla, pero supone ya cierto grado de so sticación:
parece que en el Paleolítico sólo se sabía contar unidades discretas, y no fue hasta
el Neolítico cuando las necesidades de la agricultura obligaron a aguzar el ingenio
(½imaginemos la complicación que supondría contar el grano en vez de medirlo!).
Más ingenio aún exigió el problema de medir las áreas de los terrenos cultivados.
Se planteó en Egipto, donde por primera vez un gobierno centralizado obligó a pagar
impuestos en proporción al tamaño de las ncas. Medir una nca con un método
directo es muy engorroso: habría que construir una unidad de área (un rectángulo
patrón) y ver cuantos de esos rectángulos caben en la nca, sin dejar huecos entre
ellos y sin solaparse… Claramente, sería mucho más práctico poder medir la nca a
partir de la longitud de sus lados, es decir, hacer una medida indirecta. Y aquí hace
su aparición la geometría. Los egipcios fueron los primeros que supieron calcular el
área del rectángulo (como el producto de la longitud de la base por la altura) y la
1.2 Tales de Mileto 15
de otras guras geométricas sencillas, como el trapecio, el triángulo, y con cierta
aproximación, el círculo. Y no sólo áreas: también volúmenes, como el del cilindro
y, cómo no, el de la pirámide.
No es extraño que los griegos consideraran a los egipcios como los padres de
la geometría. Pero los historiadores modernos han matizado mucho esta opinión.
Los egipcios tenían procedimientos para resolver problemas geométricos, pero no
tenían demostraciones de esos procedimientos. Parece que llegaban a los resultados
por tanteo, y no generalizaban: se conformaban con los casos particulares de interés
para las aplicaciones.
De este pragmatismo dan testimonio los papiros matemáticos que se conservan,
muchos de los cuales debían usarse como textos en las escuelas de escribas. Estos
papiros son colecciones de problemas que se limitan al enunciado y a una escueta
solución, que generalmente contiene sólo las operaciones necesarias para la resoluci
ón, sin comentarios. Parece que el escriba utilizaba la solución como una plantilla
en la que podían sustituirse los datos de otro problema análogo. Pero no le interesaba
por qué el problema se resolvía así: los textos egipcios no contenían teoría.
De modo que, pese a lo que pensaban los propios griegos, hoy consideramos
que los auténticos padres de la geometría son ellos, y no los sacerdotes y escribas
del antiguo imperio del Nilo. De hecho, aunque se han vendido millones de libros
populares sobre la sabiduría perdida del antiguo Egipto y el poder mágico de
las pirámides, los historiadores tienen poco aprecio por la presunta ciencia egipcia.
En palabras de Otto Neugebauer, uno de los mayores expertos en la matemática
antigua:
Constituye un error conceder a los documentos egipcios, matemáticos o
astronómicos, el título glorioso de obras cientí cas, o admitir la
existencia de una ciencia todavía desconocida, secreta o perdida, que es
imposible rastrear en los textos que han llegado hasta nosotros.
Lo que hoy entendemos por ciencia, como lo que hoy entendemos por geometría,
no es una colección de recetas, aunque con ellas seamos capaces de construir la Gran
Pirámide. Hoy consideramos que para que pueda hablarse de ciencia tiene que haber
teoría y eso fue, sin duda, un invento griego.
1.2. Tales de Mileto
Hubo muchos pensadores que contribuyeron al nacimiento de la teoría en la
Grecia antigua, pero si hay que elegir un padre, no hay duda de que sería Tales.
Vivió en el siglo VI a.C. en la (por entonces) próspera ciudad griega de Mileto, en
la costa mediterránea de lo que hoy es Turquía.
Sabemos poco de él a ciencia cierta, pero la tradición ha conservado un buen
puñado de leyendas sobre su vida. Según una de ellas, viajó a Egipto, donde aprendió
la geometría, que luego enseñó a los griegos. Sin embargo, sus conocimientos eran
superiores a los de los egipcios, y, sobre todo, su actitud era muy distinta. Tales
quería entender. Conocía fórmulas egipcias y fórmulas babilonias para el cálculo de
16 1. En el principio fue la medida
áreas. Y algunas no coincidían: las dos no podían ser verdaderas. Concibió así la
idea de que no bastaba una receta empírica: había que demostrar las cosas.
Algunas de las cosas que Tales demostró eran tan aparentemente evidentes como
que el diámetro de un círculo lo divide en dos partes iguales, o que un triángulo
equilátero (es decir, con los tres lados iguales) tiene también sus tres ángulos iguales.
No es extraño que sus vecinos de Mileto pensaran que tenía la cabeza en las nubes,
como ilustra una célebre anécdota relatada por Platón en el Teeteto:
Cierta tarde caminaba acompañado por una mujer, y se quedó tan
absorto en el estudio de los cielos que se cayó en una acequia. Su
compañera, seguramente molesta por su preferencia por las bellezas de
la naturaleza en detrimento de otras, le recriminó: ¾cómo esperas
aprender algo de las estrellas, si no sabes lo que tienes bajo tus pies?
La actitud especulativa de Tales queda también patente en su preocupación por
cual es la materia prima fundamental del universo, la materia de la que están hechas
todas las cosas y subyace a todos los cambios. Era la primera vez, que sepamos, que
alguien se hacía este tipo de preguntas. Poco importa que la respuesta que dio (la
materia prima es el agua) no fuera la correcta. Lo importante es que con Tales
estaba naciendo una nueva actitud ante el mundo, la actitud que está en el origen
común de la ciencia y la losofía.
Pero aunque sus contemporáneos no entendieran estas inútiles preocupaciones
teóricas, y se mofaran del sabio despistado en historias que han sobrevivido a los
siglos, hay otro tipo de historias sobre Tales. Diógenes Laercio, en sus Vidas de los
más ilustres lósofos griegos cuenta que
queriendo Tales manifestar la facilidad con la que podía enriquecerse,
como hubiera conocido que había de haber presto gran cosecha de
aceite, tomó en arriendo muchos olivares, y ganó muchísimo dinero.
Sin duda, Tales había previsto la buena cosecha porque fue el primero en estudiar
las mudanzas del aire, como dice Laercio, igual que fue el primero que cultivó la
astrología y predicó [sic] los eclipses de Sol. Así ocurrió con el célebre eclipse del
año 585 a.C., que, por el terror que provocó en los soldados, puso n a una batalla
entre los soldados lidios y medos en las cercanías de Mileto. Tales había vaticinado
un eclipse para ese año, y podemos imaginar el aura de prestigio y misterio que le
rodeó a partir de entonces. Quizá, después de todo, las preocupaciones teóricas no
eran tan inútiles.
1.3. Pirámides y teoremas
Hemos dicho que Tales se empeñó en demostrar verdades geométricas aún cuando
podían parecer evidentes. Nació así la idea de teorema. Y el más antiguo de los
teoremas geométricos es el que todavía lleva el nombre de Tales. Supongamos varias
líneas paralelas, que en la Figura 1.1 (a) hemos dibujado horizontales. Sean ahora
dos rectas perpendiculares a éstas. Quedan divididas por las líneas horizontales en
1.3 Pirámides y teoremas 17
A’ A’ A’
A’ A’ A’
A A A
O
B’ B’ B’
B’ B’ B’
B B B
(a) (b) (c)
Figura 1.1: El teorema de Tales
una serie de segmentos (AA0, A0A00… a un lado, BB0,B0B00 a otro) que evidentemente
son iguales dos a dos. Podemos escribir esto así:
BB0
AA0
= B0B00
A0A00
= ::: = 1
Pero si una de las rectas es oblicua (Figura 1.1 (b)), todos los segmentos que
ésta determina son más largos. La idea de Tales es que todos son más largos en la
misma medida. Es decir, los cocientes de las longitudes no serán ahora iguales a 1,
pero serán todos iguales entre sí:
BB0
AA0
= B0B00
A0A00
= ::: > 1
Si esto es cierto, no es difícil ver que también lo será cuando las dos rectas son
oblicuas, como en (c). Podemos escribir entonces, por ejemplo, que
OB0
OA0
=
OB
OA
Todos los segmentos que las líneas paralelas determinan sobre una y otra línea
oblicua guardan entre sí la misma proporción. Este teorema, que nosotros sólo hemos
expuesto, fue demostrado por Tales. Pero, ¾para qué sirve? ¾podríamos convencer,
digamos, a un egipcio, de que merece la pena?
El caso es que dice una leyenda que Tales, durante su estancia en Egipto, midió
la altura de una pirámide. Y para hacerlo, probablemente, utilizó su teorema.
Ante todo, vamos a despejar OB0 de la ecuación anterior:
OB0 = OA0
OB
OA
Ahora, imaginemos a Tales situado al pie de la pirámide (Figura 1.2 (a)). Ambos
proyectan sombras que son fáciles de medir, y es intuitivo que a mayor altura mayor
sombra. Pero ¾podemos saber la altura de la pirámide a partir de la longitud de su
sombra? Si simpli camos un poco el dibujo (Figura 1.2 (b)) nos encontramos con
un diagrama que, aunque girado, es del todo equivalente al de la Figura 1.1 (c).
18 1. En el principio fue la medida
O O
B B
B’ B’
A’ A A’ A
Al Sol
(a) (b)
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Figura 1.2: Midiendo la altura de una pirámide
Vemos ahora que los segmentos OB, OB0,… son las alturas, y los segmentos OA,
OA0,… son las sombras. El teorema de Tales signi ca que la proporción entre alturas
y sombras es la misma para todos los objetos. Por tanto, podemos pasar de unas a
otras multiplicando por un factor de proporcionalidad, y podemos obtener ese factor
midiendo la sombra y la altura de cualquier objeto conocido. La ecuación anterior
nos dice que el factor es OB
OA: basta medir OB (altura de Tales) y OA (longitud de
su sombra) para saber su valor.
Lo que ha hecho Tales aquí es seguramente el primer ejemplo histórico de aplicaci
ón de un modelo matemático en este caso geométrico a la resolución de un
problema físico. Para ello, tiene que empezar por simpli car la situación, quedándose
con los elementos esenciales, como un arquitecto al hacer un croquis. Así pasamos
de la parte (a) a la parte (b) de la Figura 1.2. Ahora, en lugar de razonar sobre
pirámides y sombras, razonamos con objetos geométricos. Y en este caso, el razonamiento
que necesitamos ya lo hemos realizado: es precisamente el teorema de
Tales.
El método de Tales
Con toda su aparente sencillez, el proceso que hemos seguido va a tener una
enorme importancia. Aparece una y otra vez siempre que hacemos ciencia, y por eso
merece que lo examinemos con detenimiento. Lo vamos a hacer con el esquema de
la Figura 1.3. En este esquema, partimos de un problema del mundo real (¾qué
altura tiene esta pirámide?), y usando de las simpli caciones o analogías que sean
pertinentes, lo traducimos a un problema geométrico, o, en general, matemático (el
croquis de la Figura 1.2). Este proceso de simpli cación es lo que suele llamarse
hacer un modelo. Hemos modelizado el suelo por un segmento horizontal, las alturas
por segmentos perpendiculares al suelo, etc.
Ahora, nuestro razonamiento se realiza en el mundo de las matemáticas, y
llegamos a un resultado matemático (en este caso, la longitud de un segmento en
función de otros). Finalmente, tenemos que hacer la traducción en sentido contrario,
de las matemáticas a la realidad, interpretando ese resultado (aquí, la longitud que
hemos calculado es la altura de la pirámide). Podemos resumir todo el proceso en
el esquema de la gura (1.3).
1.3 Pirámides y teoremas 19
MetodoTales.pdf
“Mundo real”
Datos del
problema
Solución al
problema
Traducción
( simplificaciones)
Traducción
( interpretación)
Resultado
p ) p )
Razonamiento matemático
Modelo matemático
“Mundo de las matemáticas”
Figura 1.3: El método de tales: Resolución de un problema del mundo real usando un modelo
matemático
Este es, pues, el método de Tales, y no hay duda de que ha funcionado. Pero
el lector puede cuestionarse si era necesario dar ese rodeo por el mundo de las
matemáticas ¾No podíamos haber pasado directamente del problema a la solución,
sin recurrir a un modelo? Así lo hacían los escribas egipcios en sus problemas de
cálculo de áreas y volúmenes, y este problema no parece mucho más difícil.
Quizá parezca que el enfoque egipcio podría funcionar…, pero lo cierto es que
fue Tales quien midió la pirámide. Muchos egipcios habrían observado que los objetos
más altos proyectan sombras más largas, pero ninguno fue capaz de usar las sombras
para medir alturas. Y es que hace falta mucho más que esa simple observación.
Ante todo, hay que concebir el concepto de proporción, que es el que permite
transformar una observación cualitativa sobre las sombras en una relación cuantitativa
que sirve para calcular. La idea de proporción es inmensamente útil, pero
sólo se capta bien en el estudio de la geometría (y precisamente, la mayoría de las
aplicaciones de la proporción puede considerarse que derivan del Teorema de Tales).
Además, para atreverse a hacer proporciones entre cosas tan heterogéneas como la
altura de un objeto y la longitud de una sombra hace falta ver ambas cosas simplemente
como longitudes, y eso no es fácil si no se tiene la costumbre de traducir
problemas con objetos reales a problemas geométricos.
Una vez que se tiene familiaridad con el concepto de proporción, hay que convencerse
de que la proporción entre altura y longitud de la sombra es la misma para
todos los objetos, y que por eso podemos obtenerla a partir de cualquier objeto que
resulte conveniente. Es difícil adquirir esa convicción empíricamente: podemos medir
diez palos verticales y sus diez sombras y obtener la misma proporción, pero no tenemos
garantía de que eso ocurra para el undécimo palo. Y ¾qué ocurre si cambiamos
de tipo de objeto?¾la proporción para palos será misma que para personas?¾Y si
el palo no está perfectamente vertical? Tendríamos que pasarnos el día haciendo
medidas para asegurarnos, pero al ir cayendo la tarde se alargarían las sombras…½y
la proporción cambiaría! La única manera de convencerse de que la proporción es
20 1. En el principio fue la medida
universal es darse cuenta de que se trata de una cuestión geométrica, y para eso
tenemos que hacer el croquis que hicimos en la Figura 1.2.
De modo que difícilmente podrían haber llegado los egipcios a medir la altura de
una pirámide a partir de su sombra: la única manera natural de concebir el método
es en el marco de la geometría. Pero aún en el caso de que algún escriba inspirado
hubiera dado con la ecuación que nos daba la proporción entre sombra y altura (pg.
17) sin ningún modelo geométrico, no habría llegado muy lejos, porque no tendría
claro cuando se puede aplicar y cuando no.
Por ejemplo, la proporción entre altura y longitud de la sombra tiene un valor
único para todos los objetos a una hora determinada: como ya hemos dicho, según
va cayendo la tarde, las sombras se van alargando. Así que nuestro método sólo
será válido si medimos las dos sombras a la vez. Esto es obvio a la vista del modelo
geométrico de la Figura 1.2, pero no lo sería tanto para nuestro escriba.
Otro ejemplo: el método es válido si los rayos del Sol son paralelos. Eso sólo es
cierto si el Sol está muy lejos (a una distancia mucho mayor que las longitudes que
intervienen en el problema). En el caso de la pirámide no hay problema con esta
condición, pero podría haberlo si quisiéramos aplicar este método a objetos dentro
de una habitación, con las sombras proyectadas por una vela. Aquí, una vez más,
nuestro escriba no sabría por qué el método ha dejado de funcionar.
Matemáticas, precocinados y trenes
Dar un rodeo por el mundo de las matemáticas (Figura 1.3) en vez de intentar
resolver los problemas a la egipcia, saltando de los datos a la solución tiene, pues,
ventajas porque facilita dar con la solución al problema, y, una vez encontrada ésta,
permite entender qué límites de validez tiene. Pero ¾por qué tiene esas ventajas?
Podemos encontrar al menos tres razones:
1. Sencillez. El mundo real es demasiado complicado. Hay demasiados objetos,
demasiados efectos incontrolables que pueden intervenir y de los que no podemos
llevar la cuenta. En el mundo de las matemáticas podemos tener a la
vista todos los elementos que intervienen y razonamos con mucha más seguridad.
Al utilizar la estrategia de la Figura 1.3, transferimos buena parte del
razonamiento a ese mundo más seguro.
2. Estructuración. Cualquiera que haya escrito un programa informático sabe que
al aumentar su tamaño se disparan las probabilidades de cometer un error y
se hace cada vez más difícil encontrarlo. La única manera de tener la situación
bajo control es parcelando el programa en pequeñas subrutinas, encargadas
cada una de una tarea particular. Con esta programación estructurada podemos
equivocarnos, pero es más fácil identi car dónde está el error, sus efectos
quedan acotados, y el proceso de depuración se hace mucho más e caz. El
método de la Figura 1.3 es un modo de estructurar nuestro razonamiento que
mantiene nuestros errores bajo control: podemos equivocarnos en las simpli -
caciones hechas para llegar al modelo, en el razonamiento matemático, o en la
interpretación de resultados, y cualquiera de estas etapas se puede depurar
por separado.
1.4 Generalizaciones prácticas y teóricas 21
3. Potencia. Por otra parte, en la etapa de razonamiento matemático tenemos
la ventaja de que con el tiempo los matemáticos han desarrollado muchos razonamientos
precocinados. Lo único que hace falta para usarlos es conseguir
traducir el problema real a una forma matemática a la que se aplique el razonamiento.
A partir de ahí, las matemáticas funcionan solas, como una máquina:
con total seguridad y con un enorme ahorro de trabajo.
Un ejemplo de razonamiento precocinado es la trigonometría, desarrollada por
Apolonio y otros matemáticos griegos. Podemos considerarla (vamos a verlo en parte
en las secciones sucesivas) como una máquina que automatiza los razonamientos con
proporciones geométricas. Otro ejemplo es el cálculo in nitesimal, inventado por
Newton y Leibniz para automatizar los razonamientos con magnitudes que varían
en el tiempo o el espacio. Al no disponer de él, un genio como Galileo se encontró
con grandes di cultades (y llegó a cometer errores) en cuestiones que hoy se estudian
en bachillerato (pg. 140).
Si en la Figura 1.3 imaginamos que el mundo de las matemáticas es el subsuelo,
y el mundo real es la super cie, podemos comparar el razonamiento matemático
con un tren del metro. No podemos montarnos en el metro al nivel de la calle:
primero tenemos que entrar en una estación, pagar un billete y bajar las escaleras
hasta el andén. Esta bajada al subsuelo se corresponde, en nuestra comparación,
con la traducción de los datos del problema real al modelo matemático: el croquis
para pasar de sombras y pirámides a segmentos de recta. Una vez sentados en el
tren, éste nos lleva con rapidez y sin esfuerzo. Llegados a la estación de destino,
para salir de nuevo a la super cie tenemos que subir otras escaleras, interpretando
los resultados. La gran ventaja del metro es que el trabajo duro (hacer el túnel)
nos lo han hecho otros: Apolonio, Leibniz o Newton. Nosotros sólo tenemos que
preocuparnos de pagar el billete y de acertar con la línea apropiada.
En cierto modo, pues, las matemáticas funcionan como una infraestructura de
transporte. En sus túneles nos podemos mover casi sin di cultad, pero al menos si
estamos haciendo ciencia no nos interesa quedarnos en ellos, porque no están en el
plano del mundo real. Wittgenstein lo dijo de un modo más críptico:
Las matemáticas son un método lógico. Las proposiciones matemáticas
no expresan pensamientos. En la vida real no existe una proposición
matemática que necesitemos, sino que usamos las proposiciones
matemáticas sólo para inferir, de proposiciones que no pertenecen a las
matemáticas, otras proposiciones que igualmente tampoco pertenecen a
las matemáticas.
1.4. Generalizaciones prácticas y teóricas
En la sección anterior hemos ensalzado extensamente el método de Tales, es
decir, el uso de un modelo geométrico para resolver un problema del mundo real.
Pero nos falta por recalcar una de sus principales virtudes: que hace posible las
generalizaciones.
22 1. En el principio fue la medida
Al reducir el problema al esquema geométrico de la Figura 1.2, nos damos cuenta
de que nuestra solución se basa en que los triángulos A’OB’ y AOB son semejantes, es
decir, uno es una versión a escala del otro. El Teorema de Tales dice que en triángulos
semejantes, los lados correspondientes guardan entre sí la misma proporción. Y esta
relación es la que nos ha servido para despejar la altura de la pirámide en función
de longitudes conocidas.
Pero una vez que nos damos cuenta de esto, podemos convertirlo en una estrategia:
cada vez que intentes medir una longitud, busca triángulos semejantes.
Tales y el barco
Por ejemplo, se cuenta que Tales fue capaz de medir la distancia de un barco a
la playa. He aquí como pudo hacerlo. Se colocó en un punto de la playa enfrente del
barco (O en la Figura 1.4), clavó ahí una estaca en la arena, y avanzó unos cuantos
pasos hasta un punto A, donde clavó otra estaca. Siguió andando paralelamente
al mar, hasta un punto O’ relativamente alejado. En ese punto, clavó otra estaca
y se dirigió perpendicularmente hacia el interior, hasta un punto desde el que la
estaca de A se viera alineada con el barco (punto C). Probablemente, los curiosos
mirarían trabajar a Tales sonriendo, esperando a tener otra historia que contar de
ese chi ado. Pero nosotros podemos entender el porqué de ese misterioso ir y venir
clavando estacas en la playa con sólo mirar su resultado nal en la Figura 1.4: Tales
ha conseguido de nir dos triángulos semejantes, OAB y O’AC y por tanto,
OB
OA
=
O0C
O0A
de donde deducimos que
OB = OA
O0C
O0A
Figura 1.4: Método de Tales para medir la distancia a un barco. Los triángulos OAB y O’AC
son semejantes.
1.4 Generalizaciones prácticas y teóricas 23
½Sabemos la distancia al barco, a partir de distancias que se miden contando pasos
cómodamente en la playa! Este método es una generalización del método usado
para medir la altura de la pirámide: las dos ecuaciones anteriores son completamente
análogas a las ecuaciones que encontramos entonces (pg. 17). Pero es una
generalización poco obvia: estamos midiendo en horizontal, en vez de en vertical, y
no utilizamos sombras. Difícilmente se nos habría podido ocurrir sin un modelo geom
étrico que nos indique que lo esencial no es medir sombras, sino medir triángulos
semejantes.
El túnel de Eupalinos
Averiguar la distancia de un barco a la costa tiene una utilidad práctica evidente,
sobre todo si es un barco enemigo. Los métodos del chi ado Tales no tardaron en
despertar el interés de los militares y los gobernantes. Tenemos un ejemplo espectacular
en el túnel bajo el monte Castro, en la isla de Samos. Este túnel, descrito por
Herodoto y atribuido al ingeniero Eupalinos, fue construido hacia el año 530 a.C., y
llevaba agua a Samos, la capital de la isla. En 1882, unos arqueólogos descubrieron
el túnel, tal como lo había descrito Herodoto. Tenía un kilómetro de longitud y más
de dos metros de anchura y altura, pero lo más notable no eran sus dimensiones,
sino que estaba formado por dos tramos casi perfectamente rectos, que se unían en
el centro en un recodo. Evidentemente, había sido excavado por dos brigadas de
obreros que partieron de los dos extremos y avanzaron hacia el centro del monte,
encontrándose con una precisión extraordinaria para la época: unos diez metros de
error en horizontal y tres en vertical (como ejemplo, el acueducto que el rey Hezequ
ías de Judea construyó para Jerusalén unos cien años antes tenía un recorrido en
zigzag el doble de largo que la distancia entre sus extremos…).
Figura 1.5: Esquema del método de Eupalinos para excavar un túnel bajo un monte (según Herón
de Alejandría)
¾Cómo pudo Eupalinos lograr esta extraordinaria precisión? No dejó ningún escrito,
pero un autor posterior, Herón de Alejandría, describió un posible método, que
utiliza los triángulos semejantes no para medir una distancia, sino para determinar
una dirección.
24 1. En el principio fue la medida
Partimos de una de las bocas del túnel, marcada como A en la Figura 1.5.
Nos alejamos en una dirección arbitraria (digamos, por simplicidad, que hacia el
Oeste). Recorremos una distancia también arbitraria, hasta el punto E. Giramos
90o y recorremos hacia el Norte otro trecho arbitrario hasta F. Giramos otra vez
90o y vamos en línea recta hacia el Este hasta un punto G. En estos tres tramos
hemos ido rodeando la montaña y ahora estamos a la vista de la otra boca del túnel,
marcada como B. Nos dirigimos hacia ella, pero sin dejar de trazar ángulo rectos:
primero, girando 90o en G, y luego andando hasta un punto H, elegido para que un
último giro de 90o nos lleve directamente a B.
Si pudiéramos seguir moviéndonos en ángulos rectos en el interior de la montaña,
para ir de B a A pasaríamos por un punto C. Los puntos A, B y C determinan un
triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es el recorrido del túnel. Aunque no podemos
ir al punto C, conocemos su ubicación a partir de los recorridos hechos en los tramos
alrededor de la montaña, porque:
BC = EF GH
AC = FG EA BH
De esta manera conocemos AC y BC y podemos ahora usar este conocimiento
para jar la dirección en que debemos excavar. Para ello, colocamos una referencia
R1 en un punto tal que los segmentos BP1 y R1P1 (ver Figura 1.5) estén en la misma
proporción que AC y BC:
R1P1
BP1
= BC
AC
De este modo, los triángulos ACB y BP1R1 son semejantes. Análogamente -
jamos la referencia en R2. Ahora, para conseguir un túnel recto podemos dar una
instrucción muy sencilla a los capataces: deben excavar de modo que al nunca pierdan
de vista la referencia, al mirar atrás a lo largo del túnel.
La trigonometría
Hay que reconocer que tanto Tales como Eupalinos demostraron ingenio al extrapolar
el método original de medida de la pirámide a los dos casos que acabamos
de ver. Pero ese mismo carácter ingenioso de sus procedimientos es, bien pensado,
un inconveniente. Medir distancias o determinar direcciones era útil para hacer
túneles o para ubicar al enemigo, pero también para medir los terrenos, construir
edi cios, y cientos de otras aplicaciones que surgen en la vida civilizada. Si vamos
a hacer estas operaciones a menudo, sería deseable tener métodos que dependieran
menos de la inspiración, métodos más sistemáticos, que no necesitaran de un Tales
o un Eupalinos en cada nueva aplicación.
Con la idea de sistematizar nuestros métodos, vamos a volver al primer problema
que estudiamos, la medida de la altura de la pirámide. Nuestro método se basaba en
encontrar la constante de proporcionalidad entre la sombra y la altura, que, como
vimos, depende únicamente de la inclinación de los rayos de Sol y no del tamaño del
objeto. Es decir, en la Figura 1.6 (a), depende sólo del ángulo y no del tamaño
del triángulo. Vamos a llamar a la constante tangente de (lo abreviaremos como
tan ):
1.4 Generalizaciones prácticas y teóricas 25
Figura 1.6: (a) La sombra de Tales (b) Simpli cando el método de la playa.
tan = OB
OA
En otras palabras, la tangente de es el cociente entre el cateto opuesto a y el
cateto contiguo a en el triángulo AOB. Por tanto, nuestra ecuación para la altura
de la pirámide (pg. 17) puede ponerse:
OB0 = OA0 tan
Como cada ángulo tiene una tangente determinada, podemos calcularlas de una
vez por todas para todos los ángulos (por ejemplo, de grado en grado) y guardar
los resultados en una tabla. Si no necesitamos demasiada precisión, es fácil hacer
esta tabla, dibujando los ángulos en un papel, midiendo con una regla los catetos y
haciendo los cocientes.
Esta tabla de tangentes nos puede facilitar el trabajo. En efecto, para calcular
la altura de la pirámide, no hace falta que midamos OB y OA si sabemos . Y
si consideramos ahora la medida de la distancia al barco (1.4), está claro que los
paseos por la playa hasta O0 y C sólo servían para obtener la tangente de experimentalmente
haciendo el cociente O0C=O0A. Pero eso no es necesario si, desde A,
medimos el ángulo y usamos nuestra tabla de tangentes (Figura 1.6 (b)).
Para poder aplicar estos métodos hay que poder medir ángulos, pero eso no
es demasiado difícil (ver Figura 1.7). Así que con una tabla de tangentes y un
instrumento para medir ángulos podemos evitarnos muchos paseos por la playa.
Pero lo mejor es que podemos prescindir del Sol: ya no hace falta medir ninguna
sombra (½lo cual no deja de ser útil en los días nublados!).
La medida de ángulos y la tabla de tangentes también simpli can el trabajo de
Eupalinos. Para determinar la dirección del túnel bajo el monte Castro, una vez
conocidos BC y AC, sabemos tan = BC=AC y podemos buscar en la tabla a qué
ángulo corresponde esa tangente.
No hay duda pues de que nuestra tabla de tangentes resulta muy útil. Pero
en realidad, no hay nada especial en el cociente del cateto opuesto y el contiguo:
cualquier cociente de dos lados de un triángulo, por el hecho de ser un cociente, va
a tener la propiedad básica de ser independiente del tamaño, y puede ser tan útil
como la tangente. Esos cocientes son llamados razones trigonométricas. Las razones
26 1. En el principio fue la medida
(a)
a
(b)
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Figura 1.7: Dos instrumentos para la medida de ángulos: (a) un simple compás puede servir para
una medida aproximada de cualquier ángulo (b) un cuadrante graduado con plomada puede dar
una medida algo más precisa de ángulos respecto de la vertical
A
A
B B
C C
a
b a b
g g
PStoPDF trial version. http://www.adultpdf.Figura 1.8: Un triángulo rectángulo
trigonométricas más usadas se de nen para un triángulo rectángulo, y son (con la
notación de la gura 1.8):
tangente: tan = CB=AB
seno: sen = CB=AC
coseno: cos = AB=AC
Pueden construirse tablas de senos y cosenos análogas a las de tangentes, y con
ellas es fácil calcular otras distancias (por ejemplo, la distancia en línea recta al
vértice de la pirámide o la longitud del túnel son más fáciles de calcular usando el
coseno).
En realidad, podemos calcular todos los lados y todos los ángulos de un triángulo
rectángulo conociendo sólo un lado y un ángulo. Si, por ejemplo, en el triángulo de
la Figura 1.8 (a) conocemos AB y , entonces:
= 180o 90o
CB = AB tan
AC = AB= cos
1.5 El tamaño de la Tierra 27
(la primera igualdad es consecuencia de que la suma de los tres ángulos de un
triángulo es 180o, las demás, de las de niciones de tangente y coseno). De este modo
construimos el triángulo rectángulo a partir de dos datos: un ángulo y un lado (es
fácil ver que también puede hacerse a partir de dos lados).
Hemos dicho que nos dan dos datos para construir el triángulo, pero la verdad
es que conocemos tres, porque sabemos que un ángulo es recto. Puede demostrarse,
aunque es un poco más difícil, que para un triángulo arbitrario dados tres datos
cualesquiera podemos obtener los otros tres. Este es el resultado fundamental de la
trigonometría y es una extraordinaria generalización de lo que empezó siendo un
truco ingenioso para medir la altura de una pirámide.
Es una generalización potente, porque pone a nuestro alcance capacidades
nuevas. Ya no hace falta ser un Tales o un Eupalinos para resolver un problema
de cálculo de distancias. Todo lo que necesitamos es convertir los objetos en vértices
o lados de triángulos, y una tabla de razones trigonométricas. También, claro está,
hace falta cierto razonamiento, pero en un grado mucho menor. Lo que era un difícil
problema de ingenio se ha convertido en un rutinario problema de trigonometría.
Es también una generalización hermosa, porque nos hace ver las cosas de un modo
nuevo y más signi cativo: lo que antes eran problemas independientes (aunque quizá
con cierto aire de familia) son ahora sustancialmente lo mismo, casos particulares
de un resultado más profundo. Cuando medíamos la pirámide o la distancia al
barco, cuando orientábamos el túnel, estábamos usando la misma propiedad de los
tríángulos: que sus lados y ángulos no son independientes, sino que, dados tres, los
otros tres están determinados.
Desde Tales, los matemáticos nunca han dejado de estar fascinados por esta
combinación de poder y belleza.
1.5. El tamaño de la Tierra
Hasta aquí hemos visto como la progresiva generalización del teorema de Tales
ha permitido resolver una serie de problemas. Los problemas que hemos estudiado
tienen considerable importancia práctica en ingeniería, aplicaciones militares o
topografía. Pero ahora que hemos desarrollado una técnica matemática, las aplicaciones
sólo están limitadas por la imaginación. Dos de las aplicaciones más imaginativas
de la trigonometría fueron las que hicieron Eratóstenes y Aristarco a problemas
poco prácticos pero de gran interés.
Eratóstenes y el pozo de Siena
Eratóstenes vivió en el siglo III a.C. y fue bibliotecario de Alejandría, cuando la
famosa Biblioteca era el mayor centro del saber de todo el mundo. Y, en consonancia
con su importante cargo, Eratóstenes fue el mayor erudito de su época: geógrafo,
historiador, astrónomo, matemático, crítico teatral…(parece que sus contemporáneos
ironizaron sobre la amplitud de sus intereses y le apodaron beta porque era el
segundo en todo).
Entre las muchas anécdotas, historias y datos que Eratóstenes compilaba, llegó
28 1. En el principio fue la medida
a su conocimiento una noticia sobre un pozo en Siena (nombre antiguo de la actual
Assuan, a unos setecientos ochenta kilómetros de Alejandría, río Nilo arriba): al
mediodía del día más largo del año (el solsticio de verano), las aguas en el fondo de
ese pozo eran iluminadas por el Sol.
Hasta entonces, nadie había visto en esto más que una curiosidad. Pero Eratóstenes
se dio cuenta en seguida de algo más. En Alejandría, las aguas del fondo de los
pozos nunca eran iluminadas por el Sol. Así que en el solsticio de verano a mediodía,
el Sol estaba vertical en el cielo de Siena, pero no en el de Alejandría. ¾Por qué esta
diferencia? La explicación más sencilla ya la habían encontrado otros sabios antes
que él: la Tierrra no es plana. Por eso, la vertical de Alejandría no es la misma que
la de Siena.
Lo que vio Eratóstenes es que, gracias a la anécdota del pozo, iba a poder medir
la diferencia entre esas verticales. Una simple medida con la sombra de un palo
vertical le permitió comprobar que en Alejandría el ángulo del Sol con la vertical el
día del solsticio de verano a mediodía era de poco más de 7 grados (su medida, en
concreto, fue que el ángulo era de 1/50 del círculo completo). Ese es el ángulo entre
las verticales de Alejandría y Siena. Pero, como muestra la Figura 1.9, ese ángulo
es el mismo que corresponde al arco de meridiano entre ambas ciudades. Y aquí
llegamos a algo importante.
Según los datos de Eratóstenes, la distancia las dos ciudades era de unos 5000
estadios. De modo que 5000 estadios son 1/50 de la circunferencia de la Tierra. Y
por tanto la circunferencia completa son 250000 estadios. El viejo arte de la medida
de sombras que inauguró Tales en Egipto había dado su fruto más espectacular:
½Eratóstenes había medido la Tierra sin salir de Alejandría!
Pero ¾era correcta su medida? La mayoría de los historiadores cree que el estadio
que usaba Eratótenes medía 157’5 m (hay otros estadios ligeramente distintos). En
ese caso, su valor para la circunferencia terrestre equivalía a 39168 km, y el cálculo
habría sido extraordinariamente bueno, porque el valor correcto es de 40000 km: ½un
error del 2 %!
Sin querer restar mérito a Eratóstenes, hay que reconocer que le acompañó la
suerte. Los valores numéricos que empleó (1/50 de círculo, 5000 estadios…) eran
números redondos, lo que indica que se trataba de estimaciones. Pero tuvo la buena
fortuna de que con esas estimaciones el resultado era casi exacto.
Posidonio y Estrabón
Naturalmente los antiguos no sabían que el resultado de Eratóstenes era tan
bueno, y siguieron intentando hacer nuevas medidas del tamaño de la Tierra. Unos
ciento cuarenta años después de Eratóstenes (hacia el 90 a.C), Posidonio, célebre
lósofo estoico que fue maestro de Cicerón, ensayó otro método. Hemos visto que,
por ser la Tierra redonda, el Sol no alcanza la misma altura sobre el horizonte en
ciudades que están a distintas latitudes. Lo mismo pasa con las estrellas: una que
sólo llega a verse rozando el horizonte en Rodas alcanza una altura apreciable en
Alejandría, más al sur. Así cuenta Cleómedes, uno de los discípulos de Posidonio, el
método de su maestro:
Rodas y Alejandría están en el mismo círculo meridiano y la distancia
1.5 El tamaño de la Tierra 29
a
a
a
a
C C
A
A
R
S
(a) (b)
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Figura 1.9: Dos maneras de medir el tamaño de la Tierra:(a) Método de Eratóstenes. A representa
Alejandría, y S, Siena. Los rayos de sol que caen verticales en Sien forman un ángulo
respecto de
la vertical en Alejandría. (b) Método de Posidonio. A es Alejandría y R Rodas. Cuando en Rodas
una estrella está rasante con el horizonte, en Alejandría se levanta un ángulo sobre éste.
entre ambas ciudades es estimada en 5000 estadios. Supuesto que tal
sea el caso, Posidonio sigue diciendo que la estrella brillante llamada
Canobus queda hacia el Sur, prácticamente sobre el timón de Argos.
Dicha estrella no es vista en toda Grecia, de ahí que Arato ni siquiera
la mencione en sus Efemérides. Pero conforme se va de Norte a Sur,
comienza a ser visible en Rodas y, cuando allí se ve sobre el horizonte,
se pone inmediatamente conforme gira el universo. Cuando se han
navegado los 5000 estadios y se está en Alejandría, esta estrella se halla
a una altura sobre el horizonte de un cuarto de signo es decir, 1/48 del
círculo del zodiaco cuando se encuentra exactamente en medio del
cielo; por tanto, el segmento del círculo meridiano que está situado
sobre la distancia entre Rodas y Alejandría es de 1/48 parte de dicho
círculo [...] Y por tanto, el gran círculo de la Tierra debe medir 240000
estadios, asumiendo que de Rodas a Alejandría haya 5000 estadios;
pero si no, estará en la misma proporción a la distancia entre ambas.
Tal es el modo en que Posidonio trató el tamaño de la Tierra.
A la vista de la Figura 1.9 queda claro que Posidonio, como Eratóstenes, está
midiendo el ángulo que forman las dos ciudades con el centro de la Tierra, pero
ahora usando rectas perpendiculares al radio de la Tierra. Conceptualmente, la idea
de Posidonio es tan correcta como la de Eratóstenes, y su estimación es bastante
similar: 240000 en vez de 250000 estadios.
Con tan buen acuerdo, podríamos pensar que los antiguos aceptaron este valor y
desde entonces no hubo dudas sobre el tamaño de la Tierra. La historia, sin embargo,
no es tan sencilla.
Hemos visto que Cleómedes mostraba abiertamente su reserva sobre el dato de
los 5000 estadios de distancia entre Rodas y Alejandría. Sabía que no era nada fácil
estimar distancias en su época y mucho menos por mar: había que arse de los
relatos de marineros, que eran famosos por su tendencia a exagerar. Cuando más
30 1. En el principio fue la medida
tarde Estrabón en su Geografía recogió los cálculos de Posidonio, cambió la distancia
por un valor más modesto, y bastante más correcto, de 3500 estadios. Obtuvo así el
dato de 180000 estadios de circunferencia, es decir, 28350 km en vez de 40000 km.
La obra de Estrabón fue todo un best-seller, y su valor fue el que perduró.
Un efecto inesperado
Pero si Estrabón usó un dato más correcto de distancia, ¾cómo es posible que
su resultado fuera peor? Porque el buen resultado de Posidonio, como el de Erat
óstenes, había tenido mucho de buena suerte. Ciertamente su valor de distancia
estaba equivocado, pero también su valor para el ángulo lo estaba: en vez de 1/48
de círculo, tendría que haber puesto 1/70… ½y ambos errores se compensaban casi
exactamente!
Pero lo más interesante es que su incorrecto valor del ángulo era consecuencia de
una medida correcta. El ángulo estaba bien medido; el error provenía de un efecto
físico que no conocía y no podía tener en cuenta: la refracción atmosférica.
aire
agua
posición aparente
posición real
(a) (b)
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Figura 1.10: (a) Refracción: cuando un rayo de luz llega a la super cie del agua, cambia de
dirección, acercándose más a la perpendicular (la trayectoria del rayo sería la misma si fuera
en
sentido contrario, del agua al aire)(b) Debido a la refracción, el pez parece estar menos
profundo
de lo que realmente está, porque el ojo interpreta que los rayos son rectos.
Cuando la luz atraviesa la separación entre dos medios, cambia de dirección,
acercándose a la perpendicular del medio más denso (Figura 1.10 (a)). La desviación
es tanto mayor cuanto más rasante es la incidencia del rayo (un rayo que llega
perpendicularmente no se desvía). El efecto es muy visible en agua, y da lugar a
algunas ilusiones ópticas; por ejemplo, hace que hace que al mirar al interior del
agua las cosas parezcan estar a menos profundidad de la real (Figura 1.10 (b)).
Análogamente, los peces ven los objetos fuera del agua a más altura de la real.
La refracción en el agua era ya conocida en el siglo II por Ptolomeo, que sospechó
que también se produce refracción cuando la luz de una estrella entra en la atmósfera
terrestre. Nosotros, que vivimos en el fondo de un océano de aire, sufrimos la misma
1.6 Aristarco: midiendo la Luna y el Sol 31
ilusión óptica que los peces: los objetos (como las estrellas) que están por encima de
este océano parecen más altos de lo que en realidad están. Y, como con el agua, el
efecto es más importante para los objetos cuya luz llega rasante, es decir, los objetos
cerca del horizonte. De hecho, gracias a la refracción todas las tardes vemos al Sol
ponerse unos minutos más tarde de lo que debería: la refracción curva sus rayos, y
parece estar por encima del horizonte cuando ya no lo está.
Este efecto es el que estropeó las medidas angulares de Posidonio. Pero hasta más
de mil quinientos años después, tras los trabajos de Tycho Brahe, los astrónomos no
fueron capaces de corregirlo (Ptolomeo pensaba que la refracción podría afectar a
la posición aparente de las estrellas, pero no podía calcular el efecto con precisión).
El método de Eratóstenes resultó ser más preciso porque, al trabajar con rayos casi
perpendiculares, no es apenas afectado por la refracción.
Esta historia tiene, claro está, una moraleja. A largo plazo la ciencia progresa,
pero ese progreso no es uniforme ni seguro. El método de Posidonio era conceptualmente
impecable y daba un resultado que concordaba con el de Eratóstenes. Hoy
sabemos, además, que era el resultado correcto. Pero esa corrección se debía a que
los dos errores que contenían sus datos se cancelaban entre sí. Estrabón, al corregir
uno sólo de los errores, estropeó el resultado. Sin embargo, tenía razón al hacer esa
corrección, y sería injusto criticarle por legar a la posteridad una Tierra un 30%
más pequeña. Esa pequeñez, en una vuelta de tuerca a la paradoja, tuvo el afortunado
efecto de animar a Colón a emprender su viaje, pues la Tierra del tamaño
real habría sido demasiado grande para pensar en llegar a las Indias por la ruta del
oeste… como decían sensatamente sus detractores, que ignoraban tanto como Colón
la existencia de América.
La historia de la ciencia está llena de estas paradojas, y no puede entenderse
si, como suele hacerse, se cuentan sólo los resultados que a posteriori resultaron ser
correctos. Cuando, además de los Eratóstenes, nos hablan de los Estrabones, vemos
que la historia es más complicada, pero también más interesante.
Hay todavía otra enseñanza que no hay que pasar por alto. Posidonio no podía
mejorar su medida del ángulo de la estrella mientras no conociera el fenómeno de la
refracción. Suele pensarse que las teorías surgen de los datos, recogidos minuciosa y
objetivamente. Pero a menudo no podemos tener buenos datos si no disponemos de
una buena teoría; en este caso, de unos conocimientos adecuados de óptica. Veremos
que esta situación es en realidad muy común.
1.6. Aristarco: midiendo la Luna y el Sol
Eratóstenes y Posidonio usaron la trigonometría para medir el tamaño de la
Tierra, una empresa mucho más audaz que las de Tales y Eupalinos. Pero hubo un
hombre más audaz aún: Aristarco de Samos, el mismo que sostuvo 1800 años antes
que Copérnico la teoría heliocéntrica. Aristarco se propuso medir el tamaño del Sol
y de la Luna. Y, asombrosamente, lo consiguió.
Hay que recalcar que medir el tamaño de estos astros tiene un interés doble,
porque si conocemos su tamaño podemos saber a qué distancia se encuentran. La
idea es que un objeto de un tamaño determinado se ve más o menos grande según
32 1. En el principio fue la medida
que esté más o menos lejos: el tamaño aparente nos da una idea de la distancia. Este
es el punto de partida de Aristarco.
Pero para convertir esta idea en una medida, primero tenemos que precisarla. Y
precisarla nos va a llevar de nuevo a la trigonometría. Ante todo, ¾qué quiere decir
que un objeto se ve grande? Quiere decir que su tamaño angular es grande, es
decir, que el cono visual que determina el objeto (con nuestro ojo como vértice y
el objeto como base) tiene un ángulo grande. Ese es el ángulo subtendido (es decir,
abarcado) por el objeto. Medir el ángulo subtendido por un objeto es medir su
tamaño aparente y generalmente no es difícil. Si es pequeño, por ejemplo, podemos
tener una estimación midiendo a qué distancia del ojo tenemos que poner el pulgar
para tapar el objeto. Si p es la anchura del pulgar y d es la distancia al ojo, el ángulo
subtendido en grados es p
2d 360 (el símbolo signi ca aproximadamente igual
a). La razón es que, si imaginamos una circunferencia con centro en el ojo y que
pasa por el pulgar, p
2d es la fracción tapada por el pulgar, y al multiplciar por 360
la convertimos en grados. Conocido el ángulo, es posible calcular la distancia del
objeto a partir de su tamaño, o viceversa.
Tamaños y distancias
Conviene pues que midamos los tamaños angulares del Sol y la Luna. Es fácil
medir el de la Luna, pero no el del Sol: brilla demasiado para mirarlo. Podemos
intentarlo algunos días en que las nubes tienen la densidad justa para dejarnos ver
su forma sin deslumbrarnos, pero no es necesario, porque resulta que el ángulo que
subtiende el Sol ( S) es prácticamente igual que el que subtiende la Luna ( L) (ver
Figura 1.11). Podemos saberlo sin necesidad de medirlo si analizamos los eclipses
de Sol. En efecto, como la Luna llega a cubrir completamente al Sol, L tiene que
ser mayor que S. Pero como los eclipses duran muy pocos minutos, el exceso de
tamaño de la Luna tiene que ser muy pequeño (una prueba más evidente aún es
que hay eclipses anulares, que ocurren cuando la Luna está en la posición de su
órbita más lejana de la Tierra y se ve algo más pequeña). Así que consideraremos
L aproximadamente igual a S y llamaremos a ambos ángulos (Figura 1.11).
Naturalmente, no hay ninguna razón para que el Sol y la Luna tengan el mismo
tamaño aparente: es sólo un extraordinario golpe de suerte para los astrónomos.
Por otra parte, los eclipses de Sol demuestran también que la Luna está más cerca
que el Sol (½es la Luna la que tapa al Sol y no al revés!). Y como ambos subtienden
el mismo ángulo, la Luna tiene que ser más pequeña que el Sol. Más exactamente,
la proporción entre distancias tiene que ser igual que la proporción entre tamaños:
dTL
dTS
=
rL
rS
(hemos llamado rS y rL a los radios del Sol y la Luna, dTS a la distancia de la Tierra
al Sol y dTL a la distancia de la Tierra a la Luna). Y más exactamente aún, a la
vista de la Figura 1.11 (ojo a los triángulos semejantes):
rS
dTS
=
rL
dTL
= sen
2
1.6 Aristarco: midiendo la Luna y el Sol 33
Figura 1.11: El Sol y la Luna subtienden, vistos desde la Tierra, el mismo ángulo
(recordando la de nición de seno: cateto opuesto partido por hipotenusa).
Esta es la relación entre tamaño (r) y distancia (d) para la Luna y el Sol. Está
claro que si medimos , basta conocer los radios para saber las distancias, y viceversa
(el seno de =2 lo buscamos en una tabla).
Lo interesante de esta ecuación es que proporciona un punto de partida para
medir los tamaños de la Luna y el Sol, es decir, los radios rL y rS. Hasta ahora
no teníamos por dónde empezar: Eratóstenes midió el radio para la Tierra, pero
su método exigía tener los pies en la Tierra. La ecuación anterior nos sugiere que
podríamos empezar por medir dTL ó dTS. Eso no parece imposible: al n al cabo,
Tales midió la distancia de un barco construyendo un triángulo con estacas en la
playa, y ese barco era para él tan innacesible como para nosotros la Luna o el Sol.
La idea consiste, pues, en que tal vez sea posible medir la distancia por un
método trigonométrico y luego obtener el tamaño a partir del ángulo subtendido,
es decir usando la ecuación anterior. Pero en seguida aparecen di cultades. Para
construir su triángulo rectángulo, Tales podía caminar por la playa hasta que su
punto auxiliar A ( gura 1.6) estaba su cientemente separado del punto inicial O.
Su cientemente signi ca en la práctica que el ángulo que forma el barco con O
debía ser apreciablemente distinto de 90o, y para eso, la distancia OA recorrida por
la playa (que se suele llamar línea de base) tiene que ser comparable a la distancia
OB al barco. Si la playa es tan pequeña que no podemos distinguir de 90o, no
podemos hacer la medida. Y ese es el caso cuando nuestro objeto, en vez de un
barco, es la Luna o el Sol: están tan lejos que aunque nuestra playa fuera la Tierra
entera, seguiría siendo demasiado pequeña.
Esta di cultad habría bastado para desanimar a cualquiera, pero no a Aristarco.
Con su audacia característica pensó: ¾quién nos manda limitarnos a la Tierra? De
lo que se trata es de formar un triángulo rectángulo. Un vértice ha de estar en el Sol
o la Luna, otro, en la Tierra. ¾Por qué ha de estar el tercero también en la Tierra?
Si tenemos tres cuerpos celestes, ¾por qué no colocar cada uno en un vértice?
Ante todo, le responderemos, porque quizá la Luna, el Sol y la Tierra no tengan
a bien, en sus continuas evoluciones, formar un triángulo rectángulo. O quizá lo
formen, pero ¾cómo lo podríamos saber? Pensando sobre el asunto (el lector tiene
34 1. En el principio fue la medida
S
L
T
q
90º – q
90º
PStoPDF trial version. http://www.adultpdf.com
Figura 1.12: Cómo calcular la proporción entre las distancias de la Tierra al Sol y a la Luna
ahora la ocasión de hacerlo también) Aristarco encontró que nuestros tres cuerpos
celestes no sólo forman un triángulo rectángulo bastante a menudo, sino que no hace
falta ningún cálculo ni observación so sticada para determinar ese momento (si el
lector quiere descubrirlo por sí mismo, que deje aquí de leer porque voy a dar la
solución). Es, simplemente, cuando media Luna está iluminada y media Luna está
oscura. En este momento, a mitad de camino entre Luna Llena y Luna Nueva, los
tres cuerpos están necesariamente situados en los vértices de un triángulo rectángulo,
con la Luna en el ángulo recto (Figura 1.12)
De este modo es inmediato que
dTL
dTS
= sen
y
dTL
dTS
=
rL
rS
(donde hemos puesto que la proporción entre distancias es también la proporción
entre tamaños). Podemos determinar midiendo el ángulo 90 que es el que, en
esa con guración, forman el Sol y la Luna vistos desde la Tierra.
La audaz idea de construir un triángulo rectángulo con cuerpos celestes en vez
de con estacas nos ha llevado a un resultado importante: ½la ecuación anterior nos
da la proporción entre los tamaños (o las distancias) del Sol y la Luna! Aristarco
encontró así que el Sol era 19 veces mayor que la Luna.
Un eclipse oportuno
Hemos obtenido los tamaños relativos del Sol y la Luna. Pero nuestro objetivo
era más ambicioso. Queríamos saber los tamaños absolutos: cuantos estadios mide el
Sol y cuantos mide la Luna. Como conocemos su proporción, basta averiguar cuanto
mide uno de ellos. Por ejemplo, si conociéramos rL la ecuación anterior nos dice que
rS = rL= sen . Pero el único cuerpo celeste del que conocemos el tamaño, gracias
al trabajo de Eratóstenes, es la Tierra. En un golpe de inspiración, Aristarco se dio
cuenta de que hay un acontecimiento que permite comparar los tamaños absolutos
de la Tierra y la Luna. Se trata otra vez de un eclipse, pero ahora de un eclipse de
Luna.
1.6 Aristarco: midiendo la Luna y el Sol 35
Figura 1.13: La Luna atravesando el cono de sombra de la Tierra
Durante un eclipse de Luna, ésta entra en el cono de sombra de la Tierra, y al
cabo de unas pocas horas sale de él. En la Figura 1.13 vemos la Luna en el momento
en que empieza a entrar en la sombra (1), cuando completa su entrada (2) y cuando
empieza a salir (3). Aristarco encontró que el tiempo que transcurría entre el instante
(1) y el (3) era poco más del doble que entre (1) y (2):
t13 = nt12 (siendo n un poco mayor que 2)
Entre (1) y (2), la distancia recorrida por la Luna es su propio diámetro, 2rL. Y
entre (1) y (3), la distancia recorrida es el diámetro del cono de sombra, 2rC. Como
la Luna se mueve en el cielo a velocidad constante, la proporción de los tiempos es
igual a la proporción de las distancias:
rC = nrL (siendo n un poco mayor que 2)
Tenemos pues la proporción del radio de la Luna (rL) no con el de la Tierra (rT ),
pero sí con el de su cono de sombra (rC).
De este modo hemos llegado a que si conocemos rC, nuestro problema está resuelto:
habremos averiguado el radio de la Luna (rL) y por tanto el del Sol (rS);
sólo necesitamos haber medido el ángulo y el factor n, observable en un eclipse de
Luna. Si además hemos medido podemos, con la ecuación de la pg. 32, saber las
distancias absolutas a los dos astros. Ahora bien, ¾cuánto vale rC?
Podemos hacer una primera aproximación sencilla: si suponemos que el Sol está
muy lejos (como ya hicimos al medir la altura de la pirámide) sus rayos llegan
paralelos, y eso signi ca que el cono (que más que cono es, entonces, un cilindro)
tiene el mismo radio que la Tierra (rC rT ). Usando que rC = nrL tenemos entonces
que:
Si rC rT =) rL
rT
n
(Siendo n un poco menor que 2)
Llegamos a que el radio lunar es poco menos de la mitad del terrestre, y a partir
de este resultado podemos, como hemos dicho más arriba, obtener los valores de los
demás datos buscados: rS, dTS y dTL.
36 1. En el principio fue la medida
El resultado es impresionante, pero el lector crítico puede plantear, con razón,
una objección: suponer que los rayos del sol son paralelos es suponer que el Sol
está a distancia in nita, lo que tiene sentido si queremos calcular la altura de una
pirámide…, ½pero no cuando precisamente queremos calcular la distancia del Sol!
Aristarco habría estado sin duda de acuerdo con esta crítica, y por eso no se paró
aquí. En realidad, consiguió encontrar el valor exacto de rL, en función de rT , n y
sen . Para no entrar en demasiados detalles trigonométricos, no vamos a exponer
aquí sus razonamientos, pero el lector puede encontrarlos en el Apéndice (pg. 209).
Errare humanum est
Al empezar este capítulo comparábamos las matemáticas con una infraestructura
de transporte. Ahora que hemos descrito con detalle el procedimiento de Aristarco
podemos apreciar cuán lejos nos puede llevar esa infraestructura: literalmente, hasta
el Sol y la Luna.
Pero nos hemos detenido en el método y no hemos dicho nada sobre los resultados.
Pueden consultarse en el Apéndice (pg. 211); aquí nos basta con señalar el que ya
hemos mencionado: Aristarco a rmó que el Sol era 19 veces más grande que la Luna.
Pero el factor real entre uno y otro tamaño es de 344: ½nuestro astrónomo cometió un
error del 1700 %! ¾Cómo es posible que después de su brillante ejercicio de ingenio y
trigonometría obtuviera un resultado tan decepcionante?¾Es que al nal su método
resultó estar equivocado?
La respuesta es interesante porque ilumina un aspecto de la ciencia que es vital
en la práctica pero del que no suele hablarse en los libros de divulgación, quizá
porque no tiene mucho glamour. Los razonamientos de Aristarco eran impecables, y,
como hemos dicho, ni siquiera hacían uso de aproximaciones en su versión nal. Pero
la precisión de sus resultados dependía, obviamente, de la precisión de sus medidas.
Para conocer la proporción entre los tamaños del Sol y la Luna necesitaba el ángulo
formado por la Tierra y la Luna vistas desde el Sol (Figura 1.12). Este ángulo no
lo podía medir directamente: desde la Tierra sólo podemos medir 90 , el ángulo
formado por el Sol y la Luna cuando ésta aparece iluminada al 50 %. Aristarco
encontró que ese ángulo era de 87o, y por tanto que = 3o. Como sen(3o) = 1=19,
esto implica que el Sol está 19 veces más lejos de la Tierra que la Luna, y por tanto
tiene un radio 19 veces mayor.
El problema radica en que el ángulo 90 es difícil de medir y está bastante
más próximo a 90o de lo que obtuvo Aristarco: en realidad está sólo a 1/6 de grado,
y sen((1=6)o) = 1=344. El error de la medida de Aristarco no era muy grave: algo
menos de 3 grados sobre 90, poco más de un 3 %, pero desgraciadamente el resultado
es muy sensible al valor de : ese pequeño error en la medida de un ángulo se traduce
aquí en un error del 1700% en el tamaño relativo del Sol. La precisión de las medidas
es pues sumamente importante, mucho más de lo que pensaríamos intuitivamente.
La moraleja es que decidir si un modelo es correcto o incorrecto no es tan sencillo
como lo suelen pintar. El procedimiento de Aristarco predice el tamaño del Sol con
un error disparatadamente grande, y lo hace a partir de unas medidas de aceptable
precisión. Parece pues que debería haber algo mal, o bien en los cálculos geométricos
o bien en nuestro nuestro modelo (quizá la Luna no está a la misma distancia de la
1.6 Aristarco: midiendo la Luna y el Sol 37
Tierra en un eclipse de Sol que en uno de Luna, quizá su velocidad no es uniforme, o
quizá incluso no todos los cuerpos son esféricos…). Si repasamos los cálculos vemos
que no hay ningún error en la geometría, así que parecemos abocados a concluir
que el modelo es erróneo. Pero no lo es: simplemente, nuestras medidas no eran lo
su cientemente precisas.
Esta situación no es en absoluto excepcional: a la hora de veri car las predicciones
de un modelo, será necesario tener en cuenta su sensibilidad a los errores, para
saber con cuanta precisión debemos hacer nuestras medidas. Los cientí cos lo saben
muy bien, y esto explica tanto su obsesión por la precisión de las medidas como su
reticencia a abandonar un modelo cuando se encuentran errores… incluso a veces
cuando esos errores son del 1700 %.
38 1. En el principio fue la medida
Capítulo 2
Modelos del Cielo
Anaximandro, hijo de Praxiades, fue milesio. Dijo que la Tierra está
en medio del universo como centro, y es esférica. Que la Luna luce con
luz ajena, pues la recibe del Sol. Que éste no es menor que la Tierra, y
es fuego purísimo. Fue el primero que halló el gnomon, y lo colocó en
Lacedemonia para indagar la sombra, como dice Favorino en su
Historia varia. Halló también los regresos del Sol, notó los equinoccios y
construyó horoscopios. Fue el primero que describió la circunferencia
de la Tierra y mar, y construyó una esfera.
Diógenes Laercio, Vidas de los más ilustres lósofos griegos.
En el capítulo anterior hemos visto cómo Eratóstenes y Aristarco fueron capaces
de calcular el tamaño de la Tierra, del Sol y de la Luna, y las distancias entre
ellos. Más de dos mil años después, sus métodos nos siguen pareciendo ingeniosos
y elegantes. Pero al considerar el trabajo de estos antiguos astrónomos, hay un
aspecto que muy probablemente no valoraremos en su justa medida. Para poder
preguntarse cual es el diámetro de la Tierra, primero hay que tener claro que la
Tierra es una esfera. ¾Cómo había llegado a saberlo Eratóstenes? Sabía también que
el Sol está sumamente lejos, de modo que sus rayos llegan paralelos. Y Aristarco,
en su método, además de utilizar estos resultados, demuestra conocer perfectamente
la explicación de los eclipses. En resumen, los griegos del siglo III a.C. tenían unas
ideas astronómicas muy precisas. Estas ideas nos pueden parecer ahora de sentido
común, pero no lo son en absoluto.
El contraste con el sentido común lo podemos apreciar mejor gracias a las obras
de Homero. Durante quinientos años, la Iliada y la Odisea no fueron para los griegos
sólo obras literarias, sino enciclopedias donde se resumía su visión del mundo. En las
obras de Homero leemos que la Tierra es un disco plano, rodeado de un gran río en
constante movimiento, el río Océano. Sobre el borde del disco descansa la bóveda de
los cielos. Homero probablemente imaginaba que era sólida, pues en varios pasajes la
compara con el hierro o el bronce. El sol es el titán Hiperión, que cada mañana surge
de las aguas, trayendo el día, para acabar volviendo a sumergirse en ellas, cuando
viene la noche. Había quienes, habiéndose aventurado lejos en el mar, decían haber
oído el estruendo de Hiperión al sumergirse en el agua. Pero nadie sabía de dónde
39
40 2. Modelos del Cielo
salía, ni cómo completaba su camino por la noche. Las estrellas, en su giro por el
cielo, también salían del agua y se sumergían en él… salvo la Osa; sólo ella no
participa en los baños de Océano. Homero se refería aquí a las estrellas próximas a
la estrella Polar (estrellas circumpolares ), que nunca desaparecen bajo el horizonte.
Estas estrellas tenían una importancia especial también para los egipcios. Las
llamaron aquellas que no conocen la destrucción, y asociaron los cielos del norte
con una región en la que no podía existir la muerte, el país de la vida eterna. En
cuanto al país en el que los egipcios nacían y morían, era semejente a una bandeja
alargada, por la que el Nilo corría paralelo a la dimensión más larga, y sobre la que
el cielo formaba una bóveda. Ra, el sol, se desplazaba en dos barcas: una para el
día, que viajaba por los aires, y otra por la noche, que viajaba por las aguas.
No es casualidad que (dejando aparte los detalles sobre cambios de barca o
estruendo de titanes) el esquema general del mundo fuera el mismo para los egipcios
y para los griegos de la época de Homero. Esa es la auténtica concepción de sentido
común a la que llega cualquier observador atento: una Tierra plana sobre la que se
cierne una bóveda celeste, por la que se mueven el Sol y las estrellas.
Nos tenemos pues que plantear la pregunta: ¾cómo llegaron los griegos, al menos
los griegos cultos, a abandonar esta imagen y a sustituirla por otra que va en contra
de la evidencia de los sentidos? ¾Cómo llegaron a pensar que la Tierra no es plana
sino esférica, y que el Sol no es un titán, sino otra esfera de fuego, más grande que
la Tierra y a una distancia de muchos millones de estadios?
2.1. Mirando al cielo
Para entender esta proeza intelectual, debemos empezar como empezaron los
griegos: mirando al cielo. Y por supueso, olvidando lo que ya sabemos para simplemente
observar sin prejuicios. De un vistazo descubrimos tres clases de objetos: el
Sol, la Luna y las estrellas. Una mirada más atenta acaba descubriendo que entre
las estrellas hay algunas que son diferentes: los planetas. Pero esa diferencia no es
muy evidente, así que la dejaremos para más tarde.
Lo que sí es evidente es que todos los objetos se mueven, y todos más o menos
de la misma manera: de este a oeste, a razón de una vuelta por día. Sin embargo, si
miramos con más cuidado, vemos que hay algunas diferencias en estos movimientos.
Las estrellas
Quizá el rasgo más importante del movimiento de las estrellas es que tiene lugar
en bloque: aunque son muchísimas, no cambia nunca lo más mínimo su posición
relativa. Por eso, las constelaciones son siempre las mismas, no se van desdibujando
al cabo de los años. Familiarizarse con ellas, como siempre han hecho todos los
hombres que han admirado la noche estrellada, es como aprenderse un mapa del
cielo.
Como el resto de los objetos celestes, las estrellas se mueven de este a oeste,
aunque es más preciso decir que giran en bloque en torno a la estrella Polar, que
se mantiene ja (nos referiremos siempre al cielo tal como se ve desde el hemisferio
2.1 Mirando al cielo 41
norte). Mirando hacia la Polar, el movimiento es en sentido contrario a las agujas
del reloj. Desde Grecia (y España) la estrella Polar se ve en una dirección, que,
por de nición, se llama norte, a unos 40o por encima del horizonte. De este modo,
las estrellas cercanas a ella no llegan a tocar el horizonte en su movimiento y se
mantienen siempre visibles a lo largo de toda la noche (estrellas circumpolares),
mientras que las más alejadas pueden interceptar el horizonte en su movimiento, y
por tanto salen y se ponen (Figura 2.1). Cuando una estrella sale, su movimiento
hace que su altura sobre el horizonte sea cada vez mayor, hasta que, cuando está en
dirección opuesta al Norte (el sur ) esa altura es máxima y a partir de ahí empieza
a decrecer.
Figura 2.1: El movimiento aparente de las estrellas, mirando a la estrella Polar, al este y al
sur.
La Luna
Aunque se mueve también de este a oeste, la Luna no lo hace al unísono con las
estrellas, sino que su posición respecto de ellas cambia constantemente. En concreto,
cada noche se encuentra un poco más al este respecto del fondo de las constelaciones .
Esto signi ca que su movimiento cotidiano de este a oeste lo realiza un poco más
lentamente que las estrellas, de modo que se va quedando retrasada. Al cabo de 27,3
días (lo que se llama periodo sidéreo), el retraso es de una vuelta completa, y la
Luna vuelve a estar sobre las mismas estrellas.
La particularidad más llamativa de la Luna son sus fases. Ya Anaxágoras observó
(hacia el año 480 a.C., aunque seguramente no fue el primero) que la fase de la
Luna está relacionada con su posición respecto al Sol: la Luna llena está siempre
opuesta al Sol (y por eso la vemos levantarse en el horizonte al atardecer), y según va
menguando sale cada vez más tarde. Cuando el cuarto menguante se va reduciendo la
hora de salida se acerca al amanecer. Y si extrapolamos este movimiento para saber
donde debería estar la Luna nueva, nos encontramos con que su posición coincidiría
aproximadamente con la del Sol.
42 2. Modelos del Cielo
Esta observación permitió a Anaxágoras concebir una explicación para las fases
de la Luna: se originan simplemente por las diferencias en la posición relativa de la
Luna, el Sol y la Tierra. La Luna no brilla con luz propia, sino que re eja la del Sol.
El Sol siempre ilumina un hemisferio de la Luna, que nos queda enfrente en Luna
llena y de espaldas en Luna nueva. Y estas diferencias de posición surgen de que la
Luna y el Sol, aunque ambos giran hacia el oeste, no lo hacen al mismo ritmo: la
Luna lo hace un poco más lentamente y se va quedando retrasada.
Pero ¾no es eso en realidad lo que habíamos dicho antes? Vimos que la Luna
se retrasa respecto de las estrellas, y esto le hace dar una vuelta completa por las
constelaciones cada 27,3 días. Entonces, se retrasará también respecto al Sol, y según
nuestra explicación de las fases será de esperar que el ciclo de éstas se repita cada
27,3 días. Desgraciadamente, el periodo entre dos Lunas llenas consecutivas no es
ese, sino 29,5 días (el llamado periodo sinódico).
¾Hay algún error en nuestra teoría? No necesariamente: en realidad, los dos
periodos sólo serían iguales si el Sol se moviera al unísono con las estrellas. Da la
impresión de que lo hace, pero podría haber alguna pequeña diferencia. Supongamos
que una noche vemos la Luna llena (es decir, diametralmente opuesta al Sol) junto a
determinada estrella. Al cabo de 27,3 días, la veremos de nuevo junto a esa estrella,
pero si el Sol se retrasa un poco respecto de las estrellas, habrá que esperar un poco
más para que vuelva a estar diametralmente opuesto a la Luna. En concreto, resulta
que hay que esperar 29,5 días desde la Luna llena anterior…
El Sol
Hemos llegado a la conclusión, analizando los movimientos de la Luna, de que
el Sol debe moverse respecto de las estrellas. No podemos veri carlo directamente,
porque no podemos ver a las estrellas a la vez que el Sol , pero hay un fenómeno que
delata este movimiento, un fenómeno mucho más evidente que la diferencia entre
los periódicos sidéreo y sinódico de la Luna: el hecho de que las constelaciones que
vemos por la noche van cambiando a lo largo del año.
No sabemos quién fue el primero que pensó que las estrellas siguen estando ahí
por el día. Un lósofo como Jenófanes de Colofón creía, hacia el 500 a.C., que las
estrellas se consumen al amanecer y se forman de nuevo cada noche, a partir de
exhalaciones de la Tierra
Sin embargo, en tiempos de Jenófanes parece que los pitagóricos ya a rmaban que
durante el día las estrellas no se apagan y su movimiento continúa con regularidad,
sólo que el resplandor del Sol no nos deja verlas; e, igualmente, que el Sol sigue
moviéndose por la noche, sólo que la Tierra no nos deja verlo. Cada noche vemos
las estrellas que están en la región del cielo opuesta al Sol. Pero, salvo las estrellas
circumpolares, estas estrellas van cambiando según transcurren los meses, de modo
que hay constelaciones de invierno (como Orión) y de verano (como Pegaso). Por
tanto, el Sol se mueve respecto de las estrellas. Al cabo de un año, las constelaciones
vuelven a ser las mismas, de modo que el Sol tarda un año en dar una vuelta completa
sobre el fondo de estrellas. De hecho, ½ésta es la de nición de año!
Hemos dicho que no podemos ver directamente el movimiento del Sol respecto
de las estrellas, pero no es del todo cierto: hay un momento, justo en el crepúsculo,
2.1 Mirando al cielo 43
cuando empiezan a verse las estrellas más brillantes, en el que podemos medir el
ángulo que forman con el Sol. Se observa que cada tarde el Sol ocupa una posición
alejada aproximadamente 1o (dos veces su diámetro) de la que ocupa la tarde anterior.
Está un poco más al este, lo que signi ca, como habíamos previsto, que el
Sol se retrasa respecto de las estrellas, o de otro modo, que éstas tardan algo menos
que el Sol en dar una vuelta completa. En efecto, si el retraso es de 1o, es de 1/360
de vuelta, y por tanto de 1/360 de día, lo que equivale a 4 minutos: una estrella
invierte sólo 23h 56′ en volver a ocupar el mismo lugar en el cielo.
La curva que describe el Sol entre las estrellas se cierra sobre sí misma al cabo
de un año y se llama eclíptica. Podemos considerar el movimiento del Sol como la
composición de su movimiento diario (hacia el oeste, que sigue con todo el mapa
celeste) y un lento movimiento anual simultáneo (hacia el este) a lo largo de la eclíptica,
que tarda un año en describirse. Podemos entender mejor estas componentes
del movimiento solar con un ejemplo utilizado por T.S. Kuhn :
El movimiento del Sol puede ser comparado con el del cobrador de un
tiovivo. El cobrador es arrastrado por las rápidas revoluciones de la
plataforma, pero puesto que se desplaza lentamente de un caballito a
otro para poder cobrar, su movimiento no es exactamente el mismo que
el de los jinetes. Si se desplaza en sentido opuesto al que sigue la
plataforma en su giro, su movimiento respecto del suelo será
ligeramente más lento que el de ésta, y los jinetes completarán una
vuelta más rápidamente que él.
Además de conveniente, esta descomposición en movimiento diario y anual es casi
invitable, pues las constelaciones son el sistema de referencia natural para cualquier
observación astronómica. Desde la Antigüedad, los astrónomos han considerado que
un objeto que no se desplace respecto de ellas está jo; de ahí que se hable a
veces de que las estrellas son estrellas jas. Cuando en astronomía se habla del
movimiento de un cuerpo celeste, generalmente se habla del movimiento respecto de
las estrellas.
El movimiento del Sol hace que vaya situándose en distintas constelaciones a lo
largo del año. Desde la Antigüedad se han distinguido doce: Aries, Tauro, Géminis,
Cáncer, Leo, Virgo, Libra, Escorpio, Sagitario, Capricornio, Acuario y Piscis: los
célebres signos del Zodiaco, las casas en las que, según la astrología, va residiendo
el astro rey a lo largo del año, dando uno u otro cariz a su humor y a nuestros
asuntos.
Pero este vagar del Sol por el cielo tiene un efecto mucho menos dudoso, uno
tan evidente que solemos olvidarlo. Durante los meses de verano, el Sol está sobre
constelaciones (como Cáncer o Leo) relativamente cercanas a la Polar. Esto signi -
ca que, a lo largo del día, llega a alcanzar mucha altura sobre el horizonte y sus
rayos inciden casi verticalmente. En los meses de invierno, por el contrario, está
en constelaciones (como Capricornio o Acuario) más alejadas de la Polar. La altura
máxima que alcanza el Sol, a mediodía, es entonces mucho menor. Sus rayos
oblicuos calientan menos y, además, está menos horas sobre el horizonte. Si el Sol
no se moviera respecto de las estrellas, o si su movimiento no lo acercara y alejara
44 2. Modelos del Cielo
alternativamente de la Polar, no habría estaciones. Más adelante volveremos sobre
esto.
Los planetas
La expresión estrellas jas, que mencionábamos antes, sólo tiene utilidad si
existen estrellas móviles, es decir, estrellas cuyo movimiento no va al unísono con
las demás. Desde la más remota Antigüedad se conocen cinco de tales estrellas,
que los griegos llamaron planetes, vagabundos: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y
Saturno. Su aspecto es el de estrellas, pero se desplazan respecto de éstas, con una
lentitud comparable a la del Sol, pero con mucha menor regularidad. En general, van
en el mismo sentido que el Sol y la Luna; es decir, se retrasan respecto de las estrellas
jas, pero tienen retrogradaciones: ocasionalmente se adelantan. Cada uno tiene
un periodo distinto. Un rasgo que tienen en común la Luna y todos los planetas es
que su movimiento sobre el fondo de estrellas está con nado a una banda estrecha
de unos 8o por encima y por debajo de la eclíptica, que es lo que en astronomía se
llama el Zodiaco.
N
E
S
W
a
Estrella
polar
s
3
s
2
s
1
s
4
PStoPDF trial version. http://www.adultpdf.com
Figura 2.2: La esfera celeste. A la latitud de Grecia o España, vale 40o aproximadamente
Está claro que el movimiento de los planetas es mucho más complicado que el de
los demás astros. Explicar sus vagabundeos y poder predecirlos ha sido una obsesión
para los astrónomos de todas las épocas, desde Tales a Newton. Y como veremos,
esta obsesión ha sido uno de los motores del progreso de la ciencia.
2.2 El Universo de las dos esferas 45
2.2. El Universo de las dos esferas
Hasta aquí hemos descrito los movimientos que un observador puede encontrar a
simple vista en los objetos celestes. El movimiento más sencillo es el de las estrellas.
Cualquiera que observe con cuidado su giro regular (Figura 2.1) acabará seguramente
por pensar que son luces jas a la bóveda celeste, que gira como un bloque en torno
a un eje que pasa por la estrella Polar. Con más precisión, un extremo del eje parece
pasar por la Polar y otro por el observador, como se muestra en la Figura 2.2.
La esfera celeste
La Figura 2.2 viene a ser una representación del universo de sentido común de
Homero, en el que la bóveda celeste se cierne sobre la Tierra plana, pero con algunas
precisiones adicionales. Homero no dejaba nada claro dónde iban las estrellas por
la noche. Nuestras observaciones nos han llevado a suponer que las estrellas siguen
ahí, girando a la misma velocidad. Lo lógico entonces es que la bóveda celeste sea
en realidad una esfera, que se prolonga por debajo de la Tierra, y de la cual vemos
la mitad superior. Las estrellas como S1 son circumpolares y nunca se ponen: están
las 24 horas del día por encima del horizonte. S2 es la última estrella circumplolar.
Una estrella como S3, que está a 90o de la Polar, sale exactamente por el este y doce
horas más tarde se pone exactamente por el oeste (según la época del año, parte
de esas horas o todas pueden corresponder al día). Una estrella como S4 no se vería
nunca. El Sol no se ha dibujado pero durante la noche estaría en algún punto del
hemisferio inferior.
Cabe preguntarse qué es lo que justi ca que estemos exactamente en el centro
de la esfera. Aparte de la simplicidad, ¾hay alguna observación que lo justi que?
En realidad no vemos la bóveda, sólo las estrella, así que ¾no produciría la misma
impresión una cavidad con otra forma cualquiera? La respuesta es que sí en una foto
estática, pero no en movimiento.
Para entender por qué, vamos a examinar el caso de que los cielos fueran una
esfera, pero descentrada. La bóveda sobre nuestras cabezas no sería entonces hemisf
érica (ver un esquema muy simpli cado en la gura 2.3).
sB sB sA
sA
(a) (b)
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Figura 2.3: Por qué estamos en el centro de la esfera celeste.
46 2. Modelos del Cielo
Supongamos dos estrellas, SA y SB, situadas de modo que cuando SA se pone
por el horizonte oeste, SB sale por el horizonte este (a). Cuando más tarde SB se
pusiera por el oeste, SA tardaría todavía bastante en aparecer (b). En la realidad
esto no es así: lo que se observa es que a la vez que se pone SB vuelve a salir SA (por
otra parte, cualquier cuerpo celeste que sale exactamente por el este, tarda doce
horas en ponerse, mientras que SB tardaría menos). El lector puede comprobar que
otro efecto observable es que, si la esfera descentrada gira regularmente en torno de
su centro, la velocidad aparente de las estrellas aumentaría en el cénit (encima de
nuestras cabezas) y se frenaría en el horizonte. Con razonamientos análogos pueden
descartarse otras geometrías alternativas: el ordenado movimiento de las estrellas
sólo es compatible con una bóveda esférica en cuyo centro estamos nosotros.
Podemos añadir, de paso, que la esfera celeste permite entender mejor el
movimiento anual del Sol. La Figura 2.4 muestra la trayectoria diaria del Sol sobre
la bóveda celeste, a la latitud de Grecia o España, en cuatro días del año: los
de la noche más corta y más larga (solsticios de verano e invierno, respectivamente:
aproximadamente, 21 de junio y 22 de diciembre) y los días en los que la noche es
igual de larga que el día (equinoccios de primavera y otoño: aproximadamente, 21
de marzo y 23 de septiembre). Obsérvese que los equinoccios son los únicos días en
los que el Sol sale exactamente por el este y se pone exactamente por el oeste. Esos
días, el Sol está exactamente en ángulo recto con la Polar y por tanto se mueve por
el ecuador de la esfera celeste.
N
E
S
W
22 junio
21 marzo
23 septiembre
22 diciembre
a 90-a
Estrella
Polar
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Figura 2.4: Esquema del movimiento aparente del Sol visto desde la latitud de Grecia o España.
En los equinoccios (21 de marzo y 23 de septiembre) el Sol está a 90o de la estrella Polar, es
decir,
en el ecuador celeste. La mitad de su recorrido queda por encima del horizonte y la duración
del
día y la noche es la misma. En el solsticio de verano (22 de junio) el Sol está 23o30′ más
cerca de
la Polar; en el de invierno (22 de diciembre), 22o30′ más alejado.
La esfera terrestre
Nuestro modelo de esfera celeste nos permite hacer algunas predicciones interesantes.
Con el esquema de la Figura 2.2, debería ocurrir (a no ser que la Tierra
2.2 El Universo de las dos esferas 47
sea muy pequeña en comparación con el Cielo) que al desplazarnos hacia el norte,
la Polar estuviera cada vez más alta sobre el horizonte. Y efectivamente esto es
lo que relataban los viajeros que volvían a Grecia de tierras septentrionales. Pero
no ocurría exactamente como predecía el modelo. En efecto, al acercarnos al norte
debería cambiar la perspectiva con la que vemos la bóveda, y con ello la forma de
las constelaciones: por ejemplo, la Osa Mayor se vería en escorzo. Eso no ocurre:
siempre presentan el mismo aspecto. En cambio, lo que ocurre al desplazarnos hacia
el norte es que hay constelaciones que dejan de verse. Al viajar hacia el sur, por el
contrario, hay otras que van apareciendo. Con más precisión, lo que ocurre es que
hacia el norte, las constelaciones que sólo se veían unos pocos días al año y siempre
muy cerca del horizonte, dejan de verse. Y esas mismas constelaciones, al moverse
hacia el sur, se ven más días, y alcanzan más altura sobre el horizonte; aparecen
incluso estrellas nunca vistas que, es de suponer, más al norte se quedan siempre
bajo el horizonte.
Esto no puede explicarse con nuestra Figura 2.2. Con ese esquema, desde
cualquier punto de la Tierra veríamos las mismas estrellas, unas más cerca y otras
más lejos. En la Figura 2.2 el observador no vería nunca una estrella como S4, por
mucho que se dirigiese al sur. Para que la viera, lo que tendría que ocurrir es que
al viajar hacia el sur fuera cambiando el plano de la Tierra, inclinándose de manera
que permitiera asomar a S4. Y cuando más al sur, más debe asomar S4. Pero si el
plano de la Tierra cambia de un punto a otro ½es que la Tierra no es plana!: debe
curvarse en la dirección N-S.
Si la Tierra se curva en dirección N-S, se explica que la altura de la Polar sobre
el horizonte aumente al viajar hacia el norte y disminuya al viajar hacia al sur, sin
que haga falta que la Tierra sea de un tamaño comparable al Cielo. Más bien es
de esperar, por el contrario, que la Tierra no sea excesivamente grande, pues basta
viajar unos cientos de kilómetros en dirección N-S para que se noten estos efectos.
Por lo que sabemos hasta ahora, la Tierra podría ser plana en la dirección E-W,
y tendría entonces forma de cilindro. Pero hay una razón para que la Tierra sea una
esfera: un universo formado por dos esferas concéntricas es mucho más simétrico que
uno formado por un cilindro dentro de una esfera.
Esta consideración puede parecer puramente estética, y lo es, pero no debemos
subestimar por ello su importancia. De hecho, los primeros que concibieron una tierra
esférica fueron los pitagóricos y lo hicieron sobre todo por este tipo de razones.
No será la última vez que nos encontremos que un argumento estético se utilice
para preferir una teoría a otra (pg. 154). En ocasiones, sólo mucho más tarde han
aparecido las observaciones que respaldaban a la teoría hermosa.
En este caso, podemos buscar las observaciones en un fenómeno no muy frecuente
pero muy llamativo: los eclipses de Luna. Con un modelo como el de la Figura
2.2 es imposible darles una explicación natural. Pero si la Tierra no abarca de un
extremo a otro del Universo sino que es un objeto relativamente pequeño en su
centro, proyectará una sombra sobre las estrellas. A veces la Luna entrará en esa
sombra y tendremos un eclipse. Anaxágoras fue el primer autor que explicó los
eclipses con este mecanismo, hacia el 480 a.C. (recordemos que también explicó las
fases de la Luna, pg 41). Ahora bien, se observa que en los eclipses la sombra que
va ocultando la Luna es siempre redonda. Y el único objeto que proyecta siempre
48 2. Modelos del Cielo
una sombra redonda es la esfera.
Este brillante argumento fue expuesto por Aristóteles en su libro De los cielos.
Pero curiosamente, parece que Anaxágoras mantenía que la Tierra es plana, a pesar
de que en su época, un siglo antes de Aristóteles, la doctrina de la Tierra esférica
llevaba ya otro siglo en circulación. De modo que no parece que el argumento de
los eclipses, pese a ser convincente a posteriori, fuera decisivo en su día para decidir
sobre la forma de la Tierra…
N
E
S
W
Estrella
Polar
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Figura 2.5: El universo de las dos esferas. Se ha sombreado el plano del horizonte para el
observador
Las dos esferas y sus consecuencias
Finalmente hemos llegado al modelo de universo que llamamos universo de las
dos esferas (Figura 2.5). La Tierra está inmóvil en el centro de la esfera celeste, que
gira alrededor de un eje que pasa por la Estrella Polar, de modo que las estrellas
describen los paralelos de esta esfera. El paralelo máximo, a 90o de la Polar, es el
ecuador celeste. En realidad, hay una gran similitud entre la Figura 2.2 (modelo de
una esfera) y la Figura 2.5 (modelo de las dos esferas), sobre todo si inclinamos
esta última para poner al observador vertical. La única diferencia es que ahora el
observador está sobre una esfera y el plano de la Tierra, que antes era jo y abarcaba
todo el diámetro de la esfera celeste, es ahora el plano tangente a la esfera en el punto
del observador.
Naturalmente, la esfera de la Tierra tiene que ser enorme para que nos parezca
plana. Pero al mismo tiempo, debe ser muy pequeña comparada con la esfera de las
estrellas. La razón es que todas las observaciones indican que la salida y la puesta de
dos estrellas diametralmente opuestas en dirección E-W son simultáneas. Y esto sólo
puede explicarse, como se expuso en la pg. 45, si el observador está en el centro de la
esfera celeste. Por supuesto, no podemos garantizar que la sincronización entre salida
y puesta sea perfecta. De hecho, sólo lo sería si el tamaño de la esfera celeste fuera
in nito, así que debe haber una pequeña diferencia de tiempo entre la salida y la
2.2 El Universo de las dos esferas 49
puesta de tales estrellas, y su medición sería muy importante porque nos diría, nada
menos, cual es el tamaño del universo: he aquí un buen motivo para perfeccionar las
observaciones astrónómicas. Nadie en la Antigüedad consiguió medir tal diferencia,
y de ahí que Ptolomeo a rmase que la Tierra es a los cielos como un punto a una
esfera. Pero volveremos a este tema más adelante, cuando nos encontremos con
Tycho Brahe (pg. 118).
Volviendo a la Figura 2.5, cuando el observador se desplaza sobre la esfera de
la Tierra, a la vez que varía el plano del horizonte varía también la altura de la
Polar sobre el horizonte. Hay un punto situado verticalmente bajo la Polar: el Polo
Norte. Para un observador allí, la Polar queda en el cénit, es decir, justo sobre
su cabeza. Hay por otra parte todo un círculo de puntos situados verticalmente
bajo el ecuador celeste (los puntos que forman el ecuador terrestre) para los que la
Polar está justamente en el horizonte (una vez más, gracias a que la Tierra es de
tamaño despreciable comparada con la esfera celeste: si no lo fuera, quedaría bajo el
horizonte). En la Figura 2.6 se aprecia el aspecto de la bóveda celeste desde el Polo
Norte y desde el Ecuador.
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Figura 2.6: La bóveda celeste vista desde el Polo Norte (izquierda) y desde el Ecuador
(derecha).
Hemos visto que para latitud 0o (Ecuador) la Polar está a 0o sobre el horizonte,
y para latitud 90o (Polo Norte) la Polar está a 90o sobre el horizonte. El lector puede
comprobar fácilmente que, en cualquier punto del hemisferio norte, la altura de la
Polar sobre el horizonte (el ángulo en las Figuras 2.2 y 2.4) es la latitud.
El modelo también nos permite predecir para distintos puntos de la Tierra el
movimiento del Sol. Ya hemos visto que la altura de la Polar sobre el horizonte (
en el dibujo) es la latitud. La Figura 2.4 corresponde pues a una latitud intermedia,
pero podemos obtener fácilmente a partir de ella el esquema que corresponde a
otra latitud mantendiendo jos los elementos de la esfera celeste (la Polar y el Sol) e
inclinando en función de la latitud el plano del horizonte que, eso sí, siempre contiene
el eje E-W.
Por ejemplo, para un observador en el Polo Norte, el plano del horizonte es
perpendicular a la dirección de la Polar, es decir, coincide con el ecuador celeste.
Como en los equinoccios (21 de marzo y 21 de septiembre) el Sol está en el ecuador
50 2. Modelos del Cielo
celeste, se mantiene en el horizonte todo el día. En el solsticio de verano, el Sol está
todo el día 23o30′ sobre el horizonte y en el de invierno, 23o30′ bajo el horizonte.
Para un observador en el Ecuador, el plano del horizonte contiene a la Polar, es
decir, es perpendicular al ecuador celeste. En los equinoccios, el Sol describe un gran
arco en el cielo, saliendo verticalmente por el este, pasando por el cénit y poniéndose
vericalmente por el oeste. En los solsticios, el Sol sigue una trayectoria paralela a
esta, pero 23o30′ más al norte (verano) o al sur (invierno).
Con lo dicho hasta ahora, debería resultar claro que podemos determinar nuestra
latitud no sólo por la altura de la Polar sobre el horizonte, sino también por la del
Sol: en los equinoccios, la latitud se obtiene restándole a 90o la altura máxima del
Sol. Este método, sin embargo, tiene el inconveniente de que debemos jarnos en la
altura máxima (lo que exige observar el Sol durante un buen rato para saber cuando
se alcanza este punto, el mediodía exacto), y también de que para cualquier día
que no sea el equinoccio, hay que descontar la distancia del Sol al ecuador celeste:
tenemos que tener tabuladas esas distancias para cada día del año.
Hemos descrito lo que predice el modelo de las dos esferas para los movimientos
del Sol y las estrellas en función de la latitud y, en particular, en el Polo Norte y el
Ecuador. Cuando se formuló el modelo, ningún griego había pisado ni uno ni otro
lugar: sólo era una predicción. Hubo que esperar a que los portugueses cruzaran
el ecuador en el siglo XV para con rmarla (y bastante más para alcanzar el Polo
Norte…), aunque entonces pocos dudaban ya de este modelo. En particular, los
marineros llevaban ya mucho tiempo determinando su latitud a partir de las alturas
del Sol o de la estrella Polar.
2.3. El universo de las dos esferas como ejemplo de
teoría
Nuestras observaciones de los cuerpos celestes y nuestro deseo de entender mejor
sus movimientos nos han llevado a imaginar un universo como el de la Figura 2.5.
Podemos estar justamente orgullosos de este sencillo modelo: es nuestro primer ejemplo
de teoría cientí ca. Pero un escéptico podría objetar que en realidad esta teoría
no nos ha enseñado nada: en nuestro cielo no hay ninguna estrella nueva; de hecho,
ni siquiera hemos hecho nuevas observaciones. ¾Hemos ganado algo al concebir este
modelo de universo?¾Sirven para algo estos ejercicios teóricos?
Para qué sirven las teorías (I)
Podemos empezar replicando al escéptico que hay algo que indudablemente
hemos ganado. Antes, nuestras observaciones astronómicas eran una larga lista de
hechos aislados, que teníamos que recordar uno por uno. Ahora, si queremos, podemos
olvidar todas esas observaciones y retener sólo el modelo, pues las observaciones
se derivan en cualquier momento del modelo. Esto es lo que se llama economía conceptual
: la teoría nos proporciona un resumen muy conveniente de los hechos.
Pero, por otra parte, la teoría no se limita a los hechos. Puede incluir elementos
que no hemos observado, pero que la hacen más coherente o sencilla. Por ejemplo,
2.3 El universo de las dos esferas como ejemplo de teoría 51
la esfera celeste es crucial en nuestra teoría, pero no se observa: sólo se observan
las estrellas presuntamente jas a ella. Por tanto, aunque sirve para resumir las
observaciones, la teoría no es sólo un resumen. Es una construcción, una estructura,
levantada sobre esas observaciones.
Desde el punto de vista de la economía conceptual no hay nada censurable en
que nuestra teoría contenga elementos no observables, porque lo que hace falta es
que los hechos se deduzcan de la teoría, no que la teoría se deduzca de los hechos .
Pero, aunque nuestra teoría no sea menos económica por no derivarse de los
hechos, ¾no será menos cientí ca? ¾No tenemos que exigir, para que una teoría
sea cientí ca precisamente que se deduzca de observaciones u experimentos? No.
No podemos exigir esto a las teorías cientí cas por la sencilla razón de que de las
observaciones no se puede deducir ninguna teoría.
Esta es una a rmación muy contundente, y volveremos a ella en capítulos sucesivos.
Pero debería estar claro que, al menos en sentido estricto, de las observaciones
no se puede deducir nada: sólo pueden hacerse deducciones dentro de un sistema
formal, como son las matemáticas o como es un modelo físico. La razón estriba en
que en el sistema formal tenemos un número bien de nido, y desde luego nito, de
elementos con los que jugar y unas normas también bien de nidas para jugar con
ellos. En el mundo real, en cambio, hay un número prácticamente in nito de elementos
a los que recurrir para explicar los hechos. Así, de la rotación uniforme de las
estrellas no podemos deducir que la bóveda celeste está ahí. Esa rotación también
podría explicarse como una ilusión óptica debida a la rotación de la Tierra (así lo
hizo Heráclides Póntico en el siglo IV a.C.; ver pg. 94) o como el resultado de la
voluntad unánime y divina de las estrellas (una explicación que no desagradaría a
Homero).
Si lo que le pedimos a una teoría es que permita deducir los hechos y hay muchas
teorías de las que pueden deducirse, ¾con qué criterio elegimos una en lugar de otra?
Entra aquí otro aspecto peculiar de las teorías. Una teoría, hemos dicho, es una
estructura de la que se deducen los hechos. Pero nunca se deducen sólo los hechos
de los que hemos partido. Además se deducen otras consecuencias, que unas veces
pueden ser ciertas, y otras veces falsas. En el primer caso, nos rati caremos en la
teoría y en el segundo, la tendremos que abandonar. Por ejemplo, en su Almagesto,
escrito en el siglo II, Ptolomeo rechaza la idea de la rotación de la Tierra planteada
por Heráclides Póntico porque tiene consecuencias claramente contrarias a la
observación:
[Si la Tierra] efectuara su colosal revolución en tan corto periodo de
tiempo [...] los cuerpos que no estuvieran apoyados sobre su super cie
parecerían tener el mismo movimiento pero en sentido contrario, con lo
que ni las nubes, ni ningún animal volador o cuerpo arrojado al aire
daría la sensación de dirigirse hacia el este, pues la Tierra siempre les
precedería en tal dirección y se anticiparía a ellos en su movimiento
hacia oriente, de tal modo que todos parecerían retroceder hacia el
oeste.
Tendremos que volver sobre esto más adelante porque, como todos sabemos hoy,
la teoría de Heráclides es correcta… Pero Ptolomeo tenía razón metodológicamente.
52 2. Modelos del Cielo
Cuando adoptamos una teoría, tenemos que asumir todas las consecuencias que de
ella se derivan. Y si algunas de estas consecuencias resultan ser falsas, debemos
abandonar la teoría.
Hechos nuevos, preguntas nuevas
Cuando extraemos consecuencias de una teoría hay una tercera posibilidad, que
no hemos mencionado aún: la teoría puede predecir hechos nuevos, no veri cados
aún. Y este caso es sin duda el más interesante, pues la mejor manera de con rmar
la teoría es lanzarnos a veri car estas predicciones.
Nuestro modelo de las dos esferas nos proporciona un ejemplo. Teníamos una evidencia
bastante convincente de que la Tierra se curva en dirección N-S, y habíamos
adoptado la teoría de que se curva también en dirección E-W. Ahora bien, si lo
hiciera, ocurriría que, como el Sol, la Luna y las estrellas se mueven de este a oeste,
no saldrían y se pondrían simultáneamente para todos en la Tierra, sino que lo
harían más temprano para aquellos que están más al este.
He aquí la predicción de un hecho nuevo que, además, no era nada fácil de
veri car. Es fácil saber la hora aquí, con un reloj de Sol, pero ¾cómo saber qué hora
es ahora en un lugar apartado? No hace falta decir que en la Antigüedad no había
radio ni teléfono y las comunicaciones se hacían, como máximo, a la velocidad del
caballo. Quizá antes nadie se lo había planteado, pero la teoría, al a rmar que la
Tierra es esférica, había convertido esta pregunta en una cuestión candente. Si el
lector quiere pensar por sí mismo, puede dejar de leer aquí por un rato. Si no, aquí
tiene la respuesta en palabras, otra vez, de Ptolomeo:
[La clave está en los eclipses...], pues encontramos que los eclipses,
especialmente los lunares, que tienen lugar al mismo tiempo para todos
los observadores, no son sin embargo registrados como ocurriendo a la
misma hora (esto es, a igual distancia del mediodía) para todos ellos.
Más bien, la hora registrada por el observador más oriental es siempre
más tardía que para el observador más occidental. Encontramos que las
diferencias en hora son proporcionales a las diferencias en distancias
entre los lugares. Por tanto, podemos concluir razonablemente que la
Tierra es esférica.
Esta capacidad de las teorías para incitarnos a explorar y, además, dirigir nuestras
indagaciones, es una de sus mayores (y menos evidentes) virtudes. Un curioso efecto
secundario de esta virtud es que puede hacer que una pregunta (¾es la misma hora
en dos ciudades diferentes?) pase de ser una curiosidad ociosa a ser una cuestión
de gran trascendencia: el interés de una pregunta depende de qué teorías tengamos.
Otro ejemplo: la cuestión de cuanto dura exactamente un eclipse de Luna se adquirió
importancia después de los trabajos de Aristarco, pues esa medida proporcionaba el
factor n (pg. 35) necesario en su método para medir el tamaño de los astros.
Y lo mismo ocurre con los hechos: su relevancia depende de la teoría. Debe
haberse observado desde tiempos inmemoriales que, al alejarse en el mar, lo primero
que dejamos de ver de un barco es el casco y lo último el mástil. Sin embargo,
nadie debió conceder importancia a esta observación hasta que se concibió la teoría
2.4 El universo de Platón y Eudoxo 53
de que la Tierra es esférica. Hoy es una prueba de la redondez de la Tierra que
encontramos en todos los libros escolares: si la Tierra fuera plana, el barco iría
disminuyendo de tamaño hasta convertirse en un punto. Pero este argumento no
aparece en los escritos de los griegos hasta fecha bastante tardía (parece que fue
Estrabón quien lo mencionó por primera vez, en el siglo I a.C.).
Para qué sirven las teorías (II)
Todo esto podríamos responder al escéptico que criticaba la utilidad de hacer
teorías. Hemos argumentado que las teorías son útiles (porque resumen convenientemente
los hechos) y son interesantes (porque nos impulsan a hacernos preguntas
y a investigar). Pero seguramente la mayor parte de los cientí cos sentirían que esta
réplica está dejando de lado lo esencial. Esos cientí cos nos dirían que no hacen
ciencia para llevar una contabilidad e caz de hechos, ni para divertirse jugando a
las adivinanzas, sino porque quieren conocer cómo es de verdad el mundo. Y su entusiasmo
cuando, después de elaborar una teoría, se cumplen sus predicciones, es el
de quien siente que está descubriendo la verdad. Esta es la convicción profunda que
los lleva a emprender estos ejercicios teóricos. Pero, ¾podríamos convencer al esc
éptico de que nuestra teoría, además de útil y entretenida, es verdad? Intentaremos
responder a esta cuestión más adelante (ver pg. 75).
De momento, tenemos que volver a nuestro modelo de las dos esferas. Hasta
aquí hemos elogiado sus méritos, pero tiene un defecto evidente: que es un modelo
incompleto. ¾Qué hacemos con el Sol, la Luna y los planetas? Vamos a ver como
podemos ampliar el modelo para incluirlos.
2.4. El universo de Platón y Eudoxo
Incorporar el Sol a nuestro modelo de las dos esferas no es difícil. Ya vimos que
el Sol (Figura 2.4) unas veces queda por encima del ecuador celeste y otras por
debajo; sus alturas extremas a lo largo del año resultan estar a 23o30′ por encima y
por debajo del ecuador celeste, independientemente de la latitud. Con más precisión,
el camino que recorre el Sol sobre las estrellas (la eclíptica) resulta ser un círculo
máximo de la esfera celeste, como el ecuador celeste, pero inclinado 23o30′ respecto
de él.
Esto nos permite dar una explicación al movimiento del Sol, que habíamos descrito
en la página 43: el movimiento diario es un giro en torno al eje polar, exactamente
igual que el giro de las estrellas, y el movimiento anual es un giro, mucho más
lento y en sentido contrario, en torno a otro eje, perpendicular a la eclíptica. Este
doble giro puede realizarse si suponemos que el Sol no va jo directamente a la esfera
de las estrellas, sino a una esfera propia, cuyo eje está inclinado 23o30′ respecto del
eje polar. Esta esfera gira a razón de una vuelta por año, pero su eje está pinchado
en la esfera de las estrellas, y por tanto se ve arrastrado en el movimiento diario de
ésta.
La explicación del movimiento de la Luna es la misma, sólo que su esfera propia
(con una inclinación similar a la del Sol) no gira a razón de una vuelta por año sino
54 2. Modelos del Cielo
de una vuelta cada 27,3 días.
E W
Figura 2.7: Retrogradación de un planeta. Los puntos representan a un plantea a intervalos
regulares,
moviéndose contra el fondo de estrellas las de oeste a este. En la retrogradación, el planeta
parece ir más despacio y se invierte su sentido. Todos los planetas presentan retrogradaciones,
pero
su duración varía desde desde 23 días para mercurio hasta 138 días para Saturno.
Los planetas plantean un problema más difícil. Los rasgos generales de su
movimiento son similares a los del Sol y la Luna: un lento desplazamiento hacia
el este respecto de las estrellas jas. Este movimiento puede ser explicado también
con una esfera adicional, inclinada, con un periodo diferente para cada planeta.
Pero, como ya vimos (pg. 44), superpuesto a este movimiento promedio, un planeta
presenta irregularidades: la velocidad uctúa por encima y por debajo de ese
valor medio, y el planeta llega en ocasiones a pararse respecto a las estrellas y,
por algún tiempo, retroceder, es decir, a moverse hacia el oeste ( gura 2.7). Estas
retrogradaciones no pueden explicarse con dos esferas (la de las estrellas más una
propia) como hemos explicado el movimiento del Sol y la Luna.
El modelo de Eudoxo
Pero no hay que subestimar el ingenio de los griegos. Hacia el 370 a.C., un
discípulo de Platón llamado Eudoxo de Cnido consiguió reproducir el movimiento
de los planetas con cuatro esferas concéntricas (o, como suele decirse en astronomía,
homocéntricas):
1. La más externa es la esfera de las estrellas, que da cuenta del movimiento
diario, hacia el este.
2. La siguiente tiene el eje inclinado 23o30′ respecto de la anterior, de modo que
su ecuador es la eclíptica, y gira alrededor de su eje hacia el este. Hasta aquí es
igual que para el Sol, sólo que el periodo de este no es un año, sino el tiempo
medio que tarda el planeta en recorrer la eclíptica.
3. El eje de la tercera esfera está pinchado en dos puntos diametralmente opuestos
de la eclíptica
2.4 El universo de Platón y Eudoxo 55
4. El eje de la cuarta esfera forma con el de la tercera un ángulo que depende de
las características del movimiento. El planeta se halla sobre el ecuador de esta
esfera.
Las dos esferas exteriores, las primeras, son análogas a las del Sol y la Luna, y
dan cuenta del movimiento promedio del planeta. Las dos esferas interiores giran en
sentidos opuestos, y con el mismo periodo, igual al intervalo entre retrogradaciones.
Si las otras esferas no se movieran, esto daría un bucle en forma de ocho, cuyo
nombre técnico es hipópeda. Podemos verlo en la gura 2.8 en la que se han dibujado
las esferas 3a y 4a con sus ejes y un punto X, que representa un planeta, sobre el
ecuador de la esfera interior. En (a) vemos los respectivos ejes EF y GH. Si los dos
ejes coincidieran, como giran en sentidos contrarios, el movimiento de una esfera
contrarrestaría al de la otra y X no se movería. Pero como los ejes forman un cierto
ángulo, el punto X traza la gura en forma de 8 dibujada en (b) (donde ahora se ha
cambiado el punto de visión de modo que el plano de los ejes es perpendicular al del
papel). Al superponerse el movimiento de las esferas exteriores, el bucle proporciona
las retrogradaciones.
Hipopeda.pdf
3
H
4
E E
G
X
F
X G
(a) (b)
Figura 2.8: (a) Las dos esferas más interiores en el modelo de Eudoxo para un planeta. Ambas
giran en sentidos contrarios con el mismo periodo. El punto X representa un planeta. (b) La
misma
construcción en la que el punto de vista ha girado 90o. Se ha dibujado la gura descrita por el
planeta desde este punto de vista. La escala es la misma en ambos dibujos, pero la amplitud
vertical
del bucle se ha exagerado mucho).
El modelo de Eudoxo es notable por varias razones. Se trata del primer modelo
global del universo, un modelo que daba cuenta de los movimientos de todos los
cuerpos celestes. Pero además, es un modelo elegante, natural y versátil:
Es natural porque lo que hace es mantener la simetría del modelo de las dos
esferas, añadiendo a la esfera de las estrellas otras, que giran con distintas
velocidades e inclinaciones, para explicar el movimiento de los demás cuerpos
celestes.
Es versátil porque pueden añadírsele más esferas para reproducir casi cualquier
tipo de movimiento, a nando de esta manera su ajuste con las observaciones
56 2. Modelos del Cielo
(esto es lo que hizo Calippo unos años más tarde). Con esto el modelo pierde
sencillez, pero no demasiada, pues siempre se trata de esferas concéntricas.
Eudoxo concebía sus esferas como una descripción geométrica de los movimientos
de los planetas, pero no se preocupó de cómo enganchar físicamente unas con otras,
y cuando estudiaba un planeta describía su esferas ignorando las de los demás.
Aristóteles, que no tenía mentalidad de astrónomo sino de naturalista, adoptó el
modelo de Eudoxo pero dando realidad física a las esferas. El conjunto se convirtió en
un complicado mecanismo de relojería, que requería esferas correctoras intermedias
para que el movimiento de un planeta no arrastrara al siguiente. Necesitó así nada
menos que 55 esferas.
Un poco de losofía
A los méritos cientí cos del modelo de Eudoxo hay que añadir un atractivo
losó co que en su día contribuyó mucho a su aceptación, y que de hecho está en
su origen: es un modelo que está plenamente de acuerdo con la losofía de Platón.
Siguiendo a Pitágoras, Platón consideraba que, siendo las esfera y el círculo
las guras geométricas más perfectas, debían ser la base de todos los movimientos
celestes. Estos movimientos tenían que ser perfectos porque para Platón los cuerpos
celestes eran dioses. En esto coincidía con Homero, aunque los dioses de Platón no
eran los caprichosos dioses del Olimpo, sino austeras personi caciones de la razón:
Todo el curso y movimiento del cielo y de cuanto contiene posee un movimiento
semejante al movimiento, revolución y cálculos de la razón. Y que los astros eran
dioses se deducía del orden y armonía de sus movimientos:
Los hombres debería ver una prueba de la inteligencia de los astros [...]
en el hecho de que siempre reproducen los mismos movimientos, y esto
porque repiten desde un tiempo prodigiosamente largo unos actos que
ellos han decidido ya en otra época, en lugar de cambiar de opinión sin
norma alguna, de variar sin cesar sus movimientos y tener, en
consecuencia, revoluciones erráticas y desordenadas.
La idea de la inteligencia de los astros no era una extravagancia de Platon, sino
que era una creencia común en los lósofos de la Antigüedad. Cicerón la expuso con
claridad, utilizando conceptos aristotélicos:
En verdad Aristóteles ha de ser alabado por su idea de que el
movimiento de los seres vivos se debe a una de estas tres causas:
naturaleza, fuerza o voluntad. Ahora bien, el Sol, la Luna y todas las
estrellas están en movimiento y los cuerpos que se mueven por
naturaleza son llevados bien hacia abajo debido a su propio peso, bien
hacia arriba debido a su ligereza; mas ninguna de estas cosas sucede en
el caso de los cuerpos celestes, ya que su movimiento es el de revolución
en un círculo. Además, tampoco puede decirse que alguna fuerza mayor
les compela a discurrir de modo contrario a su naturaleza, porque ¾qué
fuerza tan enorme podría ser? Nos queda, por tanto, que el movimiento
2.4 El universo de Platón y Eudoxo 57
de los cuerpos celestes sea voluntario. Cualquiera que creyese esto
mostraría no sólo ignorancia, sino también impiedad, si negase la
existencia de los dioses.
Sin embargo, el movimiento de los planetas, con sus extrañas variaciones de
velocidad, parecía contradecir esta losofía.
No es extraño por eso que Platón desa ara a los astrónomos a interpretar estos
movimientos aparentes a través de la superposición de giros de esferas. Según
Sosígenes,
Platón planteó a los estudiosos el problema de hallar cuales deben ser
los movimientos uniformes y ordenados por cuya superposición puedan
salvarse los fenómenos relacionados con los movimientos de los planetas.
Eudoxo, con su modelo, consiguió responder al desafío de Platón.
Para terminar este inciso losó co quizá convenga hacer una matización. El
tipo de argumentación losó ca que acabamos de exponer puede parecer irrelevante
o incluso absurdo. Pero en su día no fue irrelevante, sino que se tomó muy en
serio, y en realidad ha seguido tomándose en serio hasta hoy. Todo cientí co, lo
reconozca o no, tiene unas opiniones losó cas que le in uyen a la hora de concebir
sus hipótesis, y le pueden inclinar a preferir unas a otras. No hay nada que objetar a
esta in uencia siempre que se limite a la concepción de los modelos y no se extienda a
su justi cación. Eudoxo era libre de buscar inspiración bebiendo de cualquier fuente,
pero, una vez planteado, su modelo tenía que sostenerse por sus méritos cientí cos,
no por su atractivo losó co.
Por otra parte, es cierto que algunos de los argumentos losó cos concretos
utilizados aquí pueden parecer, como mínimo, pintorescos. Platón encuentra en la
repetición eterna de los movimientos de los astros una señal de su inteligencia. Para
nosotros, acostumbrados a convivir con máquinas, un movimiento automático como
éste indica precisamente la ausencia de voluntad, de alma. Sin embargo, entonces
todavía se consideraba un signo de la excelencia del artesano su capacidad de imitar
con exactitud un modelo. ¾Y qué podría ser más inteligente que, una vez encontrada
la perfección, perseverar en ella?
Nuestra extrañeza ante los argumentos de Platón es un indicio de lo alejada
que está nuestra imagen del mundo de la suya. Hoy pensamos en el universo físico
como inanimado y automático, pero esta concepción se desarrolló en los siglos
XVII y XVIII, y es totalmente ajena al pensamiento no sólo griego, sino de toda la
Antigüedad. Esto quedará más claro en capítulo 4, cuando estudiemos la cosmovisión
griega, en la formulación que le dio Aristóteles.
58 2. Modelos del Cielo
Capítulo 3
Mapas de la Tierra
De tres hermanos el de en medio se fue
Por la vereda a descubrir y a fundar
Y para nunca equivocarse o errar
Iba despierto y bien atento al horizonte igual.
Silvio Rodríguez
En el capítulo anterior hemos visto como, a lo largo de quinientos años, las
contribuciones de muchos sabios cambiaron radicalmente las ideas de los griegos (al
menos, de los griegos cultos) sobre el Cielo y sobre la Tierra. El mundo de Platón y
Eudoxo tenía poco que ver con el mundo de Homero. La bóveda celeste que soportaba
Atlas fue reemplazada por la esfera de las estrellas, la Tierra dejó de ser un disco…
Pero ¾qué ocurrió con el contenido de esa Tierra?¾sufrió un cambio igual de radical?
Hemos descrito cual era la cosmología en la que culminó el pensamiento griego, pero
¾cual era su geografía? ¾cómo eran sus mapas?
3.1. Con los pies en la Tierra
No nos ha llegado casi ningún mapa de la Antigüedad, y sin embargo, sabemos
con seguridad que los mapas eran comunes desde tiempos muy remotos. Lo sabemos
porque hay menciones a mapas en textos que sí que nos han llegado (por ejemplo, en
Las nubes, de Aristófanes, hay una escena en que un personaje señala Atenas en un
mapa del mundo). Pero incluso sin estas menciones, el sentido común nos dice que los
mapas eran tan necesarios a los militares y a los marineros entonces como ahora. De
hecho, precisamente esta importancia práctica explica que se hayan conservado tan
pocos ejemplares antiguos: los mapas se llevaban de viaje, y viajar no era entonces
precisamente hacer turismo: los asaltos de los bandidos y los naufragios eran la
norma. Muchos mapas se destruyeron así.
Además, los mapas eran una fuente de información muy valiosa para el enemigo,
o para los rivales comerciales. El emperador Augusto guardaba los mapas del Imperio
en las criptas más secretas de palacio, y su divulgación no autorizada era una traición
que en ocasiones fue castigada con la muerte. Esta política de secreto ha sido común
59
60 3. Mapas de la Tierra
a todos los imperios. Cuando España descubrió el Nuevo Mundo, no se autorizó la
impresión de copias de ninguno de los mapas originales hechos por los conquistadores
(de modo que hoy se han perdido para siempre los documentos trazados por Colón,
Cortés o Magallanes); y toda la información geográ ca se centralizaba en la Casa
de Contratación para evitar que cayera en manos no autorizadas. Las autoridades
compraron ediciones enteras de libros y mapas para destruirlos y evitar la difusión
de información sobre las Indias.
A diferencia de la cosmología, la cartografía fue desde el principio un saber
eminentemente práctico. Quienes hacían mapas no miraban al cielo. Eran hombres
con los pies en el suelo, que querían saber, por ejemplo, los accidentes de la costa
que se iban a encontrar, no por curiosidad intelectual, sino para no perder el barco
(y quizá la vida) contra unos bajíos.
Realizar este tipo de mapas no es difícil cuando se trata de áreas pequeñas que
conocemos de primera mano: por ejemplo, el estuario de un río. La cosa se complica
cuando ampliamos nuestros horizontes. Quien en la Antigüedad se interesaba por
los territorios lejanos tenía que con ar en el testimonio de viajeros: comerciantes,
marineros, expedicionarios militares… gremios todos estos que nunca ha destacado
por querer compartir sus conocimientos reales, sino más bien por ocultarlos tras el
secreto comercial o militar.
Incluso las observaciones de buena fe eran poco ables. Marino de Tiro, uno de
los primeros geógrafos, se quejaba a principios del siglo II de que generalmente sólo
podía estimar la longitud de un viaje a partir de su duración, sin saber cuanto de este
tiempo pasó el barco anclado o al pairo, ni poder tener en cuenta la fuerza variable
del viento o las corrientes, pues estos datos no se solían registrar. Finalmente, Marino
lamentaba el amor a las fanfarronadas de los marineros, que les hacía exagerar las
distancias recorridas.
Todo esto, en el caso de que no se añadiesen fabulaciones que hicieran más
interesante la historia. Un marino llamado Piteas, del que apenas nada se sabe,
emprendió viaje desde Marsella, y encontró, seis días al norte de Gran Bretaña, la
isla de Thule. Al norte de ésta desaparecía la distinción entre tierra, aire y mar;
en su lugar, había una extraña combinación de los tres, una especie de suspensión
gelatinosa que hacía la navegación (y la vida) imposibles. Pese a lo inverosímil de
este relato, Thule apareció como el extremo norte del mundo en todos los mapas
hasta el Renacimiento: a falta de datos, ¾con qué otra cosa podía llenarse un mapa?
Los problemas de un mapa a gran escala
Menos evidentes que estas di cultades, y más interesantes para nosotros, son
las que aparecen cuando queremos hacer un mapa de una región bien conocida
pero amplia. Pensemos, por ejemplo, en algo que habría sido muy apreciado por
los marineros del Viejo Mundo: un buen mapa de las costas del Mediterráneo. Un
estudioso interesado en confeccionar tal mapa regional podría posiblemente recopilar
mapas locales de todos los tramos de costa y reunirlos en un mosaico. Pero sólo
podría empalmar correctamente estos mapas locales si están propiamente orientados
y las distancias están a escala.
No son en principio requisitos demasiado difíciles. Para poder orientar un mapa
3.1 Con los pies en la Tierra 61
hay que jar los puntos cardinales, lo que requiere sólo unos conocimientos básicos
de astronomía (basta con lo que hemos aprendido en el capítulo anterior). Y para
confeccionar un mapa local a escala es necesario conocer por lo menos alguna de las
técnicas de medida de distancias que inventó Tales y que describimos en el primer
capítulo.
En la práctica, sin embargo, no avanzaremos mucho si no usamos el método de
triangulación. La triangulación no es más que la idea original de Tales para ubicar
un barco a distancia ( guras 1.4 y 1.6), convertida en método gracias a la aplicación
sistemática de la trigonometría. Recordemos que el resultado fundamental de esta
disciplina es que conocidos tres datos de un triángulo podemos conocer los otros tres.
Si conocemos, por ejemplo, un lado y dos ángulos, sólo necesitaremos una tabla de
razones trigonométricas y con un poco de paciencia para hacer cuentas obtendremos
los dos lados que faltan.
C D
ABC
CAB
A
B
Figura 3.1: Fundamento de la triangulación: Si medimos la distancia AB (línea base) entre dos
pueblos A y B y podemos medir los ángulos\CAB y\ABC desde cada uno de ellos a un tercer
pueblo inaccesible C, podemos obtener las distancias AC y BC con la ayuda de una tabla de
razones trigonométricas. El proceso puede repetirse para el pueblo D y así sucesivamente cubrir
todo un territorio.
Así ( gura 3.1), si hemos medido la distancia en línea recta entre dos pueblos
vecinos, A y B (por ejemplo, extendiendo entre ellos una cadena de longitud conocida
tantas veces como haga falta), podemos medir las distancias de éstos a un tercer
pueblo, C, auque no haya manera de desplazarse hasta él en línea recta. Basta
subirse al campanario de A para medir el ángulo entre los campanarios de C y B
(que llamaremos [CAB ) y medir análogamente desde el campanario de B el ángulo
[ABC. Con unas pocas cuentas se obtienen las distancias AC y BC.
Una vez localizado así el pueblo C, podemos realizar una nueva triangulación
para jar la posición del siguiente pueblo, D: si podemos verlo desde C y B, basta
medir\DCB y\DBC y repetir el proceso. Nuestra red de triángulos se irá extendiendo
así hasta abarcar todo el territorio.
La triangulación es un método excelente para hacer un mapa local, a escala de
unas decenas o unos pocos cientos de kilómetros. Provistos de un juego completo de
62 3. Mapas de la Tierra
tales mapas, podríamos por n componerlos en un mosaico de un territorio grande,
como toda la cuenca del Mediterráneo.
Parece que hemos resuelto el problema... pero tampoco así obtendríamos un buen
mapa. En primer lugar, al ir empalmando un mapa tras otro, los errores se van acumulando.
Y no sería solución hacer una triangulación que abarcara el Mediterráneo
entero. Nuestros resultados dependen de la precisión con la que midamos la línea
base inicial (es decir, la distancia AB), y los sucesivos ángulos. Pero esa precisión no
puede ser in nita, y al alejarnos de la línea de base inicial, los errores aumentarían
inevitablemente, igual que empalmando mapas parciales.
En segundo lugar, hay un problema fundamental: la Tierra es redonda, y pegando
pequeños mapas planos sólo obtendremos un mapa plano.
En resumen: un mapa a gran escala (de unos miles de km) plantea problemas
importantes incluso cuando todas las regiones que abarca son bien conocidas a peque
ña escala (de unos pocos km). Para no perderse, para no acumular errores, hace
falta tener puntos de referencia cuya posición conozcamos con seguridad. Tenemos
que encontrar unos anclajes seguros para la telaraña de la triangulación.
¾Cómo jar con seguridad la posición de un punto de anclaje, si no es con
referencia a otro, que a su vez sólo puede jarse respecto a un tercero...? ¾Tiene
solución este problema sin caer en una regresión in nita? Aquí es donde los terrenales
cartógrafos tuvieron que levantar su mirada a las estrellas.
3.2. Latitud y longitud
Ante todo, una vez que sabemos que la Tierra es redonda, hay una manera
de localizar cualquier punto sobre ella: mediante dos coordenadas, la latitud y la
longitud, indicadas por los paralelos y los meridianos. Si conocemos bien la latitud
y longitud de unos cuantos puntos de referencia, esos puntos nos proporcionarán el
anclaje que buscamos para nuestra triangulación.
El mapa de Eratóstenes
La idea de latitud y longitud nos parece hoy muy sencilla, pero tardó mucho
tiempo en abrirse paso. El precursor fue Eratóstenes, erudito universal y bibliotecario
de Alejandría, al que conocimos en la página 27 midiendo el tamaño de la Tierra.
Según su costumbre, se había empapado de todo lo que sobre geografía habían escrito
sus predecesores, e intentó poner orden en ese revoltijo que mezclaba fantasías sobre
dragones y hombres sin cabeza con datos útiles y veraces. Para sintetizar toda la
información able se propuso trazar un mapa de todo el mundo habitado: desde
Hibernia al oeste (la actual Irlanda) hasta el inde nido extremo de la India al este;
y desde la isla de Thule al norte hasta la de la Canela (Ceilán) al sur.
Para marcar las posiciones de los accidentes geográ cos, trazó dos líneas de
referencia. Una iba en dirección E-W, desde el Promontorio Sagrado (actual cabo de
San Vicente, en el sur de Portugal), pasando por las Columnas de Hércules (estrecho
de Gibraltar), el estrecho de Sicilia, los cabos del sur del Peloponeso, la isla de Rodas,
las montañas de Taurus (en la actual Turquía) y acabando en los remotos picos de
3.2 Latitud y longitud 63
Figura 3.2: Una reconstrucción del mapa de Eratostenes.
la cadena de montañas que forma el límite norte de la India. Esta extensión de tierra
ocupaba para Eratóstenes las dos terceras partes de la circunferencia del globo; el
resto estaba ocupado por el océano.
La otra línea, en dirección N-S, bajaba desde la desembocadura del río Borístenes
(Dnieper), pasando por Bizancio, Rodas, Alejandría, y Meroê, en el sur de Egipto.
Eratóstenes trazó además paralelos adicionales por lugares de importancia histórica
o comercial, y prolongó el meridiano hacia el norte, hasta el paralelo de Thule, y al
sur, hasta la llamada isla de los fugitivos egipcios.
En todo esto no fue ni riguroso ni geométrico: no sólo su meridiano está muy
poco recto (lo que es disculpable, dadas las di cultades para determinar la longitud),
sino que sus paralelos pasan por lugares arbitrarios en vez de estar espaciados con
regularidad.
De la esfera celeste a la esfera terrestre
El concepto de una red equiespaciada de paralelos y meridianos, que permita jar
con dos números (latitud y longitud) la posición de cualquier lugar de la Tierra es el
fruto de una mentalidad muy distinta de la de un erudito y curioso universal como
Eratóstenes. Es un concepto matemático, y nació de la mano de Hiparco de Nicea
hacia el año 150 a.C., unos ochenta años más tarde de que Eratóstenes confeccionara
su mapa.
Hiparco era ante todo un astrónomo. Fue el primero en realizar un catálogo amplio
de estrellas (incluía 1080), identi cando la posición de cada una por dos ángulos,
o coordenadas celestes, que hoy llamamos ascensión recta y declinación. Como
64 3. Mapas de la Tierra
buen astrónomo, amaba el orden y la precisión, y le repugnaban los paralelos históricos
y comerciales de Eratóstenes, hasta el punto de escribir una diatriba titulada
precisamente Contra Eratóstenes. En esta obra señalaba algo que era una consecuencia
natural del modelo del universo de las dos esferas: que sus coordenadas celestes
pueden proyectarse sobre la esfera terrestre para situar en ella cualquier punto. La
ascensión recta se convierte en la longitud y la declinación en la latitud.
Las ideas de Hiparco eran un gran paso adelante para la geografía, pero no
servían de nada sin un método que permita jar latitud y longitud, al menos para
algunos puntos de referencia. Ya hemos visto (pg. 50) que la latitud puede obtenerse
a partir de la altura sobre el horizonte de la estrella Polar, o del Sol a mediodía si
se dispone de tablas apropiadas. Hiparco señaló otros dos métodos: (1) a partir de
la proporción entre la longitud de la sombra a mediodía de un palo vertical y su
altura, en los equinoccios o los solticios, y (2) a partir de la duración del día más
largo del año
Para facilitar el uso de estos métodos, Hiparco tabuló para cada latitud ambos
parámetros. Además, calculó los cambios en las estrellas que aparecerían sobre el
horizonte al ir subiendo de latitud, grado a grado, del Ecuador al Polo Norte.
La problemática longitud
La razón de que las estrellas nos permitan determinar fácilmente la latitud,
es decir, nuestra posición en dirección N-S, radica en que en esa dirección están
estrictamente jas: todo su movimiento, por de nición, tiene lugar en dirección EW.
Está claro que determinar la longitud va a ser más difícil. Si sobre nuestra cabeza
vemos en este momento una estrella, dentro de una hora veremos otra, precisamente
la que ahora está viendo sobre la suya un observador situado 15o más al este que
nosotros (ya que 15o es 1/24 de la esfera y una hora es 1/24 del día). Sobre la cabeza
de todos los observadores situados a la misma latitud pasan las mismas estrellas. La
única diferencia es que los observadores que están más al oeste las ven más tarde.
Este retraso, que ya mencionamos en la página 52, va a ser nuestro único recurso
para determinar la longitud.
Si estamos, por ejemplo, en Siracusa y nuestro amigo Hiparco nos llama por
teléfono desde Rodas en el momento en que ve que una cierta estrella atraviesa el
meridiano (es decir, está exactamente al sur), sólo tenemos que poner el cronómetro
para medir el tiempo que transcurre hasta que esa estrella atraviesa el meridiano
desde nuestro punto de vista. Cada hora de retraso signi ca 15o de diferencia en
latitud. En nuestro ejemplo, habrían pasado unos 52 minutos, lo que equivale a unos
13o de diferencia de latitud. El método era bien conocido por Hiparco y Ptolomeo
y funciona perfectamente, excepto por un detalle: en la antigua Grecia no había
teléfonos.
Pero quizá podamos prescindir del teléfono. Basta tener dos relojes sincronizados,
uno en Rodas y otro en Siracusa, y ponernos de acuerdo (por carta) sobre qué
noche vamos a hacer la observación del paso de la estrella por el meridiano. Luego,
podemos (por carta otra vez) comparar nuestros registros y ya tenemos la diferencia
de longitud. Ahora bien: ¾cómo sincronizamos nuestros relojes? Ya que no podemos
usar un teléfono, quizá podríamos ir a Rodas a sincronizar allí nuestro reloj con el
3.2 Latitud y longitud 65
de Hiparco. Pero sigue habiendo un problema: no podemos garantizar que, cuando
volvamos a Siracusa, el reloj siga sincronizado. De hecho, los griegos no conocían el
reloj mecánico, y tal sincronización era imposible más allá de las pocas horas que
podía medir una clepsidra...
El problema parece insoluble, pero Hiparco señaló una manera de resolverlo, y
de hecho, nosotros la hemos mencionado en el capítulo anterior (¾Lo recuerda el
lector? Le recomendamos que lo piense unos segundos antes de seguir leyendo).
La clave está en los eclipses, decíamos: conociendo la hora a la que se produce
un eclipse en las dos ciudades, podemos saber su diferencia de latitud (ver la cita de
Ptolomeo en pg. 52). Desafortunadamente, los eclipses no son demasiado frecuentes,
y en la Antigüedad no hubo su ciente interés por este problema para que se pudieran
determinar sistemáticamente las longitudes, ni siquiera de las principales ciudades.
Hiparco se tuvo que conformar con la teoría, y de hecho, parece que incluso Ptolomeo,
que fue el mayor geógrafo de la Antigüedad, sólo contaba con datos de un eclipse:
el que, el 20 de septiembre del año 332 a.C. ocurrió diez días antes de la batalla
de Arbela, en la que Alejandro Magno derrotó a Darío III de Persia. En Arbela el
eclipse ocurrió en la 5a hora de la noche, mientras que en Cartago se registró a la
2a hora. Los registros no fueron muy exactos, porque la diferencia real de longitud
entre ambos lugares corresponde a dos horas y cuarto, no a tres. Ptolomeo por eso
sobreestimó considerablemente la distancia entre Persia y Cartago.
La geografía de Ptolomeo
Hiparco no realizó, que sepamos, ningún mapa. Su idea de trazar una carta
terrestre análoga a las cartas celestes que él había realizado, con los accidentes
geográ cos identi cados por sus dos coordenadas como las estrellas, fue llevada a
la práctica nalmente por otro destacado astrónomo que vivió 300 años después:
Claudio Ptolomeo.
Su obra, la Geographia, es la cumbre de la cartografía de la Antigüedad y no
fue superada durante mil cuatrocientos años. Aunque en los detalles geográ cos
debe mucho a autores anteriores, sobre todo a Marino de Tiro, el gran mérito de
Ptolomeo es conceptual. Quería representar todo el mundo habitado, pero se enfrentaba
al problema de que había regiones bien conocidas y otras de las que se
sabía muy poco. Las primeras quedaban abarrotadas de nombres ilegibles y las segundas
casi en blanco. Ptolomeo dió con una solución simple e ingeniosa: hacer el
mapa de cada región a la escala que fuera más adecuada, y reunirlos todos ordenados
en un libro. La Geographia es en realidad un atlas, el primero de la historia: una
colección de 26 mapas regionales y un gran mapamundi que proporciona una visión
de conjunto y sitúa los mapas regionales; todo ello precedido de un tratado geográ -
co que explica su elaboración y seguido por una lista de las latitudes y longitudes de
las principales ciudades y accidentes geográ cos.Una organización tan afortunada
que ha sido copiada por todos los atlas que se han realizado desde entonces.
Ptolomeo fue, además, el primero que se preocupó del irritante problema que
plantea representar la super cie esférica de la Tierra sobre el plano del papel. Propuso
dos maneras de hacer esto: una proyección cónica y otra esférica modi cada. En
ambas los paralelos son arcos de circunferencia, pero mientras que en la primera los
66 3. Mapas de la Tierra
Figura 3.3: Mapa de Ptolomeo, usando la proyección esférica modi cada, en una versión de 1467.
meridianos son rectas, en la segunda son curvos. Ptolomeo no se limitaba a describir
sus proyecciones, sino que daba instrucciones detalladas para transformar latitudes
y longitudes en posiciones sobre el papel. La proyección esférica daba un aspecto
más natural al mapa, y las formas resultan menos alteradas, pero es mucho más
difícil matemáticamente. En palabras del propio Ptolomeo,
Incluso aunque para mí, aquí y en todas partes, el esquema mejor y
más difícil es preferible al más pobre y fácil, he retenido ambos
métodos a bene cio de aquellos que, a causa de la pereza, dibujen
según aquel método sencillo.
En vista de estas declaraciones, resulta irónico que Ptolomeo usara la proyección
fácil (cónica) en su mapamundi... pero es que realmente las cuentas eran complicadas
para la época.
Excepto por el aspecto un tanto extraño de esta proyección, la impresión de
modernidad de la Geographia de Ptolomeo es asombrosa: los mapas con paralelos
y meridianos, orientados con el norte arriba, su organización en forma de atlas,
los signos convencionales y convenciones de colores que a menudo siguen en vigor,
hacen difícil de creer que nos hallemos ante una obra con casi dos mil años. Nada
más grá co que comparar estos mapas con los de la Edad Media para apreciar lo
que se perdió con el n la de Antigüedad.
3.3 La larga historia de la longitud 67
La Geographia de Ptolomeo fue copiada muchas veces a lo largo de la Edad
Media, aunque en occidente fuese casi desconocida (la copia manuscrita más antigua
que se conserva, del siglo XII o XIII, está en el monasterio de Vatopedi, en el monte
Athos). En 1410 se completó en Italia una traducción al latín, y unos años más
tarde, el benedictino Nicolaus Donis se atrevió a redibujar los mapas en la difícil
proyección esférica que Ptolomeo recomendaba pero no usaba.
Con la imprenta y el comienzo de la era de los descubrimientos, la Geographia
de Ptolomeo se puso de moda. Antes del año 1500 se habían publicado al menos
siete ediciones, y hasta el año 1570, en el que apareció el Theatrum Orbis Terrarum
de Abraham Ortelio, siguió siendo el atlas de referencia, hasta el punto de que a
menudo los nuevos descubrimientos (como las Indias Occidentales o la comunicación
por el sur de los océanos Atlántico e Índico) se registraban en un mapa nuevo que
se publicaba al lado del viejo mapa tolemaico, sin sustituirlo.
3.3. La larga historia de la longitud
Hemos visto hasta aquí que para tener un mapa realmente preciso, que mantenga
a raya la acumulación de errores inevitable en la triangulación, es necesario conocer
para una serie de puntos de referencia su posición sobre la esfera terrestre (es decir, su
latitud y su longitud). Hace falta también conocer el tamaño de esa esfera, de modo
que podamos traducir esas coordenadas en distancias. Los antiguos griegos sabían
como obtener esa información: la latitud podía medirse con los métodos señalados
por Hiparco; la longitud (o más bien, la diferencia de longitudes entre dos puntos)
se podía calcular a partir de la diferencia horaria en un eclipse; y el tamaño de la
Tierra ya había sido medido por Eratóstenes y Posidonio.
Con esto parece que todo el problema está resuelto. Sin embargo, en la práctica
sólo las latitudes se medían con facilidad. Los datos sobre eclipses eran escasísimos,
y la medida de la Tierra se enfrentaba a la incertidumbre en la medida de las largas
distancias, lo que había llevado a la discrepancia entre los datos de Estrabón y
Eratóstenes: si la Tierra tiene 28350 km de circunferencia, como decía el primero,
un grado de latitud (o de longitud en el ecuador) son 79 km; mientras que si tiene
39168 como decía el segundo, un grado son 109 km.
Estas inexactitudes no preocuparon en el mundo antiguo más que a estudiosos
perfeccionistas como Hiparco o Ptolomeo. Los marineros del Viejo Mundo habrían
apreciado, sin duda, el mapa preciso del Mediterráneo que hemos venido persiguiendo
en las últimas secciones. Pero en la práctica se podían pasar bastante bien sin él.
Pocas veces se alejaban mucho de la costa, y cuando volvían a ella, encontraban
enseguida referencias para situarse. Sólo cuando, muchos siglos más tarde, empezó
a cruzarse el Atlántico con regularidad, la determinación de la longitud se convirtió
en un problema acuciante. Un problema que además adquirió pronto una dimensión
política.
El descubrimiento de las Indias enfrentó a los dos países que lideraban las expediciones:
España y Portugal. Sólo unos meses después de que Colón regresara de su
primer viaje, el con icto incipiente por la posesión de las nuevas tierras fue zanjado
por mediación del Papa: en mayo de 1493 Alejandro VI promulgó una Bula de
68 3. Mapas de la Tierra
demarcación, que trazó un meridiano a cien leguas al oeste de las Azores, y asignó
a España todas las tierras situadas al oeste, y a Portugal las que quedaran al este.
Era un golpe maestro de diplomacia, pero tenía un inconveniente: sin un método
able para determinar la longitud en alta mar, no había manera de saber por dónde
pasaba ese meridiano, y ambos países se enzarzaron en una polémica inacabable.
Pero lo más grave eran las pérdidas económicas y humanas. Cada pocas semanas
zarpaban barcos que llevaban el oro y la plata de las Indias a España. Iban
en convoyes fuertemente armados, pero las escoltas no podían hacer nada contra un
enemigo mucho más insidioso que los piratas: la incertidumbre. Un capitán podía
conocer bastante bien su latitud; podía estimar la velocidad del barco con la corredera
(viendo a qué velocidad quedaba atrás un otador atado a una cuerda) y podía
tener una idea del rumbo con la brújula, que se usaba en occidente desde el siglo
XII. Si trasladaba luego estos datos a una carta de navegación, se hacía una idea
aproximada de su posición en el mar. Era lo que se llamaba navegar a estima, y eso
era realmente: un arte tan inexacto que era raro el barco que avistaba tierra en un
lugar conocido. Los retrasos eran continuos, y las pérdidas ingentes. Peor aún, de vez
en cuando los naufragios se llevaban cargamentos enteros, con toda su tripulación.
Los caballeros del punto jo
La longitud podía determinarse en tierra, esperando a un eclipse, registrando
su hora solar exacta, y comparando con la hora solar en un observatorio conocido.
Como ya vimos, cada hora de diferencia signi ca 15o de latitud (ya que los 360o de
la circunferencia equivalen a 24 horas). Tal método era, obviamente, inviable para
un barco cruzando el Atlántico. Durante cien años no se avanzó lo más mínimo en
la solución del problema, y encontrar la longitud (o, como se decía a menudo, el
punto jo) empezó a verse como una empresa similar a cuadrar el círculo o descubrir
las fuentes del Nilo. Según J. L. Comellas,
Si la altura de la Polar -o por deducción, la de cualquier otra estrellanos
proporciona la latitud y nos permite conocer por tanto el paralelo
en que nos encontramos, la determinación de la longitud o meridiano
fue por largo tiempo un problema casi irresoluble. Los cosmógrafos de
la época de Colón lo consideraron resignadamente como un límite
puesto por la Providencia al conocimiento humano. Y no fue porque
no se tratara a toda costa de resolverlo.
El cosmógrafo Berganza declararía después que venidós años ha que
ando tras el punto jo. Se refería a un punto de referencia en el cielo,
como podría ser un polo Este que sirviese para calcular las
longitudes. Naturalmente, murió sin encontrarlo.
Cuando en 1598 Felipe III ofreció un premio de 6000 ducados de renta perpetua,
una caterva de lunáticos acudió con las propuestas más disparatadas, y la historia se
repitió en los años siguientes en los principales países europeos: Portugal, Francia,
Venecia, Holanda...
Todavía en 1687 un inventor anónimo propuso usar el polvo de la simpatía, que,
descubierto por el noble inglés Sir Kenelm Digby, se decía que curaba las heridas a
3.3 La larga historia de la longitud 69
distancia, cuando se aplicaba a un objeto que hubiera estado en contacto con el enfermo.
La curación, sin embargo, no era indolora: los pacientes daban saltos de dolor
cuando se aplicaba el polvo a una venda retirada de la herida, o al cuchillo que la
in igió. Pero este desagradable efecto secundario podía utilizarse provechosamente.
Como explica Dava Sobel en su libro Longitud,
Se trataría de subir a bordo un perro herido cuando el barco zarpase,
dejando en tierra a un individuo de con anza que sumergiese
diariamente la venda del animal en la solución de la simpatía, siempre
a mediodía. Por supuesto, el perro reaccionaría con un gañido, y con
ello proporcionaría al capitán una indicación horaria. El chillido del
perro signi caría: el Sol está sobre el meridiano de Londres. Entonces,
el capitán podría comparar esa hora con la hora local de a bordo, y
calcular la longitud. Desde luego, habría que con ar en que el polvo
realmente retuviese su poder como para ser percibido a muchas leguas
mar adentro, y además -algo muy importante-, que no curase la herida
reveladora durante varios meses. (Algunos historiadores opinan que
seguramente habría que in igir heridas al perro más de una vez en el
transcurso de una larga travesía).
No está claro si esta propuesta se hizo en serio o si se trataba de una caricatura
del tipo de ideas absurdas que manejaban los excéntricos buscadores del punto jo.
Galileo invoca a Júpiter
Pero no todo eran chi ados. Al concurso de Felipe III concurrió en 1616 un
inventor italiano llamado Galileo Galilei, con una propuesta basada en el uso del
telescopio. Había descubierto cuatro satélites que orbitaban alrededor de Júpiter, y
compiló tablas de su movimiento que, por ser perfectamente regular, podía proyectarse
con varios meses de anticipación. Los satélites proporcionaban así un reloj
universal, que marcaba la misma hora para todos los puntos de la Tierra, y permit
ía llevar a cabo la estrategia que ya propuso Hiparco con los eclipses: observar
un evento determinado (por ejemplo, la ocultación tras Júpiter de un cierto satélite)
desde dos lugares distantes y ver la diferencia en el tiempo local de los dos lugares).
Galileo no consiguió convencer a la corte española, y en 1636 presentó su plan
a Holanda, que ofrecía un premio de 30000 escudos. La comisión formada al efecto
lo encontró prometedor, premió a Galileo con una cadena de oro, y solicitó más
detalles. Pero Galileo falleció en 1642, antes de que se cerraran las negociaciones.
El método de Galileo era conceptualmente impecable, pero la corte española
tuvo razón al rechazarlo: no era nada fácil observar Júpiter desde la cubierta en
movimiento de un barco, y las tablas que había compilado Galileo no eran su cientemente
precisas: hacían falta mejores telescopios, observaciones más pacientes y
relojes más precisos.
70 3. Mapas de la Tierra
Colbert encuentra a Cassini
En de nitiva, la técnica no estaba su cientemente madura. No lo estuvo hasta
1668, cuando Giovanni Domenico Cassini, publicó, tras 16 años de observaciones,
sus Ephemerides, unas tablas que recogían con mucha más precisión el movimiento
de los satélites de Júpiter. Cassini se había ganado su reputación como astrónomo e
ingeniero trabajando para el Papa, pero cuando una copia de las Ephemerides llegó
a la corte de Francia, Jean Baptiste Colbert, el todopoderoso ministro del Interior
de Luis XIV, decidió que tenía que tener en París al autor de ese trabajo.
Colbert era un cientí co a cionado, y fue el primer político que entendió claramente
el valor práctico que tiene la ciencia para el Estado. Fundó en 1666 la
Académie Royale des Sciences , una institución que representaba una nueva manera
de hacer ciencia: por primera vez, el Estado patrocinaba la investigación, no con
premios esporádicos o con mecenazgos caprichosos, sino creando puestos de trabajo
jos y dotados de medios en abundancia para los investigadores más brillantes.
Colbert los buscó por toda Europa, y les ofreció generosísimos salarios. Allí fueron
el físico holandés Christiaan Huygens, el astrónomo danés Olaüs Römer...y nalmente,
en 1669, el italiano Giovanni Domenico Cassini, que acabó convirtiéndose en
el francés Jean-Dominique Cassini.
Con el generoso respaldo de Colbert, el genio del astrónomo empezó a producir
resultados a una escala desconocida. Los eclipses de Luna son poco frecuentes, pero
los satélites de Júpiter proporcionaban uno o varios eclipses cada noche. Fueron
observados desde cientos de ciudades; armados de buenos telescopios y de las excelentes
Ephemerides de Cassini, los enviados del Observatorio de París determinaron
sus longitudes; pronto, otros países hicieron lo mismo. Cassini mandó confeccionar,
en el suelo de una torre del Observatorio, un gigantesco mapamundi, en el que se
iban registrando los datos de longitud y latitud que iban llegando. El planisferio
impresionó al rey, y pronto empezaron las expediciones geográ cas: a la Guayana, a
Egipto, a Madagascar, a China, al Cabo de Buena Esperanza...
La medida del mundo
Ya sólo faltaba, para tener el mapa físico del mundo, poder traducir las diferencias
de latitud y longitud a distancias, y para eso era necesaria una medida exacta del
tamaño de la Tierra. Naturalmente, la Academia se puso manos a la obra. En 1669
asignó la misión al astrónomo (y sacerdote) Jean Picard.
Se trataba de repetir el método de Eratóstenes: medir la distancia entre dos
puntos situados sobre el mismo meridiano, y medir también su diferencia de latitud.
De este modo, se calcula la medida de un grado (y por tando, la circunferencia
de la Tierra, que son 360o). El método era viejo, pero nunca se había realizado
con tan exquisito cuidado y medios técnicos tan so sticados: Picard disponía de la
mejor instrumentación para medir ángulos y determinar latitudes. Tardó dos años
en medir por triangulación la distancia entre dos puntos, uno en París y otro en
Amiens, unas 32 leguas francesas al norte. Resultó ser de 68430 toesas y 3 pies. La
diferencia de latitud medida fue de 1o11'57. De modo que un grado medía 57064
toesas y 3 pies, equivalentes a 110.46 km. De acuerdo con esto, Picard anunció que
3.3 La larga historia de la longitud 71
el radio de la Tierra medía 6328.9 km (el valor aceptado actualmente para el radio
polar es de 6357 km: su valor tenía un error de sólo el 0.44 %).
El talento y el dinero reunidos en la Académie Royale habían resuelto, nalmente,
el problema de los mapas: el proyecto, que nació con Hiparco, de tener una carta
terrestre con la misma precisión que las cartas celestes había culminado 1800 años
después.
Pero esto no signi ca que se hubiera resuelto el problema de la longitud.
Al menos, no donde resultaba más acuciante: desde la cubierta de un barco en
movimiento era imposible observar con precisión los satélites de Júpiter. Así que los
barcos seguían lanzándose a ciegas a cruzar el Atlántico, y los naufragios continuaban.
Un gran premio y un catálogo de di cultades
El problema adquirió una dimensión trágica en Inglaterra tras el naufragio, en
1707, de la ota mandada por Sir Cloudesley Shovel. Cuando regresaban de Gibraltar,
tras varios días perdidos en la niebla, el almirante solicitó la opinión de sus
capitanes, que con una sola excepción a rmaron estar aún a una gran distancia al
oeste de Inglaterra. Esa misma noche tropezaban con las islas de Scilly. Dos barcos
se hundieron y perecieron dos mil hombres, incluyendo al almirante. La indignación
clamó al cielo: ½había que encontrar de una vez la longitud!
Como de costumbre, las ideas imaginativas proliferaron. Una propuesta de anclar
barcos-faros a intervalos regulares por todo el Atlántico fue considerada por el
Parlamento, que pidió opinión al mismísimo Newton (el proyecto fue desestimado).
En 1714 se convocó un premio, con las mayores recompensas que se hubiesen ofrecido
nunca: 20000 libras para cualquier dispositivo que determinara la longitud con
medio grado de exactitud, y recompensas menores para métodos más inexactos.
El parlamento creó una comisión permanente (el Consejo de la Longitud) para
decidir sobre los proyectos, y le autorizó a pagar recompensas de la mitad del valor
máximo a los que considerara practicables y útiles, así como a dar otras recompensas
parciales. El premio completo sólo se otorgaría tras un viaje a las Indias occidentales
en el que el error en la longitud fuera menor que el especi cado.
En vista de las di cultades para observar desde un barco el reloj astronómico
que proporcionaban los satélites de Júpiter, la solución más sensata parecía ser que
el barco llevara consigo su propio reloj, puesto en hora en el puerto, y que el capitán
observara como, al ir viajando hacia las Indias, se iba adelantando respecto al tiempo
solar local (una hora cada 15o de longitud recorridos). Así lo había propuesto ya en
1530 el astrónomo amenco Gemma Frisius, aunque, a la vez, había advertido de la
poca exactitud de los relojes de la época.
Si una hora son 15o de longitud, una exactitud de medio grado en la longitud
(poco más de 30 millas naúticas en el ecuador) requiere una exactitud de dos minutos
en el reloj. Pero un viaje trasnsatlántico duraba del orden de seis semanas, así que
el reloj no podía perder o ganar más de tres segundos al día.
Los mejores relojes de péndulo sí cumplían esta especi cación, pero tenían que
funcionar sobre un soporte en perfecto reposo. La única alternativa viable a bordo
de un barco era un reloj portátil. Estos relojes, que eran impulsados por un resorte
72 3. Mapas de la Tierra
en lugar de por la caída de unas pesas, se habían inventado ya en el siglo XV, pero
su precisión dejaba mucho que desear: no existía un buen mecanismo regulador (el
escape que proporcionaba el péndulo a los relojes de pared y que es la clave de su
regularidad).
Ya en 1664, Robert Hooke, el eterno rival de Newton, se había propuesto mejorarlos,
para acabar concluyendo que todo el asunto era un catálogo de di cultades,
que incluían la alteración de los climas, aires, fríos y calores; la temperatura de los
muelles, la naturaleza de las vibraciones, el desgaste de los materiales, el movimiento
del barco y otras diversas.
La indignación de Hooke con los aires, fríos y calores estaba justi cada. Un
aumento de temperatura produce una dilatación en los sólidos. Un péndulo se alarga
en verano, y el reloj va más despacio. Un reloj portátil no tiene péndulo, pero la
temperatura también le afecta (por ejemplo, el muelle varía su fuerza, los engranajes
pueden desajustarse, etc). El estudio de Hooke, sin embargo, no fue estéril. Dio como
fruto la famosa ley que hoy lleva su nombre, y que a rma que la fuerza que ejerce un
muelle es proporcional a la deformación que sufre (ut tensio, sic vis, dijo Hooke, con
brevedad insuperable). Y, más importante desde el punto de vista de la relojería, dio
con la idea de usar como regulador, en sustitución del péndulo, un muelle oscilante,
que vibraba regularmente en cualquier posición.
El relojero paciente
Gracias en buena parte al trabajo de Hooke, cuando se convocó el premio de la
longitud todos los principios físicos y mecánicos necesarios para hacer un buen reloj
portátil eran bien conocidos. El problema era que las condiciones del premio eran
muy exigentes. Para no perder tres segundos al día, no bastaba que el reloj fuera
bueno: tenía que ser extraordinario.
En este punto entró en escena John Harrison. Hijo de un carpintero de Yorkshire,
y carpintero de o cio él mismo, desarrolló de pequeño una pasión por la mecánicaque
le llevó a convertirse en relojero autodidacta. Cuando le llegó la noticia del
premio tenía 21 años, y estaba confeccionando, en madera, su primer reloj. Doce
años después, en 1726, había construido un reloj de péndulo extraordinariamente
preciso (menos de un segundo al mes de error) y se sintió preparado para el desafío
de la longitud.
En un viaje a Londres consiguió impresionar a George Graham, un prestigioso
fabricante de instrumentos que le concedió un préstamos sin intereses. Tras nueve
años de trabajo, Harrison completó su primer cronómetro marino, que se conoció,
apropiadamente, como No1. En lugar de péndulo, usaba, siguiendo la idea de Hooke,
un resorte en el que dos grandes masas oscilaban, con movimientos opuestos, en torno
a su centro de gravedad común, de modo que las vibraciones les afectaban en grado
mínimo. El reloj se probó en un viaje a Lisboa, y el Consejo de la Longitud le
concedió 500 ¿ para que trabajara en una versión mejorada.
El No2 fue terminado al cabo de cuatro años, en 1739, pero el Consejo era difícil
de contentar, y le siguieron el No3 (en 1746) y el No4 (en 1759). En 1761, éste fue
probado en un viaje a Madeira, y a la vuelta, al cabo de 5 meses y con no pocas
di cultades y tormentas, tenía un error de menos de 2 minutos, lo que equivalía
3.4 De la teoría a la práctica 73
a menos del medio grado de longitud que exigía el premio: después de 35 años de
paciente trabajo, Harrison había ganado.
Pero no fue sencillo que se reconociera su mérito. La descon anza, la mezquindad
y los intereses creados se interpusieron: 20000 ¿ eran una fortuna, y había peronas
in uyentes muy interesadas en el premio. El Consejo de la Longitud exigió más y
más condiciones: una nueva prueba, cruzando el Atlántico entero, hasta Barbados;
planos completos del cronómetro, construcción de un duplicado del No4 por otro
relojero, fabricación de un No5....Harrison fue accediendo a todo, pero pasaban los
años, iba envejeciendo, y la obstinación del Consejo en negarle el premio se convirtió
en un escándalo. El propio rey Jorge III acabó interviniendo y logró en 1772 que
Harrison, un anciano de 79 años, recibiera por n su merecida recompensa.
3.4. De la teoría a la práctica
En el capítulo anterior explicábamos que una teoría puede convertir algo que en
principio sería una anécdota en un hecho de gran relevancia cientí ca. Por ejemplo,
la circunstancia de que un eclipse de Luna ocurra a diferentes horas locales según
desde qué ciudad se observe cobra gran trascendencia en el marco de la teoría del
universo de las dos esferas, puesto que se convierte en la prueba de que la Tierra se
curva en dirección este-oeste (y no sólo en dirección norte-sur), como argumentaba
Ptolomeo en la cita de la pg. 52.
Descubríamos así que las teorías, además de servir para resumir convenientemente
los hechos y para sugerirnos nuevas indagaciones, nos proporcionan un patrón
de relevancia con el que juzgamos la importancia de unos hechos frente a otros. Todo
esto nos puede convencer de que las teorías tienen realmente importancia, pero no
deja de ser una importancia teórica.
Lo que hemos aprendido en este capítulo sobre los mapas y el problema de
la longitud nos muestra cómo esa importancia teórica puede convertirse, de modo
inesperado, en importancia práctica.
La inútil astronomía
¾Puede haber algo más inútil que observar noche tras noche las estrellas? Para
quienes quieren explicar todas las actividades humanas en función de las necesidades
materiales, la astronomía constituye una paradoja. Los primeros registros sistemáticos
de la posición de los astros se realizaron en Babilonia, allá por el siglo XVII
a.C., y desde entonces, por increíble que parezca, no se ha interrumpido la serie de
observaciones: siempre ha habido astrónomos (algún autor ha dicho que esta es la
auténtica profesión más antigua del mundo).
Los primeros astrónomos eran sacerdotes, pues en Babilonia se creía que los astros
eran dioses, o por lo menos, que tenían una relación directa con la divinidad. Esta
creencia era compartida por los egipcios, los griegos (por eso llevan los planetas
nombres de dioses) y casi todos los pueblos de la Antigüedad. Quizá pudo tener
su origen en la sensación de sobrecogimiento ante la majestad de los cielos, en la
reverencia ante su eterna imperturbabilidad, tan diferente del cambio y la caducidad
74 3. Mapas de la Tierra
terrestres; pero los lósofos dieron a esta creencia un respaldo racional (recordemos
las opiniones de Platón sobre la inteligencia de los astros, pg. 56).
Si los astros son dioses, tenemos una buena razón para observarlos. Más aún
si pensamos que los dioses intervienen directamente en los asuntos humanos: quizá
la proximidad entre Venus y Marte indique una alianza entre los dioses del amor
y la guerra, y quizá su posterior alejamiento es signo de su ruptura; posiblemente,
el Sol no tenga el mismo ánimo cuando está pasando una temporada en la casa
(constelación) de Capricornio que cuando reside en la de Virgo... Y de hecho fue la
astrología, durante muchos siglos, la principal aplicación de la astronomía. Todavía
en el siglo XVII, una parte importante del trabajo de un hombre como Kepler era
la realización de horóscopos y pronósticos para los nobles.
Nada hay más práctico que una buena teoría
Cualquiera en la antigua Grecia habría encontrado que la aplicación obvia que
justi caba el estudio de la astronomía era predecir el futuro, escrutando el ánimo
de los dioses que se mueven por los cielos. Y de hecho, predicciones como las de
los eclipses eran sus éxitos más notables. Hoy sabemos, claro está, que otro tipo de
predicciones más mundanas son una superstición y un asco, por más que todavía
hoy los periódicos publiquen horóscopos.
Sin embargo, seguramente a nadie se le habría ocurrido que el estudio de los astros
podría servir para hacer mapas de la Tierra, como realmente ocurrió. Nadie había
estudiado el cielo con esa intención: podríamos decir, usando la terminología actual,
que personajes como Tales, Aristarco o Hiparco hacían ciencia pura. Buscaban el
saber por el saber, e idearon teorías para articular lógicamente sus observaciones y,
en de nitiva, para intentar entender cómo es el mundo.
Pero cuando se planteó el problema práctico de situarse en el mundo, de hacer,
por ejemplo, una expedición, desde Rodas a las Columnas de Hércules, había que
tener un mapa del Mediterráneo. Hacer tal mapa planteaba, cuando uno se ponía a
ello, unas di cultades inesperadas. Y resultaba que la teoría, esa teoría del universo
de las dos esferas que se había concebido por una motivación totalmente distinta,
tenía la clave para resolver el problema. Sólo se podía hacer un buen mapa de la
Tierra si se podían determinar con precisión latitudes y longitudes los puntos sobre
su super cie. El problema teórico de la diferencia horaria entre dos ciudades, que
nuestra teoría había hecho relevante, se convierte en la clave para medir la longitud;
mientras que la latitud se obtiene también gracias a la teoría, como la altura sobre
el horizonte de la estrella Polar. El problema de cartogra ar la Tierra se resolvió
mirando a los cielos.
Esta sorprendente utilidad práctica de las teorías se ha venido encontrando una
y otra vez a lo largo de la historia, y es la moraleja de la leyenda del viejo Tales
(pg. 16) que, pese a estar tan abstraído en la contemplación de los cielos como para
caerse a una acequia, supo hacerse rico especulando con el aceite. Como dijo el físico
J.C. Maxwell, nada hay más práctico que una buena teoría.
El poder práctico de las teorías, que aparece además de las maneras más impredecibles,
es para muchos cientí cos un argumento convincente a favor de su verdad:
si la teoría del universo de las dos esferas con la que hicimos el mapa del Mediter3.4
De la teoría a la práctica 75
ráneo, siguiendo las ideas de Hiparco y Ptolomeo, no fuera verdadera, ¾cómo es que
nuestra expedición ha llegado con éxito a las Columnas de Hércules? Las teorías
funcionan, y si fueran falsas no funcionarían.
El argumento parece convincente, pero no debemos olvidar que el universo de
las dos esferas resultó, a la postre, ser una teoría falsa... Volveremos a esta cuestión
más adelante, en la sección 6.2.
Por otra parte, en el terreno puramente práctico, el reconocimiento del poder
práctico de las teorías es lo que ha llevado a conceder cada vez más importancia a la
investigación, que ha pasado de ser la ocupación de sabios chi ados como Tales a una
prioridad de las naciones. Las grandes exploraciones que se iniciaron con los viajes
de españoles y portugueses en el siglo XV fueron la primera empresa humana en la
que los gobiernos reconocieron el poder de la ciencia y se prestaron a fomentarla.
Los esfuerzos posteriores por cartogra ar Francia y por determinar la longitud en
alta mar son los primeros ejemplos de lo que hoy llamamos I+D (investigación y
desarrollo): iniciativas para desarrollar una tecnología a gran escala sobre la base de
la ciencia más avanzada de la época.
76 3. Mapas de la Tierra
Capítulo 4
El mundo según Aristóteles
La doctrina de Aristóteles es la suma de la verdad, porque es la cima de
toda la inteligencia humana. Por tanto, está bien dicho que él fue creado
y regalado a nosotros por la divina providencia, para que pudiéramos
conocer lo que es posible saber.
Averroes
Los movimientos de los astros, que hemos descrito en el capítulo segundo, han
sido un signo de la majestad y el poder de los dioses para la mayoría de los hombres
a lo largo de la historia. También lo fueron para los lósofos griegos, pero éstos
no se limitaron a sentir reverencia o temor. Con ados en que la realidad última es
racional, consideraron las observaciones del cielo como si fueran las piezas de un
rompecabezas. Y se empeñaron en resolverlo. Varios siglos de esfuerzos culminaron
con Eudoxo, que consiguió encajar las piezas en su modelo de esferas homocéntricas.
Después, Aristóteles incorporó ese modelo como pieza clave de una construcción
mucho mayor, una construcción que pretendía abarcarlo todo.
Hoy, algunos físicos teóricos han propuesto lo que llaman, no sin cierto humor,
Teorías del Todo (Theories Of Everything). La construcción de Aristóteles merece
el título de primera teoría del todo, y con mucho mayor motivo, pues no se limitaba
al mundo físico, sino que abarcaba realmente todo: desde la ética a la biología, desde
la teología a la política, desde la física a la crítica literaria; todo articulado en una
estructura coherente. Durante casi dos mil años, las personas cultas de Occidente
interpretaron el mundo a través de esa Teoría del Todo, que hoy llamamos El
cosmos de Aristóteles. Es la cosmovisión contra la que, a partir del Renacimiento,
se volvieron algunos hombres: los padres de la Revolución Cientí ca. Del primero de
ellos, Copérnico, hablaremos en el capítulo 6.
Pero sólo podremos apreciar la auténtica batalla que libraron esos pioneros si
apreciamos al rival con el que se enfrentaban. A menudo se piensa que ese rival eran
las tinieblas de la Edad Media, y que no hubo más que encender la luz de la Razón
para que todo el mundo viera la verdad con sus propios ojos. La heroicidad de estos
pioneros habría estado entonces en plantar cara a las fuerzas del oscurantismo, como
se vio en el infame juicio a Galileo...
77
78 4. El mundo según Aristóteles
Lo cierto es que la concepción del mundo aristotélica que prevalecía en la época
de Copérnico, Kepler o Galileo no tenía nada de oscurantista. Algunos autores, como
A. N. Whitehead, han sostenido incluso que pecaba de ser demasiado racional:
Es un gran error concebir esta revuelta histórica [la Revolución
Cientí ca] como un llamamiento a la la razón. Por el contrario, fue de
cabo a rabo un movimiento antiintelectualista. Fue la vuelta a la
contemplación de los hechos en bruto, y se basó en un rechazo de la
in exible racionalidad del pensamiento medieval.
Ese pensamiento medieval era, básicamente, el aristotelismo. Su extrema
racionalidad, más que la tozudez o la mala fe de sus defensores, es lo que hizo
tan difícil desplazarlo.
Por qué es difícil Aristóteles
Tenemos, pues, que comprender cómo era la visión del mundo de Aristóteles, si
queremos comprender qué fue la Revolución Cientí ca, y, en de nitiva, qué es la
ciencia moderna. Nos vamos a encontrar con dos tipos de di cultades. La primera
es que una Teoría del Todo no se explica en unas pocas páginas. Como hemos dicho
ya, la concepción aristotélica no es sólo una teoría del mundo físico, sino también
del mundo humano, de lo espiritual y lo divino, y todo está tan estrechamente relacionado
en ella que desgajar un aspecto de los demás es deformarlo. Aquí tendremos
que limitarnos a la física y la cosmología y con eso perderemos buena parte de la
perspectiva.
La segunda di cultad es la que se encontró Thomas S. Kuhn. Fallecido en 1997,
Kuhn llegó a ser el lósofo de la ciencia más in uyente del siglo XX. En 1947,
mientras estaba haciendo su doctorado en física en Harvard, le tocó dar un curso de
ciencia para estudiantes de humanidades. El curso tenía que consistir en un estudio
de caso de algún episodio de la historia de la ciencia, y Kuhn pensó que sería
sencillo explicar cómo la mecánica de Newton desplazó a la de Aristóteles. Empezó
a estudiar la Física de Aristóteles y se quedó perplejo. Aquello parecía un montón
de disparates:
¾Cómo pudo su característico talento haberle abandonado [a
Aristóteles] tan sistemáticamente cuando pasaba al estudio del
movimiento y la mecánica? De igual forma, si sus talentos le hubieran
abandonado, ¾por qué sus escritos de física se habían tomado en serio
durante tantos siglos después de su muerte?
Según contó Kuhn muchos años después, una noche, sumido en estos pensamientos
mientras miraba por la ventana de su habitación, todo encajó de repente. Se dio
cuenta de que los conceptos de movimiento y materia de Aristóteles eran totalmente
distintos de los de Newton. La de Aristótéles no era una mala física newtoniana. Era
una física distinta, que entendida en sus propios términos cobraba sentido: de repente
Aristóteles parecía verdaderamente un buen físico, pero de una clase que nunca
había soñado posible. Aquel momento de iluminación cambió la vida de Kuhn, que
4.1 A nidades y oposiciones 79
acabó abandonando la física (moderna) y dedicándose a la historia y la losofía de
la ciencia.
En de nitiva, Kuhn había caído en la cuenta de que la única manera de entender
a Aristóteles era en sus propios términos. Como decíamos en el prólogo, tenia que
desaprender, olvidar lo que sabía. En este caso, olvidar la visión newtoniana del
mundo. Cuando lo logró, vió el mundo con otros ojos, y encontró que el cosmos de
Aristóteles poseía una coherencia y una lucidez deslumbrantes.
4.1. A nidades y oposiciones
Antes de entrar en materia, hay que advertir que no vamos a intentar distinguir
el Aristóteles original de las variantes y posibles adulteraciones medievales. Lo que
nos interesa es la visión del mundo que se enseñaba en Europa en los siglos XV y
XVI, la que transmitieron sus maestros a Copérnico, y la llamaremos indistintamente
aristotélica o medieval.
Para empezar a ver el mundo con los ojos de Aristóteles, debemos evitar pensar
que la diferencia de su física con la física actual consiste meramente en un cambio
de leyes: por ejemplo, que Aristóteles consideraba que en el movimiento la fuerza es
proporcional a la velocidad, mientras que hoy sabemos que es proporcional a la aceleraci
ón. En realidad las diferencias son más profundas. No es que sus explicaciones
fueran distintas, sino que su concepto de explicación era distinto. En palabras de
C.S. Lewis,
El concepto fundamental de la ciencia moderna es [...] el de las leyes
naturales, y se considera que todo fenómeno obedece al producirse a
dichas leyes. En la ciencia medieval el concepto es el de ciertas
a nidades, oposiciones y contraposiciones inherentes a la propia
materia. Todo tenía su lugar apropiado, su domicilio, la región que le
convenía, y, de no verse refrenado por la fuerza, se movía hacia ella
como guiado por un instinto [...] Así, mientras que para nosotros la
caída de cualquier cuerpo ejempli ca la ley de la gravedad, para los
medievales ilustraba la inclinación natural de los cuerpos terrestres
hacia su lugar idóneo, el centro del Mundus.
Este planteamiento puede parecer animista o antropomór co, pero ni Aristóteles
ni los pensadores medievales atribuían un alma o un pensamiento a los objetos inanimados
(excepto a los cuerpos celestes). Cuando Roger Bacon escribía que el hierro
se siente atraído de forma especial por el imán no quería decir que el imán le
resultara atractivo al hierro; igual que cuando nosotros decimos que el imán obedece
las leyes del magnetismo no queremos decir que esté acatando la legislación
vigente. Una manera de expresarse no es más antropomór ca que la otra.
Pero sí es cierto que el lenguaje antiguo sugería una continuidad entre el mundo
físico y el mundo espiritual que no sugiere el lenguaje moderno, y la diferencia de
lenguaje es reveladora de la diferencia de planteamiento.
Aristóteles no buscaba leyes matemáticas, y probablemente rechazaría los experimentos
porque suponían apartar a los objetos de sus condiciones naturales. Seguramente
a esta actitud no es ajeno el hecho de que Aristóteles fuera un atentísimo
80 4. El mundo según Aristóteles
observador de las plantas y de los animales. Una medida de su talla como naturalista
puede darla la admiración que por él sentía Darwin, que dijo: Cuvier y Linneo han
sido en muchos sentidos mis dos dioses, pero ninguno de ellos llega a la suela de los
zapatos al viejo Aristóteles. En cierto modo, el modelo de ciencia para Aristóteles
era la biología, no la física, y en biología a menudo la mejor manera de entender
las cosas es preguntarse ¾para qué?, es decir, interrogarse por su causa nal. Así
decimos por ejemplo que el oso polar tiene una piel abrigada para protejerse del
frío, y que además es blanca para camu arse en la nieve; si lo vemos arrojarse al
agua, sabemos que lo hace para pescar un pez, etc. En la misma línea, Aristóteles
explicaba que la piedra caía para dirigirse a su lugar natural.
Fuego
Caliente Seco
Aire Tierra
Húmedo Frío
Agua
Figura 4.1: Los cuatro contrarios y los cuatro elementos de Aristóteles.
Las a nidades y oposiciones básicas que gobiernan el universo aristotélico son
los cuatro contrarios : caliente, frío, húmedo y seco. En el mundo no se encuentran
puros sino combinados, formando los cuatro elementos:
lo caliente y lo seco dan fuego
lo caliente y lo húmedo dan aire
lo frío y lo húmedo dan agua
lo frío y lo seco dan tierra
Los objetos terrestres están formados por combinaciones de estos elementos, pero el
mundo situado por encima de la Luna está hecho de un quinto elemento, llamado
éter (o quintaesencia).
4.2. La estructura del mundo
Por debajo de la Luna, los elementos están distribuidos en sus lugares idóneos,
en función de su pesadez o liviandad: el centro está ocupado por la tierra, sobre
ella se sitúa el agua, por encima el aire, y, en la más alta esfera sublunar, el fuego.
Esa capa de fuego por encima del aire nos extraña hoy, pero todos los hombres
4.2 La estructura del mundo 81
instruidos creyeron en su existencia durante siglos (cuando Don Quijote, montado
en Clavileño, cree ascender por los aires, dice a Sancho: si es que de esta manera
vamos subiendo, pronto daremos en la región del fuego, y no sé yo como templar
esta clavija para que no nos abrasemos).
Por encima del fuego (invisible por ser, a diferencia del fuego terrestre, fuego
purísimo) está la esfera de la Luna. El movimiento de ésta arrastra a la capa de
fuego, que a su vez arrastra al aire, estableciendo una serie de ujos y corrientes que
entremezclan los elementos en el mundo sublunar, haciendo que no los encontremos
en forma pura y su estrati cación sea imperfecta. No obstante, los objetos muestran
la tendencia de los elementos que los constituyen hacia su lugar natural, y así, el
fuego terrestre, aunque no completamente puro, asciende buscando su lugar por
encima del aire, y las piedras caen buscando su lugar en el centro de la Tierra
(la misma forma esférica de la Tierra es una manifestación de esta tendencia del
elemento tierra).
Por encima de la esfera lunar no hay lugar para esta mezcla pues todo está hecho
de un único elemento, el éter, sin mezcla de los demás. Se suceden las esferas
(u orbes) de Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter, Saturno y las estrellas jas (su
orbe es el stellatum). En realidad, como explicamos en el capítulo 2, Aristóteles había
concebido un mecanismo de cincuenta y cinco esferas para explicar el movimiento de
los planetas, pero durante la Edad Media se ignoraron generalmente esas complejidades,
y se asignó una única esfera a cada planeta, con un cierto espesor (pues, como
veremos en el próximo capítulo, se sabía sus distancias a la Tierra eran variables).
Igual que la esfera del fuego era movida por la esfera de la Luna, la esfera de
la Luna era movida por la de Mercurio, ésta por la de Venus, y así sucesivamente
(de hecho, los planetas eran ordenados según su velocidad de rotación). Pero este
sucesivamente tiene que tener un nal, si no queremos caer en una regresión in-
nita. Está claro que tiene que haber un primer motor, y para que sea realmente el
primero, tiene que ser inmóvil. Ese motor es Dios. Pero, como dice C.S. Lewis…
…no hemos de imaginarlo moviendo las cosas mediante acción positiva
alguna, pues eso equivaldría a atribuirle algún tipo de movimiento y en
ese caso no habríamos llegado a un Motor completamente inmóvil.
¾Entonces, cómo mueve las cosas? Aristóteles responde: las mueve en
la medida en que recibe amor. Es decir, que mueve las demás cosas
como un objeto de deseo mueve a quienes lo desean.
Así pues, es el amor a Dios lo que mueve las esferas: por eso habla Dante, en
la Divina Comedia, de l’amor che move il sole e l’altre stelle. Y este movimiento
se va comunicando desde la esfera más externa (el Primum Mobile) hacia las más
internas: el Stellatum de las estrellas y las sucesivas de los planetas. Pero ¾por qué ese
amor iba a ponerlas en movimiento circular? Porque el amor procura participar en
su objeto, volverse lo más parecido posible a él. Dios es trascendente e inmaterial,
está fuera del espacio y del tiempo, y los seres nitos no pueden compartir estas
cualidades. Lo más parecido que pueden alcanzar a la ubicuidad inmóvil de Dios
es el movimiento más rápido y regular posible, en la forma más perfecta, que es la
circular. Cuanto más baja es la esfera, menos consigue aproximarse a este ideal, y
más lentamente se mueve.
82 4. El mundo según Aristóteles
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Figura 4.2: La estructura del universo según la Cosmographia de Petrus Apianus, año 1539. Las
esferas de aire y fuego que rodean la Tierra están representadas por nubes y llamas,
respectivamente.
Por fuera de la esfera de las estrellas se aprecia el Primum mobile y más allá el Coelum
empireum habitaculum Dei, la morada de Dios.
Que las esferas sean movidas por amor implica que poseen inteligencia, y así es:
Aristóles está en esto de acuerdo con Platón. Pero este amor no era algo tan radicalmente
ajeno al mundo de los fenómenos físicos como lo es para nosotros: se trataba
de un ejemplo más de las a nidades que gobernaban el universo aristotélico.
¾Qué hay más allá del Primum mobile? Aristóteles dice: Fuera del cielo no hay
espacio, ni vacío, ni tiempo. El cristianismo medieval fue más explícito al colocar
allí el Cielo con mayúscula, la morada de Dios, que habita fuera del espacio y el
tiempo.
El horror vacui
Para Aristóteles, más allá del Primum mobile la materia y el espacio tenían que
acabar a la vez. No podía existir espacio sin materia más allá de la esfera más lejana
porque, en su física, materia y espacio son las dos caras de una misma moneda: el
espacio es el volumen ocupado por un cuerpo. De modo que espacio vacío, como
círculo cuadrado, es una contradicción en sus propios términos. El universo de
Aristóteles está completamente lleno, no tiene huecos. La naturaleza tiene horror al
4.3 La teoría del movimiento 83
vacío.
Este horror vacui , lejos de ser una mera especulación teórica, proporcionaba
una explicación a muchos fenómenos que hoy atribuimos al efecto de la presión
atmósferica, como el funcionamiento de las bombas de agua, o el hecho de que el
agua no se salga cuando se da la vuelta a un vaso lleno tapado con un papel. El
hecho trivial de que un botijo necesite dos agujeros puede verse como una prueba
del horror vacui : si no entra aire por el agujero grande, no sale agua por el pequeño,
porque si saliera agua sin entrar aire a reemplazarlo tendría que crearse un vacío.
Identi car espacio y materia y negar el vacío, además de explicar este tipo de
fenómenos, permitía a a Aristóteles sortear la posibilidad de un universo in nito
y eludir sus paradojas (por mucho que las matemáticas nos hayan acostumbrado a
utilizar la palabra, el in nito es estrictamente inconcebible, y la física contemporánea
también lo evita).
Evitar el in nito es doblemente importante, porque un universo in nito es incompatible
con la teoría aristotélica del movimiento. Si el universo es in nito, no
tiene sentido el concepto de lugar natural, pues cualquier punto es equivalente a
cualquier otro. En particular, no hay centro hacia el que tiendan los cuerpos pesados
ni periferia hacia la que tiendan los cuerpos ligeros. Y hay que insistir en que para
Aristóteles una piedra no cae porque se vea atraída por la Tierra, sino porque busca
su lugar natural en el centro del universo. Como a rma en su tratado Del Cielo
Si se colocara la Tierra en la posición actualmente ocupada por la
Luna, cada una de sus partes no se vería atraída hacia el conjunto, sino
al lugar que actualmente ocupa la Tierra.
El movimiento natural de la piedra no está determinado por su relación con otros
cuerpos (como en la gravedad newtoniana) sino por la geometría del espacio.
Es curioso que en esto, y en la estrecha vinculación entre materia y espacio, la
física aristotélica está más cerca de la Relatividad General de Einstein que la física
newtoniana. Esta cercanía conceptual no debe llevarse demasiado lejos, y no hay que
olvidar que en sus predicciones la física de Newton es muchísimo más correcta que
la de Aristóteles, pero nos sirve para subrayar que las ideas de éste sobre el espacio
y la gravedad están lejos de ser ingenuas o absurdas.
4.3. La teoría del movimiento
Ya hemos explicado que para Aristóteles los elementos tienen un lugar natural
en el cosmos y muestran una tendencia hacia ese lugar. El movimento natural de un
objeto es la manifestación de esa tendencia. En el mundo sublunar, el movimiento
natural de los elementos pesados (agua y tierra) es hacia el centro, y el de los
elementos ligeros (aire y fuego) es hacia la periferia. En términos coloquiales, por
supuesto, el centro es abajo y la periferia es arriba. En el mundo supralunar sólo
hay un elemento, el éter, y por tanto sólo hay un movimiento natural, que, como ya
hemos visto, es la rotación uniforme.
Pero es evidente que no todos los movimientos son naturales: puedo lanzar una
piedra hacia arriba, sacar agua de un pozo o empujar una carretilla. En todos estos
84 4. El mundo según Aristóteles
casos, un objeto pesado no se mueve hacia abajo, porque algo o alguien lo fuerza en
otra dirección. Estos son ejemplos de lo que Aristóteles llama movimientos violentos .
Un principio básico es que tanto en los movimientos naturales como en los violentos,
todo lo que se mueve es movido por algo: todo movimiento tiene un motor
(recordemos que esto lleva necesariamente a la existencia de un motor inmóvil: Dios).
En el movimiento natural, el motor es la a nidad del objeto por su lugar propio; en
el movimiento violento, es la acción de un agente externo.
Aristóteles intentó hallar una relación cuantitativa entre la fuerza del motor y la
intensidad de sus efectos. No tuvo demasiado éxito, pero esto no le quita mérito: el
problema del movimiento y sus causas, lo que hoy llamamos dinámica, es sumamente
difícil, y de hecho, él fue el único cientí co de la Antigüedad lo abordó seriamente
(Arquímedes estudió con gran ingenio muchos problemas mecánicos, pero siempre
se limitó a la estática).
Di cultades de la dinámica
A primera vista, la dinámica parece un campo abonado para la aplicación del
método experimental: para encontrar sus leyes, debería bastar aplicar a un móvil
una serie de fuerzas conocidas, durante tiempos determinados, y medir sus efectos,
es decir, los desplazamientos producidos. Sin embargo, al hacer esto en la práctica
aparecen numerosas di cultades.
Para empezar, necesitamos medidas muy precisas de espacios y tiempos. Dos
mil años después de Aristóteles y tres siglos después de la invención del reloj
mecánico, Galileo seguía sin disponer de un cronómetro adecuado para sus
experimentos, y utilizó a menudo el pulso como medida del tiempo.
Si la medida de tiempos y espacios es difícil en la práctica, la medida de la
fuerza plantea una di cultad conceptual: una cosa es que tengamos una idea
intiutiva de cuando una fuerza es mayor o menor, y otra es poder asignarle un
número. Veremos que este problema no fue resuelto hasta Newton (pg. 173)
Además, estamos siempre sometidos a la gravedad terrestre, que se superpone
a la fuerza que nosotros imprimimos al cuerpo. No es evidente como tratar
esta superposición.
Finalmente, en cualquier movimiento aparecen fuerzas de rozamiento de valor
desconocido. Estas fuerzas se pueden reducir en cierta medida, pero no eliminar,
de modo que cuando hacemos un experimento no sabemos cual es la
fuerza que actúa realmente sobre el cuerpo.
Este efecto del rozamiento hace casi imposibles las medidas exactas, pero lo más
grave es que lleva con facilidad a errores de interpretación. Si, por ejemplo, estamos
arrastrando una caja por el suelo tirando de ella con una cuerda, encontraremos
que tenemos que ejercer una fuerza constante para moverla a una velocidad más
o menos constante. En el momento en que dejamos de tirar, la caja se para. Esta
experiencia con rma la idea aristotélica de que todo movimiento tiene un motor:
cuando el motor (la fuerza ejercida por la cuerda) deja de actuar, el movimiento cesa.
4.3 La teoría del movimiento 85
Con más precisión, Aristóteles postulaba que para que un objeto tenga velocidad
constante, tiene que actuar sobre él una fuerza constante.
Hoy consideramos que esta interpretación está equivocada, y decimos que un
objeto tiene velocidad constante cuando no actúa sobre él ninguna fuerza. Lo que
ocurre al arrastrar la caja a velocidad constante es que estamos haciendo una fuerza
igual y de sentido contrario a la de rozamiento con el suelo, de modo que la compensamos
exactamente y la fuerza resultante es cero.
¾Para qué sirven las fuerzas, entonces, si no es para manener el movimiento?
La respuesta de Newton es: para producir las aceleraciones. Como la aceleración
es el cambio de la velocidad, estamos diciendo que si sobre un cuerpo no actúan
fuerzas, ese cuerpo no cambiará su velocidad: si estaba en reposo (velocidad cero)
permanecerá en reposo, y si estaba en movimiento, seguirá moviéndose con velocidad
uniforme. Esto es lo que dice esencialmente el principio de inercia: el movimiento,
si es uniforme, no necesita motor. En capítulos posteriores veremos con detalle este
planteamiento de Newton, que por otra parte es bien conocido para cualquiera que
haya estudiado física a un nivel elemental. Pero el hecho de que hoy en día se estudie
en el colegio no debe engañarnos sobre su di cultad conceptual. Volveremos a esto
enseguida.
Las leyes del movimiento violento
Estudiemos ahora con algo más de detalle la concepción aristotélica del
movimiento. Hemos dicho que Aristóteles postulaba que para que un objeto esté
en movimiento es necesario que esté actuando sobre él un motor, que, en el caso de
un movimiento violento, es una fuerza externa. Es lógico que si la fuerza aumenta,
o el objeto se hace más pequeño, la velocidad sea mayor. Aristóteles dice:
Por tanto, si el motor F ha movido a M una distancia D en un tiempo
T, entonces en el mismo tiempo la fuerza F movería 1/2 de M dos veces
la distancia D, y en 1/2 de T moverá 1/2 de M la distancia total D
Aunque Aristóteles no utilizaba ecuaciones, podemos resumir sus observaciones
de manera conveniente así:
En un movimiento violento,
F
M /
D
T
= v
(el símbolo / signi ca proporcional a y hemos escrito que D/T es la velocidad
promedio, v). De modo que, con la terminología moderna, estamos diciendo que la
velocidad que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza por unidad de materia
que actúa sobre él.
Aristóteles advierte sin embargo que esta ley no se aplica cuando hay mucha
desproporción entre la fuerza y la masa, ya que si fuera de otro modo, un hombre
podría mover un barco, ya que tanto la fuerza motriz del velamen como la distancia
que ha de recorrer el barco son divisibles en tantas partes como hombres haya. Es
decir, si la fuerza de las velas equivale a cien hombres, un hombre podría mover el
barco una distancia cien veces menor de lo que le mueven las velas.
86 4. El mundo según Aristóteles
Podríamos expresar esta restricción en forma de ecuación escribiendo:
Para que haya movimiento violento, F > F0, siendo F0 / M
Es decir, que para que haya movimiento es necesario, pero no su ciente, que
actúe una fuerza: además, la fuerza tiene que superar un cierto valor umbral F0,
mayor cuanto más grande es el objeto. Esta ecuación formula con mayor precisión
el axioma que a rma que todo movimiento tiene un motor, y podríamos llamarla
primera ley del movimiento violento de la física aristotélica. La segunda ley del
movimiento violento sería entonces la ecuación para la velocidad promedio de más
arriba. Hay que tener presente, no obstante, que Aristóteles no las llamó así, y ni
siquiera escribió estos resultados en forma matemática.
¾Cuán buenas son estas leyes? En algunos casos, muy buenas. Pensemos, por
ejemplo, en el movimiento de un carro bien cargado. Un hombre es incapaz de
arrastrarlo. Si se le van uniendo más hombres, llega un momento en el que el carro
empieza a moverse: se ha alcanzado la fuerza umbral F0. Dejemos ahora descansar a
los hombres y pongamos en su lugar un caballo: es capaz de arrastrar el carro a una
cierta velocidad. Si ponemos dos caballos logramos más velocidad, si ponemos tres,
más aún, etc. Todo está de acuerdo con las ecuaciones anteriores. Podría objetarse
que con dos caballos no se consigue el doble de velocidad, pero en la época de
Aristóteles no era nada fácil medir velocidades.
Explicaciones extrañas
Hasta aquí la explicación de Aristóteles. Veamos ahora la explicación de Newton.
En todos nuestros ejemplos, el carro estaba en reposo o se movía a velocidad
constante. Por tanto, la fuerza resultante sobre él tenía que ser siempre cero. Esto
signi ca que cuando no tiramos del carro, no actúa la fuerza de rozamiento; pero
cuando tiramos con fuerza cada vez mayor, la fuerza de rozamiento es cada vez
mayor, valiendo siempre lo justo para compensar la fuerza que nosotros hacemos.
Este comportamiento es un tanto extraño, pero hay algo más extraño aún.
Cuando se alcanza la fuerza su ciente para poner en movimiento el carro, este
pasa de velocidad cero a una velocidad constante. Hay pues un corto periodo transitorio
de aceleración. En ese periodo, la fuerza que hace el caballo tiene que superar
a la de rozamiento. Pero cuando la velocidad se estabiliza, ambas fuerzas vuelven a
ser iguales. Esto signi ca que la fuerza de rozamiento, tras haber sido superada por
la fuerza del caballo, ha ido aumentando hasta igualarse otra vez con ella.
Cualquiera que considere esta explicación no puede por menos que fruncir el ceño.
El comportamiento de la fuerza de rozamiento que propugna Newton es inverosímil.
Y además, si vale en cada momento lo justo para que al nal se alcance una velocidad
constante y proporcional a la fuerza aplicada, como dice Aristóteles, ¾por qué no
quedarnos desde el principio con la explicación de éste?
La explicación de Newton exige postular unas fuerzas de rozamiento que no
se pueden observar ni medir directamente. De hecho, las pocas veces que se mide
una fuerza de rozamiento en un laboratorio, su valor se obtiene precisamente aplicando
las leyes de Newton. Es decir, el valor que se da a esa fuerza es el necesario
4.3 La teoría del movimiento 87
para que las leyes de Newton se veri quen. Un aristotélico podría objetar que este
procedimiento es un círculo vicioso, y no sería tan sencillo rebatirle.
Por otra parte, hay una di cultad conceptual añadida, porque la explicación de
Newton hace uso de la aceleración. Este es un concepto de muy difícil comprensión:
se trata de la variación de la velocidad, y la velocidad es de por sí una variación. ¾Qué
signi ca la variación de una variación?¾Cómo se mide? Nadie en la antigua Grecia
habría podido entender esta idea. Sólo a partir del siglo XIV algunos estudiosos
empezaron a razonar correctamente sobre el concepto de velocidad instantánea, un
paso previo ineludible para poder de nir la aceleración. Y una de nición rigurosa
tenía que esperar al cálculo in nitesimal, que fue desarrollado, precisamente, por
Newton.
Hay sin embargo otros casos en los que la explicación de Aristóteles es mucho
menos convincente. Por ejemplo, cuando un arco dispara una echa. El motor es el
arco, pero deja de actuar sobre la echa en el momento en que ésta pierde el contacto
con él. Y sin embargo, la echa se sigue moviendo. ¾Qué fuerza la está impulsando
en su recorrido? Los aristotélicos explicaban que el aire empujado y comprimido por
la punta de la echa tenía que desplazarse hacia su parte posterior para rellenar el
vacío que en otro caso se produciría. Este aire es el que impulsaba la echa.
Parece bastante arti cioso que el aire, en lugar de ofrecer una resistencia al
movimiento, sea el que la impulse. Y no está claro entonces por qué la echa acaba
cayendo al suelo en vez de viajar por el aire inde nidamente… En realidad, la explicaci
ón tampoco gustaba demasiado en la Edad Media, y en el siglo XIV acabó
planteándose una explicación alternativa, que se conoció como Teoría del impetus ,
y que fue la antecesora de la teoría del movimiento de Galileo.
La ley del movimiento natural
En el movimiento violento, cuanto mayor es la cantidad de materia M mayor es
la resistencia al movimiento: la fuerza umbral para iniciarlo es mayor y la velocidad
que se alcanza es menor. Es lógico que así sea, porque cuanto mayor sea el objeto
más fuerte es su tendencia a seguir su movimiento natural: más fuerza hará falta
para apartarlo de él y obligarlo a seguir un movimiento violento. La misma idea lleva
a que, en un movimiento natural, cuando más grande sea el objeto más tendencia
tendrá a moverse. Aristóteles dice:
Si un cierto peso se mueve [es decir, cae] una distancia en un tiempo
dado, un peso mayor se moverá la misma distancia en un tiempo más
corto, y según qué proporción mantengan los cuerpos entre sí, esa
misma proporción mantendrán los tiempos: por ejemplo, si la mitad de
un peso recorre una distancia en un tiempo T, ese peso íntegro la
recorrerá en 1/2 de T.
Es decir, que en el movimiento natural el tiempo para recorrer una distancia
dada es inversamente proporcional al peso del objeto; o, de otro modo, la velocidad
es proporcional al peso. Pero para escribir una ecuación análoga a la que escribimos
para el movimiento violento tenemos que tener en cuenta también la resistencia que
ofrece el medio:
88 4. El mundo según Aristóteles
En la medida en que el aire es más tenue e incorpóreo que el agua, un
objeto M se moverá a través del aire más rápidamente que a través del
agua. [...] Si el aire es dos veces más tenue, el cuerpo atravesará el agua
en un tiempo doble a aquel en que atraviesa el aire.
Si representamos por R la resistencia al movimiento ofrecida por la densidad del
medio, la ecuación para el movimiento de caída libre de un cuerpo pesado (o de
ascenso libre de un cuerpo ligero) es:
En un movimiento natural,
P
R /
D
T
= v
Siendo P el peso y R la resistencia del medio. Llamaremos a esta ecuación ley
del movimiento natural. Una primera consecuencia de esta ley es que la con rma
la imposibilidad del vacío: en un vacío, la resistencia R sería cero, lo que implicaría
el absurdo de un movimiento a velocidad in nita.
Pero, ¾se ajustan bien los hechos a la ley del movimiento natural? Igual que
decíamos de las leyes del movimiento violento, depende de qué caso consideremos.
La ecuación anterior describe bien la caída de objetos en un medio denso, como
el agua, o mejor aún, el aceite: caen a una velocidad constante y aproximadamente
proporcional al peso. Pero cuando el medio es el aire las cosas ya no son así. La caída
es demasiado rápida para observarla bien, pero da la impresión de que la velocidad no
es constante sino que va aumentando. El propio Aristóteles lo reconoció, aventurando
que el cuerpo, al caer, se movía más alegremente conforme se iba sintiendo más
próximo a su lugar natural. Esto es incongruente con las ecuaciones que hemos
escrito, en las que la velocidad siempre es constante, pero no hay que olvidar que
Aristóteles no expuso su dinámica en forma de ecuaciones.
No obstante, sí podemos intentar alguna predicción numérica. Por ejemplo, si
disponemos de dos bolas, una de madera, de peso Pm y otra de plomo, de peso diez
veces mayor (es decir, Pp = 10Pm), y las dejamos caer desde una torre de altura D,
tenemos:
Para el plomo,
Pp
Ra /
D
Tp
Para la madera,
Pm
Ra /
D
Tm
Siendo Tm y Tp los respectivos tiempos de caída y Ra la resistencia del aire. Dividiendo
ambas ecuaciones,
10 =
Pp
Pm
=
Tm
Tp
½La bola de madera debería tardar en caer diez veces más que la de plomo! Esta
predicción es un tanto sorprendente, pues, aunque es evidente que los objetos más
pesados caen más rápido que los más ligeros (baste pensar en una pluma y una bala
de cañón), parece que la diferencia no debería ser tan grande. Pero vamos a dejar
aquí esta cuestión, pues volverá a aparecer más adelante, cuando nos encontremos
a Galileo subido (presuntamente) a la Torre de Pisa.
4.4 Un cambio de paradigma 89
4.4. Un cambio de paradigma
Aristóteles ha tenido mala fama entre los divulgadores de la ciencia. A la mayoría,
su visión del mundo les ha causado la misma impresión que al joven T.S Kuhn: un
montón de disparates. Que ese galimatías dominara el pensamiento de Occidente
durante tantos siglos se ha explicado a menudo por el dogmatismo de sus seguidores
y su presunta alianza con los poderes establecidos (la Iglesia Católica) para ahogar
todo pensamiento crítico y original.
Sin embargo, cuando se estudia desde dentro su sistema, incluso de manera parcial
y somera como lo hemos hecho aquí, uno empieza a ver las cosas de otra manera.
Su cosmología era un prodigio de sencillez, simetría y sentido común; su dinámica
daba una explicación sencilla y convincente de la mayoría de las experiencias de
la vida ordinaria, y las dos estaban integradas en un conjunto que reunía todo el
conocimiento de la época con una coherencia y una lógica admirables. En ese cosmos,
además, todo tenía una función y un sentido. Era un universo hermoso, más
reconfortante que el confuso universo de la astronomía contemporánea. En palabras,
una vez más, de C. S. Lewis,
Mirar el cielo en una noche estrellada con ojos modernos es como mirar
el mar que se desvanece en la niebla o mirar a nuestro alrededor en un
bosque impracticable: árboles por todos lados y sin horizonte. Mirar
hacia arriba en el soberbio universo medieval es mucho más como mirar
un gran edi cio. El espacio de la astronomía moderna puede inspirar
terror o asombro o vago ensueño; las esferas de los antiguos nos
presentan un objeto en el que la mente puede descansar, abrumador
por sus dimensiones, pero satisfactorio por su armonía.
De modo que el prolongado éxito de la dinámica y la cosmología aristotélicas
puede explicarse sin tener que recurrir a la estupidez de los medievales o a una turbia
Iglesia reprimiendo el pensamiento libre. Simplemente, eran las mejores teorías
disponibles en el siglo IV a.C. y lo seguían siendo en el siglo XIV d.C. Explicaban
razonablemente bien los hechos conocidos, eran satisfactorias estéticamente y
además ganaban mucho en verosimilitud al estar integradas la Teoría del Todo de
Aristóteles.
No basta observar las cosas
Conviene recalcar este aspecto de la integración porque es fácil pasar por alto
su verdadera importancia. El cosmos de Aristótes era un grandioso edi cio en el
que todo estaba en relación con todo. Esta integracion hacía que fuera muy difícil
abandonar esa visión del mundo, aunque presentara algún problema; veremos esto
con claridad más adelante, al estudiar la transición entre Copérnico y Galileo. En
palabras de sir Herbert Butter eld:
Librarse de la doctrina aristotélica simplemente observando más de
cerca las cosas presentaba di cultades insuperables, especialmente si ya
se había comenzado a razonar a partir de líneas equivocadas y se
90 4. El mundo según Aristóteles
encontraba ya uno prisionero, a priori, de todo el sistema de
interconexiones que existía en las ideas aristotélicas.
En efecto, observar más de cerca las cosas no es una receta tan sencilla como
parece. Hay literalmente millones de cosas en las que nos podemos jar, y tenemos
que concentrarnos en las relevantes. Pero cuales son las relevantes nos lo dice la
teoría. Mientras una teoría goza de buena salud, siempre resultan más relevantes los
casos que la con rman que los que tienen una explicación dudosa. Ante todo, porque
si la teoría ha llegado a imponerse es que explica razonablemente bien los problemas
que más importan en esa sociedad y contexto histórico. Pero también por prudencia
intelectual: igual que golondrina no hace verano, no se abandona una teoría por un
caso anómalo
La dinámica de Aristóteles explicaba muy bien el movimiento de un carro arrastrado
por bueyes o la caída de una piedra en un ánfora lleno de aceite. No eran
muy convincentes sus predicciones sobre la caída libre o su explicación del movimiento
de los proyectiles, pero era imposible estudiar bien procesos tan rápidos. Por lo
demás, lo importante al arrojar una echa es acertar, y para eso las teorías físicas
nunca han sido de mucha ayuda.
Curiosamente, esos casos marginales para Aristóteles son los primeros que se
encuentra hoy el estudiante. Los textos introductorios de física están llenos de problemas
que piden calcular el alcance de un tiro de cañón, la velocidad de un objeto
en caída libre o la aceleración de un bloque que baja por un plano inclinado. La
razón no es que sean cuestiones importantes en la vida cotidiana: si fuera ese el
criterio, estudiaríamos el movimiento de un automóvil o el vuelo de un avión. Si el
estudiante se inicia con proyectiles y planos inclinados es porque esos problemas son
los que resolvió Galileo en el origen de la física moderna, y son los que mejor sirven
para introducirle en esa física.
Pero si Galileo se propuso tratar esas cuestiones, era debido a que en su época
habían dejado de ser marginales. Para acertar con una echa basta buena puntería;
pero en el siglo XVI todos los ejércitos de Europa tenían cañones, y para acertar con
una bala de cañón hay que saber predecir su trayectoria. Si la teoría de Aristóteles
era incapaz de hacer tal cosa, empezaba a ser razonable cuestionarla. La situación
se había invertido: la teoría ya no gozaba de tan buena salud, y la atención se dirigía
ahora a sus puntos débiles, los mismos que antes se minimizaban.
Como una conversión religiosa
Sólo después de un proceso de debilitamiento que duró más de un siglo fue
posible abandonar el cosmos de Aristóteles. La transición fue tan difícil porque las
nuevas teorías de Galileo y Newton no consistían simplemente en un conjunto de
nuevas explicaciones, sino que suponían una nueva manera de entender lo que es una
explicación. Todo el entramado de a nidades y oposiciones, de lugares naturales y
causas nales fue abandonado. En de nitiva, tenía que abrirse paso una manera
radicalmente distinta de ver el mundo.
Kuhn, que como vimos cambió la física por la losofía tras su encuentro con
Aristóteles, caracterizó esta ruptura como un cambio de paradigma. Para Kuhn, un
4.4 Un cambio de paradigma 91
paradigma cientí co es una estructura intelectual que se sitúa a un nivel superior a
las teorías. En una época concreta de la ciencia puede haber varias teorías opuestas
sobre un mismo fenómeno. Pero generalmente los cientí cos comparten un punto de
vista común sobre lo que es relevante -y por tanto se debe observar y estudiar- y lo
que no lo es, sobre los métodos apropiados para ese estudio y el tipo de preguntas
que hay que plantearse, sobre qué tipo de respuestas constituyen una explicación,
etc. Ese marco de creencias básicas compartidas es el paradigma.
Comparar teorías y decidir cuál es superior dentro de un mismo paradigma no
suele ser difícil, pero no ocurre lo mismo cuando comparamos paradigmas diferentes
porque los propios criterios de valoración di eren. Abandonar un paradigma para
abrazar otro exige un cambio de valores, y se parece más, según Kuhn, a una conversi
ón religiosa que a un razonamiento objetivo. Volveremos a esto más adelante,
pero de momento conviene tenerlo en cuenta para comprender mejor a quienes se
negaban a abandonar el paradigma aristotélico en la época de Copérnico o Galileo.
92 4. El mundo según Aristóteles
Capítulo 5
El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
La historia de las matemáticas adolece de un defecto insalvable: el
orden cronológico de los hechos no corresponde al orden lógico, natural.
La buena de nición de los elementos es en muchos casos lo último,la
práctica precede a la teoría, la impulsiva labor de los precursores es
menos comprensible por el profano que la de los modernos
Jorge Luis Borges
Aristóteles decía que el cielo era eterno, incorruptible, inmutable. Y lo cierto
es que durante casi dos mil años sus esferas giraron sin fricciones. El Cielo de la
Divina Comedia de Dante era, esfera por esfera, el de Aristóteles. Y el mundo de las
personas cultas del siglo XVI seguía siendo el de Dante. Todavía en 1588, un joven
matemático llamado Galileo era invitado a conferenciar en la Academia orentina
sobre el tamaño, situación y estructura del In erno de Dante.
Pero las esferas resultaron, nalmente, no ser eternas. El hermoso mundo circular
que retrataba Petrus Apianus en su Cosmographia de 1539 (Figura 4.2) estaba a
punto de hacerse añicos. La explosión que lo voló por los aires es lo que se ha
llamado Revolución Copernicana, y será el tema del próximo capítulo. Pero hasta
ese estallido nal, los cielos de Aristóteles habían dado muchas vueltas, y no habían
permanecido tan impasibles como se cree. Para entender la Revolución Copernicana
tenemos que entender esas vueltas, esas otras revoluciones más modestas pero
quizá no menos importantes. Podemos resumirlas en tres actos: el surgimiento de la
teoría de los epiciclos; la revolucionaria propuesta de Aristarco, que los eliminaba,
y la restauración del statu quo por Hiparco y Ptolomeo.
5.1. El sueño circular de los epiciclos
El modelo de las esferas de Eudoxo fue apadrinado por Platón, y, con pequeñas
modi caciones, adoptado por Aristóteles. Pero, a pesar de su duradero éxito entre
los lósofos, perdió pronto el favor de los astrónomos. La razón es que casi desde
el primer momento había mostrado algunos desajustes. Se referían a una cuestión
bastante técnica y parecían relativamente intrascendentes con respecto a la descripci
ón general del mundo, la cosmología (o cosmografía) que interesaba a los lósofos.
Pero no podían ser pasados por alto por los astrónomos profesionales.
93
94 5. El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
Recordemos que en el modelo de Eudoxo los astros están jos a esferas concéntricas
con la Tierra. Por eso, todos deberían mantenerse a distancias constantes de
nosotros. Pero había dos observaciones que eran difíciles de casar con este requisito:
La variación de la luminosidad de los planetas : Los planetas brillan más cuando
retrogradan, como si estuvieran más cerca de la Tierra. El caso es especialmente
llamativo en Marte (hoy sabemos que la distancia Tierra-Marte puede
variar en un factor cinco según sean sus posiciones relativas).
La diferente duración de las estaciones : Los griegos ya sabían que el otoño
es más corto que la primavera. Con más precisión, Hiparco estableció que
la primavera dura 94 1
2 días, el verano 92 1
2 , el otoño 88 1
8 y el invierno 90 1
8 .
Como las posiciones del Sol en los cuatro puntos que marcan el principio
de las estaciones (los dos solsticios y los dos equinoccios) están espaciados
exactamente 90o en la bóveda celeste, esto signi ca que el Sol parece ir más
deprisa en otoño y más despacio en primavera.
Si nos empeñamos en sostener que Marte y el Sol están siempre a la misma distancia
de la Tierra, tenemos que aceptar que el brillo de Marte varía y que el Sol se acelera y
se frena periódicamente…, comportamientos ambos muy poco dignos de los cuerpos
celestes.
Por otra parte, cuando las observaciones astronómicas se hicieron su cientemente
precisas, se constató que aunque el modelo de Eudoxo daba una buena descripción
cualitativa de los movimientos de los planetas, no predecía demasiado bien sus posiciones.
Estas pequeñas anomalías no parecían tener mayor trascendencia. Pero resultaron
sorprendentemente pertinaces. A corto plazo, obligaron a los astrónomos a
dejar de lado el modelo de las esferas y sustituirlo, al menos en los cálculos, por otro
menos atractivo: el modelo de epiciclos, que veremos en seguida. Se estableció así
un divorcio entre la astronomía (basada en los epiciclos) y la cosmología (basada
en las esferas), que duró más de mil años. Y, nalmente, a partir del siglo XVI,
las pequeñas anomalías acabaron obligando a tirar por la borda toda la astronomía
antigua y con ella, la concepción del mundo de Aristóteles, Dante y Petrus Apianus.
Esta singular aventura es la que vamos a estudiar en este capítulo y el siguiente.
Heráclides observa Venus
El primer problema que planteaba el modelo de esferas homocéntricas era la
luminosidad variable de los planetas. La solución a este problema vino por un camino
indirecto del que no se conocen bien los detalles, pero esto no nos importa demasiado:
de esta historia nos interesa más su lógica que su cronología.
Vamos a comenzar por un personaje singular, Heráclides Póntico. Aunque estudió
con Platón y parece que también con Aristóteles, tuvo la audacia de contradecirles,
defendiendo que la Tierra gira en torno a su eje y las estrellas están estrictamente
jas. De esta manera explicaba el movimiento diario de las estrellas y los demás
cuerpos celestes como una ilusión óptica de movimiento relativo. Siendo un reconocido
inconformista, no es extraño que tampoco le satis ciera la explicación ortodoxa
5.1 El sueño circular de los epiciclos 95
(de Eudoxo) del movimiento de los planetas. Y, en particular, buscó una manera
mejor de explicar el movimiento de Venus.
Venus es, tras el Sol y la Luna, el cuerpo celeste más brillante. Pero además de
por su brillo, Venus es notable por lo peculiar de su movimiento: nunca se aleja
demasiado del Sol. Unas veces está más al este, y se le ve al atardecer; otras veces,
más al oeste, y se le ve al amanecer. Pero su separación angular respecto del Sol
nunca supera los 47o, lo que signi ca que sólo es visible un máximo de tres horas
tras el ocaso o antes del orto.
H S F
E W
Figura 5.1: Esquema del movimiento de Venus respecto del Sol. H indica la posición de Héspero
(Lucero de la tarde) y F la de Fósoforo (Lucero del alba). Las echas marcan los puntos
cardinales
Este (E) y Oeste (W).
Parece que fue Pitágoras quién reconoció que el Lucero del alba (Fósoforo) y el
de la tarde (Héspero) eran un mismo planeta. Unos ciento cincuenta años más tarde,
Heráclides estudió con mucho más detalle la metamorfosis de Fósforo en Héspero.
La Figura 5.1 indica las posiciones relativas del Sol y de Venus. En su movimiento
diario (hacia el oeste) algunas veces Venus va un poco más deprisa que el Sol, de
modo que lo rebasa, pasando de H a F. Cuando llega a F, sin embargo, comienza a
ir algo más despacio, y se va quedando atrás, hasta llegar a H, donde comienza de
nuevo el ciclo.
Desde el punto de vista del movimiento anual (respecto de las estrellas jas),
que es el que nos interesa aquí, el Sol se mueve siempre hacia el este. Venus va
también hacia el este, pero más deprisa, cuando va de F a H; y va hacia el oeste
(retrograda) cuando se mueve de H a F.
Esto es lo que ocurriría si Venus oscilara en un movimiento de vaivén centrado
en el Sol, a lo largo de la eclíptica. Sin embargo, una observación más cuidadosa
muestra que el brillo de Venus no es el mismo de H a F que de F a H, lo que sugiere
que la distancia no sea la misma. Y tampoco es el mismo el tiempo en un sentido y
otro: el movimiento de H a F es más rápido.
Heráclides explicó elegantemente estas observaciones suponiendo que la aparente
oscilación es en realidad un movimiento orbital de Venus en torno al Sol (Figura 5.2).
De este modo se evita que Venus tenga que atravesar el Sol en su vaivén, pero, sobre
todo, se consigue explicar sus irregulares velocidades con un movimiento uniforme:
Venus gira a velocidad constante, pero visto desde la Tierra parece más rápido de
H a F que de F a H, porque en realidad el primer tramo es bastante más corto.
Es importante que esta explicación no es sólo cualitativa. Al contrario, podemos
precisar todas las las distancias y los tiempos involucrados en la Figura 5.2. El ángulo
[HTS puede medirse en el cielo: es el que forma el Lucero de la tarde con el Sol
cuando alcanza la mayor separación angular de éste. Resulta ser aproximadamente
96 5. El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
T
S
V
H
F
Figura 5.2: Geometría del modelo de Heráclides para Venus
de 46o20', y su seno vale 0,723. Pero el ángulo [SHT es recto, y por tanto
SH = ST sen([HTS) = ST 0:723
Pero SH es igual que la distancia del Sol a Venus (SV ) y ST es la distancia del Sol
a la Tierra. Así que hemos demostrado que la distancia al Sol de Venus, medida en
unidades de distancia Tierra-Sol (lo que hoy llamamos unidades astronómicas, u.a.),
es de 0,723 u.a. Por otra parte, el tiempo que tarda Venus en ir de H a F más el
tiempo que tarda en ir de F a H nos da su periodo de giro en torno al Sol (0,615
años).
De este modo, podemos usar el modelo para hacer predicciones sobre las posiciones
futuras de Venus. Como las órbitas de Venus y la Tierra son circulares con
buena aproximación, las predicciones son bastante correctas.
La composición del movimiento circular de Venus en torno al Sol y el movimiento
también circular del Sol en torno a la Tierra da como resultado una trayectoria que
ya no es circular sino lobulada ( gura 5.3): Venus se aleja y acerca alternativamente
de la Tierra, lo que explica sus variaciones de luminosidad. En el caso ilustrado
en la gura, V visto desde T siempre avanza en el sentido de las agujas del reloj
porque la condición de rodadura de una moneda sobre otra no permite que el punto
de contacto retroceda. Pero si se elimina esa condición y se permite que la moneda
patine (es decir, se hacen arbitrarias las velocidades de giro V en torno a S y de
S en torno a T), pueden producirse retrogradaciones en los momentos en los que V
está más cercano a T. Esos serían los momentos de más luminosidad, justamente
cuando se observan retrogradaciones en los planetas.
Lo dicho para Venus es válido para Mercurio, cuyo movimiento en el cielo es
similar, aunque se mantiene siempre aún más cerca del Sol. Al suponer que gira
alrededor del Sol, obtenemos la distancia Sol-Mercurio en u.a., y su periodo de giro.
5.1 El sueño circular de los epiciclos 97
S
V
T
Figura 5.3: Si la moneda de un céntimo rueda sobre la moneda de un euro, el punto V,
inicialmente
en contacto, describe la trayectoria marcada con línea continua de la gura. Podemos describir
este movimiento igualmente diciendo que el punto V gira en torno al centro S de la moneda de un
céntimo, a la vez que S gira, siguiendo la línea de puntos, en torno al centro T de la moneda
de un
euro.
Hay que hacer no obstante la salvedad de que, al ser la órbita de Mercurio mucho
más excéntrica (esto es, menos circular) que la de Venus, los resultados del modelo
son mucho menos exactos. Pero las observaciones de Mercurio, por su cercanía al
Sol, son difíciles e imprecisas, así que en la práctica es también difícil detectar la
inexactitud del modelo.
El sistema epiciclo-deferente
Hasta aquí la teoría de Heráclides. Ahora bien, conviene distinguir la teoría de
las observaciones. Hemos explicado las observaciones (es decir, la Figura 5.1) con
una teoría particular (la de la Figura 5.2). Pero, como explicamos en el capítulo 2,
las teorías no se deducen de las observaciones. De hecho, nada en las observaciones
permite asegurar que Venus y Mercurio realmente orbitan en torno al Sol : lo que
observamos sería exactamente lo mismo si el Sol no estuviera en el centro de la órbita
de los planetas sino que se moviera en un círculo más alto o más bajo, quedando
siempre, eso sí, alineado con esos centros.
De este modo, podemos plantear una teoría alternativa (Figura 5.4) en la que
el planeta (P) sigue una órbita circular (llamada epiciclo), pero no en torno al Sol,
sino en torno a un punto vacío (C) que gira alrededor de la Tierra en un círculo
llamado deferente. El centro del epiciclo se mueve sobre el deferente de modo que
siempre está alineado con el Sol. La composición de los dos movimientos circulares
de epiciclo y deferente da como resultado una trayectoria para el planeta igual a la
que hemos visto en el modelo de Heráclides; lo único que cambia es la posición del
Sol, que ahora puede situarse en cualquier punto en dirección CT.
Tenemos así dos teorías distintas, la de Heráclides y la de los epiciclos, de las
cuales se deducen los mismos hechos, es decir, los movimientos observados de Venus
98 5. El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
T
C
S
P
H
F
Deferente
Epiciclo
Figura 5.4: El movimiento de un planeta interior (como Venus o Mercurio), explicado con el
sistema epiciclo-deferente. El Sol está siempre sobre la prolongación de la línea TC (es decir,
el Sol
y el punto C giran a la misma velocidad angular
y Mercurio resumidos en la Figura (5.1). ¾Como elegir entre una y otra?
En relidad, como dijimos en el capítulo 2, una teoría nunca se limita a predecir los
hechos observados. Las dos teorías que consideramos, además del vaivén de Venus y
Mercurio entorno al Sol, predicen sus distancias relativas. O mejor dicho, las predice
la teoría de Heráclides, porque al pasar a la de epiciclos ocurre algo curioso.
El epiciclo es lo que era antes la órbita de Venus en torno al Sol, y la deferente
es lo que era antes la órbita del Sol. Pero el Sol no está en el centro del epiciclo de
Venus, sino en cualquier punto de la prolongación de la línea CT (Figura 5.4). Por
eso, la proporción entre los radios CH y CT de epiciclo y deferente ya no es como
antes la proporción entre las distancias Sol-Venus y Sol-Tierra, sino tan sólo una
particularidad geométrica de la órbita de Venus, sin un signi cado físico especial.
Lo mismo ocurre con Mercurio. De este modo, el modelo de epiciclos ya no nos
proporciona las distancias al Sol de Mercurio y Venus. Ni siquiera nos dice cual de los
dos planetas está más cerca de la Tierra: en realidad, cada órbita es independiente de
las demás, y podemos dilatarla o contraerla a voluntad, puesto que desde la Tierra
sólo observamos ángulos, y los ángulos no cambian con tal de que mantengamos la
proporción entre los radios de epiciclo y deferente. Por el contrario, en el modelo de
Heráclides había una escala de distancias única para Mercurio, Venus y la Tierra.
Por tanto, una medida de las distancias entre planetas podría decidir entre
las dos teorías, pero de un modo curiosamente asimétrico: mientras casi
cualquier valor sería compatible con el modelo de epiciclos, muy pocos lo serían
con el modelo de Heráclides, que hace, por tanto, unas predicciones más arriesgadas.
5.1 El sueño circular de los epiciclos 99
Conjeturas y refutaciones
Podría pensarse que esto es un mérito del modelo de epiciclos, pero no es así.
Como ha señalado el lósofo Karl Popper, lo que distingue a una teoría cientí ca
de otra que no es cientí ca no es su verdad o falsedad. A lo largo de la historia
ha habido multitud de teorías cientí cas que han resultado ser falsas. Pero eran
cientí cas, precisamente porque podía probarse su falsedad (podían falsarse, en la
expresión de Popper). Esto no puede decirse de todas las teorías: las doctrinas religiosas,
las losofías, incluso disciplinas que tienen pretensiones cientí cas como el
psicoanálisis, no son falsables. La razón es que no hacen a rmaciones su cientemente
concretas y veri cables para que una observación o experimento las eche por tierra.
Por ejemplo, un psicoanalista puede decir que un paciente padece un complejo de
inferioridad. Esperaríamos entonces que fuese alguien apocado, que su jefe le explotase,
su mujer le ridiculizase, etc. Pero si nos encontramos con que es él quien
ridiculiza a su mujer y quien explota a sus empleados, no necesitamos cambiar de
teoría: ese comportamiento sería el modo en que intentaba vencer sus sentimientos
de inferioridad.
En constraste con esta vaguedad, las teorías cientí cas hacen predicciones concretas
y veri cables. Por ejemplo, usando las leyes de Newton y su teoría de la Gravitaci
ón Universal, Edmond Halley fue capaz de calcular la órbita de un cometa que
había sido observado en 1682 y predecir que volvería a verse 75 años después. Si
el cometa no hubiese aparecido, Halley no tendría escapatoria: o sus cálculos o su
teoría estarían equivocados. El cometa volvió puntualmente y en honor a Halley,
que para entonces había fallecido, se le puso su nombre al cometa.
Que Halley acertara no demuestra que la teoría de Newton sea correcta: puede
haber otras teorías que den los mismos resultados en este caso, pero que se diferencien
en otros. Justamente eso ocurre con la Relatividad General de Einstein, que es
la teoría de la gravitación aceptada actualmente. Da resultados virtualmente idénticos
a los de Newton para la mayoría de los objetos del Sistema Solar, pero predice
pequeñas diferencias donde las fuerzas gravitatorias son grandes, como en las cercan
ías del Sol (cuando las fuerzas son enormemente grandes, las diferencias entre
ambas teorías son también enormes, como en el caso de los agujeros negros). Y,
efectivamente, la órbita de Mercurio resulta ajustarse a las predicciones de Einstein
y no a las de Newton.
Por tanto, hemos tenido que abandonar la teoría de Newton, pero, de nuevo, eso
no signi ca que la de Einstein sea correcta; el proceso podría repetirse con una nueva
teoría que la desplazara. Aceptamos la Relatividad General no porque sea la verdad
sobre el mundo, sino porque no hemos encontrado por ahora otra teoría mejor.
Toda este juego de conjeturas y refutaciones (en la expresión de Popper) es lo
que hace posible que haya progreso en la ciencia: no sabemos si la teoría de Einstein
es verdadera, pero sabemos que es mejor que la de Newton (que predice una órbita
errónea para Mercurio) que a su vez es mejor que la de Aristóteles (que no puede
predecir el regreso de un cometa).
Esta dinámica sólo puede funcionar si las teorías hacen predicciones concretas que
puedan ser refutadas por los experimentos u observaciones. De modo que podemos
decir que una teoría es tanto más cientí ca cuanto más refutable es : cuanto mayor
100 5. El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
sea el alcance de sus a rmaciones y más especí cas sean (de modo que se nos puedan
ocurrir más consecuencias concretas que, caso de veri carse, demostrarían que la
teoría está equivocada). En de nitiva, cuanto más arriesgadas sean sus predicciones.
En este sentido, la teoría de Heráclides es más cientí ca que la de los epiciclos,
porque puede ser refutada si se midieran las distancias entre planetas, mientras que,
salga lo que salga en esa medida, la teoría de los epiciclos queda indemne. Pero en
la época de Heráclides esta cuestión era puramente teórica, porque nada se sabía de
las distancias entre planetas, ni había manera concebible de averiguarlas.
Los razonables epiciclos
Si, como ocurre aquí, no podemos elegir entre teorías rivales en función de sus
predicciones, tenemos que recurrir a criterios más vagos. Por ejemplo, ¾cual es más
razonable? Y esto signi ca, en realidad, ¾cual es más coherente con el resto de
lo que sabemos? Para los antiguos griegos, el modelo de epiciclos tenía el atractivo
de que permitía seguir manteniendo que los planetas giran en torno a la Tierra (si
bien un tanto indirectamente). Podemos mantener las esferas siempre que tengan
su ciente grosor para que quepan en ellas los epiciclos. No queda explicado por qué
se produce el movimiento sobre el epiciclo, pero al menos el sistema de epiciclos se
puede acomodar en la doctrina de Aristóteles, mientras que el modelo de Heráclides
era incompatible con ella (entre otros problemas, los planetas, al girar, atravesarían
la esfera del Sol).
No es extraño que el modelo de epiciclos fuera adoptado por casi todos los astr
ónomos posteriores a Heráclides, y en particular por el in uyente Hiparco de Nicea.
Para sus contemporáneos, Heráclides era, sin duda, alguien con un sentido deformado
de lo razonable: no en vano, como ya dijimos, había supuesto también algo tan
disparatado como que la Tierra, en lugar de los cielos, es la que gira diariamente...
Los planetas exteriores
Marte, Júpiter y Saturno (los llamados planetas exteriores por estar situados más
allá del Sol) tienen un comportamiento diferente de Mercurio y Venus (los planetas
interiores) porque no oscilan en la esfera celeste en torno al Sol. Pero su movimiento
se ajusta igualmente bien con el sistema epiciclo-deferente.
Podemos representarlo como en la Figura 5.4, con la diferencia de que ahora el
Sol no está alineado con C, y por tanto es bastante más difícil medir el ángulo\HTC.
Es, sin embargo, posible, a partir de un conjunto de observaciones su cientemente
amplio, estimar el ángulo\HTF y obtener la proporción entre los radios de epiciclo
y deferente. Con su cientes datos podemos también calcular los periodos de C sobre
el deferente y de P sobre el epiciclo. Y conocidos estos valores para cada planeta,
podemos predecir sus movimientos.
Cuando el planeta está más alejado de la Tierra, su giro sobre el epiciclo se
suma al giro de la deferente, y parece ir más deprisa. Cuando el planeta está más
cercano, ocurre lo contrario, y se produce la retrogradación. En resumen, el sistema
epiciclo-deferente explicaba muy bien, tanto para los planetas exteriores como para
los interiores, la variación de su luminosidad: en las retrogradaciones vemos el planeta
5.1 El sueño circular de los epiciclos 101
más brillante porque está realmente más cerca. En esto era claramente superior al
modelo de Eudoxo. Pero además, permitía obtener a partir de las observaciones
los parámetros de las orbitas (periodos de epiciclo y deferente, y proporción de sus
radios) y con ellos hacer predicciones resultaron ser mucho más exactas. ½Por primera
vez, los astrónomos tenían un modelo que funcionaba cuantitativamente!
Dos aspectos extraños de los epiciclos
Vamos a llamar a este modelo modelo básico de epiciclos . Describe los movimientos
de todos los cuerpos celestes respecto de las estrellas jas, que funcionan como
sistema de referencia, y emplea doce círculos: dos círculos para cada uno de los cinco
planetas, más uno para el Sol y otro para la Luna, que no retrogradan.
Una vez alcanzado este punto, la investigación podía tomar dos derroteros. En
palabras del astrofísico Fred Hoyle:
Si lo que nos preocupa es la calidad predictiva del modelo (lo que sería
el punto de vista de la mayoría de los físicos teóricos de hoy),
buscaríamos la forma de modi car la Figura 5.4 con el n de obtener
una mejor correspondencia entre la teoría y la observación. Esto es
justamente lo que trató de hacer Ptolomeo. Pero si nos preocupamos
tanto de la precisión cuantitativa como de la estructura cualitativa del
problema, no podremos pasar por alto dos aspectos extraños de la
cuestión.
Los dos aspectos extraños a los que se re ere Hoyle aparecen al comparar las
construcciones epiciclo-deferente para los planetas exteriores e interiores:
1. En los planetas interiores, la deferente se recorre en un año, ya que el punto C
(Figura 5.4) se mantiene alineado con el Sol. Resulta que, para que el modelo
ajuste a los movimientos reales, en los planetas exteriores es el epiciclo el que
tiene que recorrerse en un año.
2. En la construcción epiciclo-deferente para un planeta interior (Figura 5.4) el
Sol está sobre la línea que pasa por los centros de la Tierra y el epiciclo. Para
que el modelo ajuste cuando se trata de un planeta exterior, se encuentra
que el Sol debe estar sobre una línea que pase por la Tierra y sea paralela al
segmento que une el planeta con el centro del epiciclo (Figura 5.5). Es decir,
que en su movimiento alrededor de la Tierra, los planetas exteriores giran
sobre sus epiciclos al unísono con el Sol: todos los segmentos CP se mantienen
paralelos en todo momento al segmento TS, como si se tratara de relojes que
están todos en hora.
Todas estas extrañas relaciones entre los planetas externos, los internos y el Sol
parecen signi car algo, pero ¾qué?
102 5. El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
T
Al Sol
P
C
Figura 5.5: La posición del Sol en el modelo de epiciclos, para un planeta exterior P.
5.2. El Copérnico griego
No sabemos si muchos astrónomos griegos se plantearon esta pregunta. Pero
Aristarco de Samos sí lo hizo. Y en este problema demostró aún más audacia e
ingenio que en sus medidas de las distancias al Sol y a la Luna.
Hemos visto que lo único que nos dicen las observaciones es que el Sol puede estar
en cualquier punto de una línea que pasa por la Tierra y es paralela a CP (Figura
5.5). Pero podemos ir más lejos dando un paso teórico. El paso que dio Aristarco de
Samos consiste en colocar el Sol sobre esa línea a una distancia igual a la longitud
del segmento CP (ver Figura 5.6 (a)).
Esta gura proporciona exactamente las mismas predicciones que la anterior,
pero hay una diferencia. Si re exionamos sobre ella podemos ver (aunque quizá
cueste un poco la primera vez) que ahora los movimientos del planeta son los mismos
que en la Figura 5.6 (b), en la que el planeta gira alrededor del Sol en lugar de
alrededor de C. La razón es que como TS y CP giran al unísono, P siempre está
a la misma distancia de S, es decir, ½se mueve en una circunferencia centrada en el
Sol!
Ahora podemos añadir a esta Figura la posición de Venus, tal como la dibujamos
en el modelo de Heráclides (Figura 5.2). El resultado es 5.6 (c). Aquí, tanto V como
P giran alrededor del Sol, y éste gira alrededor de la Tierra, que es ja. Finalmente,
no es difícil ver que el movimiento de S en torno a T es equivalente al movimiento de
T en torno a S: si imaginamos que estamos sentados en el Sol, veríamos la Tierra
girar en torno nuestro, y la gura 5.6 (c) se convertiría en la 5.6 (d).
El simple paso dado por Aristarco, en conjunción con el modelo de Heráclides
formulado unos cien años antes, ha transformado completamente la apariencia del
sistema. Ahora todo gira en torno al Sol, que pasa a estar jo, mientras que la
Tierra se convierte en un planeta. Las predicciones de los movimientos planetarios
observables en el cielo son, por supuesto, exactamente iguales que en el modelo
básico de epiciclos, pero tenemos solamente siete círculos en vez de doce: todos los
5.2 El Copérnico griego 103
T
S
P
C T
S
P
(a) (b)
T
S
V
P
(c)
S T
V
P
(d)
Figura 5.6: Cómo pasar del modelo básico de epiciclos (a) al modelo de Aristarco (d). En (b),
el
planeta exterior P gira en torno al Sol, que se mueve a su vez en torno a la Tierra. En (c) se
ha
añadido el giro de un planeta interior (V) alrededor del Sol. Si nalmente vemos el sistema
desde el
punto de vista del Sol, la Tierra gira también en círculo, y llegamos a (d), el modelo de
Aristarco.
epiciclos han desaparecido. Este es el modelo de Aristarco.
El lector atento quizá haya advertido un problema. Hemos descrito el modelo
para un solo planeta exterior, P, y hemos colocado el Sol a una distancia de la
Tierra igual al radio CP del epiciclo de ese planeta. ¾Qué ocurre al incorporar al
modelo todos los demás planetas exteriores? Sus epiciclos tendrán radios diferentes
C0P0, C00P00, etc...½y el Sol sólo puede estar a una distancia de la Tierra!
La respuesta es que en el modelo de epiciclos podemos hacer que todos esos
radios sean iguales, porque, como hemos visto, lo único que importa para ajustar
los datos son las proporciones entre epiciclo y deferente y no sus tamaños absolutos.
Pero precisamente al adoptar el modelo de Aristarco perdemos ese grado de libertad:
la arriesgada predicción de Heráclides para las distancias de Mercurio y Venus se
extiende ahora a todo el Sistema Solar, que pasa a tener ahora una escala absoluta
de distancias.
Hay que advertir que lo que explica este modelo es el movimiento de los cuerpos
celestes respecto de las constelaciones. Para eso es para lo que propone que la Tierra
104 5. El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
gira en torno del Sol. Pero el movimiento diario de las constelaciones podía seguir
explicándose por el giro de la esfera celeste, como en el modelo básico de epiciclos. Sin
embargo, una vez puesta en movimiento la Tierra, ya no hay motivo para no hacerla
rotar sobre su eje y conseguir de esta manera que la esfera celeste esté inmóvil. Así
lo hizo Aristarco, como lo había hecho antes Heráclides, y como lo haría, mucho
después, Copérnico.
Traduciendo modelos
La idea de fondo de Aristarco es que la mayoría de los movimientos celestes son
movimientos aparentes debidos al movimiento de la Tierra. Así, el movimiento diario
del Sol y las estrellas se debe al giro de la Tierra en torno a su eje. Y el movimiento
anual del Sol es también una apariencia debida al movimiento terrestre, como se
aprecia en la Figura 5.7, que compara la explicación geocéntrica y heliocéntrica de
ese movimiento.
E W
1
1
2
2
3
3
E W
1
1
2
2
3
3
Explicación geocéntrica Explicación heliocéntrica
PStoPDF trial version. http://www.adultpdf.com
Figura 5.7: Comparación de las explicaciones geocéntrica (izquierda) y heliocéntrica (derecha)
del movimiento anual del Sol (no se ha representado el movimiento diario de este a oeste, en el
que
el participan también las estrellas
.
Algo similar ocurre con los planetas. El modelo de Aristarco muestra que, de los
dos círculos que se necesitan para cada planeta en el modelo de epiciclos, uno es
simplemente el re ejo del movimiento de la Tierra.
Así, la órbita en torno al Sol de los planetas interiores es igual a su antiguo
epiciclo; su deferente era un re ejo del movimiento de la Tierra. El planeta recorre su
órbita en torno al Sol en el tiempo en el que recorría su epiciclo. Y su distancia al Sol,
tomando como unidad la distancia Tierra-Sol (es decir, en unidades astronómicas)
es repiciclo=rdeferente
Para los planetas exteriores, los papeles se invierten: sus epiciclos eran un re ejo
de la órbita de la Tierra; sus órbitas en torno al Sol son sus antiguos deferentes.
El planeta gira en torno al Sol con el periodo con el que recorría el deferente. Y su
distancia al Sol en u.a. es rdeferente=repiciclo.
5.2 El Copérnico griego 105
En resumen,
Mod. de epiciclos Mod. de Aristarco
Planeta interior (ej.: Venus) epiciclo ! órbita del planeta
deferente ! órbita de la Tierra
Planeta exterior (ej.: Marte) epiciclo ! órbita de la Tierra
deferente ! órbita del planeta
Las retrogradaciones tienen una explicación natural en el modelo de Aristarco:
se trata sólo de un efecto de perspectiva que se da en los adelantamientos: cuando
en su giro un planeta interior rebasa a la Tierra o cuando la Tierra rebasa a un
planeta exterior (ver Figura 5.8).
1
1
2
2 5
5
7
7
6
6
3
3
4
4
E W
PStoPDF trial version. http://www.adultpdf.com
Figura 5.8: Explicación de las retrogradaciones para un planeta interior. Para que se produzca
retrogradación tal como se observa aquí, es necesario que el planeta interior gire con
velocidad
angular mayor que la Tierra, de modo que en el intervalo de tiempo representado recorra una
fracción mayor de su órbita (para un planeta exterior el diagrama es similar, pero es la Tierra
la
que gira con más velocidad angular).
Un logro (y un fracaso) extraordinarios
Llegados aquí se impone un alto para re exionar, porque tenemos varios motivos
de asombro. El primero, lo extraordinario del logro de Aristarco: ½había dado con
la solución correcta al problema del movimiento de los planetas, mil ochocientos
años antes de Copérnico! (doblemente correcta, además, porque no sólo acertó con
el movimiento de traslación de la Tierra sino también con el de rotación).
Pero después de maravillarnos de la genialidad de Aristarco, probablemente lo
que nos asombre sea la torpeza de sus contemporáneos, porque su modelo no tuvo
prácticamente ningún seguidor. ¾Cómo es posible que los griegos no reconocieran
la solución correcta cuando Aristarco se la sirvió en bandeja? Hoy nos parece que
106 5. El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
cualquiera que eche un vistazo a la Figura 5.6 preferirá el sencillo esquema (d) al
confuso (a). Más aún si lo estudia con algún detalle y encuentra, como acabamos de
hacer, con qué elegancia explica los hechos.
No hay duda de que los astrónomos griegos estudiaron el modelo de Aristarco,
pero a pesar de eso no lo aceptaron. Hay quien ha intentado explicar este rechazo
alegando razones religiosas, como Carl Sagan en su popular Cosmos. Recordemos la
cita que reproducíamos en el prólogo: La idea escandalizó a algunos de los contempor
áneos de Aristarco. Hubo gritos, como los dedicados a Anaxágoras, a Bruno y a
Galileo, pidiendo que se les condenara por impiedad.
Lo cierto es que seguramente no hubo ningún grito. Es dudoso que el heliocentrismo
se considerase impío cuando se planteó, y en cualquier caso los griegos no
tenían una Inquisición que pudiera prohibir ese tipo de enseñanzas. Así que antes
de acusarlos de fanáticos o empezar a dudar de su inteligencia, quizá deberíamos
dudar de nuestra intuición sobre lo que es obvio...
La cuestión de fondo es que hoy nos cuesta trabajo percibir hasta qué punto
la idea del movimiento de la Tierra va contra el sentido común. Esto se debe a
que la autoridad de educadores y padres nos somete a un lavado de cerebro en la
infancia, antes de que hayamos desarrrollado su cientemente el sentido crítico. Los
astrónomos griegos entendían perfectamente que los movimientos de los astros se
explicaban igual de bien con una Tierra móvil y un Sol jo que con una Tierra ja
y un Sol móvil. Pero, aunque no hay razones astronómicas para preferir una Tierra
ja, sí hay razones físicas.
En efecto, el modelo de Aristarco convierte la Tierra en un planeta. Pero parece
absurdo equiparar nuestro hogar, la Tierra, con las inmutables luces que se mueven
en la esfera celeste (¾tenemos que suponer que hay en esas luces tierras, mares, animales
y hombres?). Especialmente absurdo cuando los sentidos no perciben ningún
movimiento en la Tierra. Y si ésta se moviera, ¾no debería dejar atrás todo lo que
no es solidario con ella, como las nubes, los pájaros o los proyectiles...? (recordemos
lo que opinaba Ptolomeo a este respecto, pg. 51). Hay que añadir que cuando
Aristarco propuso el heliocentrismo (hacia el año 270 a.C.), todas estas ideas físicas
de sentido común estaban ya formalizadas por Aristóteles en un modelo del mundo
muy coherente y detallado, como hemos visto en el capítulo anterior. Hasta que no
se desarrollara una alternativa al cosmos de Aristóteles, que resolviera los problemas
físicos que planteaba una Tierra en movimiento, el modelo de Aristarco no podía
ser adoptado mayoritariamente.
Además de plantear estos problemas físicos, la precisión del modelo de Aristarco
empezó a ser insu ciente cuando fueron mejorando la calidad y cantidad de las
observaciones astronómicas, gracias sobre todo al trabajo de Hiparco. El modelo
de Aristarco no podía ser muy preciso porque, aunque describe muy bien cualitativamente
las órbitas de los planetas, esas órbitas no son en realidad círculos, sino
elipses. Si queremos mejorar la precisión, tenemos que hacer que los movimientos
de los planetas se parezcan a los que tendrían sobre esas elipses. Y eso es lo que
consiguió Hiparco unos ciento treinta años después de Aristarco.
5.3 La consagración del viejo orden 107
5.3. La consagración del viejo orden
Al comenzar este capítulo (pg. 94) mencionamos dos hechos que no casaban
con el modelo de Eudoxo. El primero, la variación de brillo de los planetas, quedaba
explicado tanto en el modelo sencillo de epiciclos como en el modelo de Aristarco. El
segundo era la desigualdad de las estaciones o, de otro modo, la aparente variación de
la velocidad del Sol a lo largo del año. Este problema no fue abordado por Aristarco,
pero sí por Hiparco de Nicea.
Hiparco de Nicea
Ya hemos encontrado a Hiparco como precursor de la moderna cartografía y
compilador del primer catálogo de estrellas, pero sus méritos van mucho más allá.
Su nombre se asocia sobre todo con el descubrimiento de que el eje de la esfera
celeste no está del todo jo, sino que se mueve lentamente al pasar los años (la
llamada precesión de los equinoccios). Pero quizá su contribución más importante
fue introducir en la astronomía un rigor hasta entonces desconocido, inventando
técnicas de observación mucho más precisas y sistemáticas y exigiendo a los modelos
un ajuste mucho mejor a esas observaciones.
Un ejemplo de este rigor fue su medida de la duración de las estaciones. Hiparco
consiguió explicar su diferente duración manteniendo al Sol en un movimiento circular
y uniforme, pero al precio de no centrar ese círculo en la Tierra. En este círculo
descentrado (llamado excéntrica) el Sol está más cercano a nosotros en otoño (y por
eso parece ir más deprisa) y más lejano en primavera (y por eso parece ir más despacio).
La distancia del centro la excéntrica al centro de la Tierra es la excentricidad.
Hiparco consiguió ajustar las observaciones con una excentricidad de 1/24 del radio
(Figura 5.9).
T
S
verano primavera
otoño invierno
equinoccio
vernal
equinoccio
otoñal
solticio de
invierno
solticio de
verano
65.5º
apogeo
perigeo
C
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Figura 5.9: Explicación de Hiparco de la desigualdad de las estaciones. La distancia entre el
centro del círculo del Sol (C) y la Tierra (T) es 1/24 del radio del círculo del Sol (se ha
exagerado
en el dibujo, para mayor claridad).
108 5. El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
Ahora bien, ¾qué signi ca que la Tierra no esté en el centro de la órbita del Sol?
¾No estamos sacándola del centro del universo, en contra de Aristóteles? En realidad,
puede conseguirse una circunferencia excéntrica situando al Sol sobre un pequeño
epiciclo recorrido en sentido contrario a la deferente (ver gura ????). De modo
que la excéntrica es un caso particular de movimiento epicicloidal y al adoptarla
no estamos descentrando el universo; al menos, no más que lo descentraban los
epiciclos...
w =-w
2 1
w =-2w
2 1
w =w
2 1
w =2w
2 1
O
C
P
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Figura 5.10: Un planeta situado sobre un pequeño epiciclo recorrido con la misma velocidad
angular !2 que la de la deferente (!1) pero en sentido contrario recorre una órbita circular
pero
descentrada (excentrica). La velocidad angular del planeta se mide, de acuerdo con la
costumbre
de los astrónomos antiguos, respecto de la dirección dada por el radio del centro de la
deferente.
Los versátiles epiciclos menores
La idea de usar epiciclos menores como el que acabamos de adjudicar al Sol
puede extenderse a otros casos. Por ejemplo, pueden montarse epiciclos menores
sobre el epiciclo mayor de cada planeta, y pueden añadirse también a la Luna.
De este modo, como demostró Apolonio de Perga hacia el 180 a.C., se obtiene una
gran variedad de órbitas que permiten re nar el sistema y mejorar el acuerdo con
las observaciones (ver sección 10.9 del apéndice). Equipado con estas herramientas,
Hiparco emprendió con decisión el primer camino que mencionaba Hoyle: la mejora
de la exactitud de las predicciones. Tras él, la astronomía geocéntrica no sólo era más
verosímil físicamente, sino más exacta. La autoridad de Hiparco, considerado como el
más grande astrónomo de la Antigüedad, selló el consenso a favor del geocentrismo,
y sus sucesores prosiguieron en la misma línea, que alcanzó su punto culminante en
Ptolomeo.
Ptolomeo: la cumbre de la astronomía antigua
Entre Hiparco y Ptolomeo transcurren algo más de trescientos años. Se conserva
poco de los trabajos astronómicos de esa época, quizá porque el inmenso prestigio
5.3 La consagración del viejo orden 109
que alcanzó la obra cumbre de Ptolomeo, el Almagesto, borró del mapa los textos
anteriores.
Ptolomeo utilizó con gran habilidad todas las construcciones geométricas introducidas
por Apolonio e Hiparco, y añadió algunas más. Podemos ver un ejemplo
de su modo de trabajar en la explicación que dio al movimiento de los planetas
exteriores (Figura 5.11). El planeta P gira en un epiciclo cuyo centro C se mueve
sobre una excéntrica con centro O, algo alejado de la Tierra T. Ptolomeo combina,
pues, epiciclo y excéntrica, que habíamos visto utilizados por separado en Hiparco.
Pero introduce una novedad más radical. Hasta entonces, todos los movimientos circulares
utilizados por los astrónomos eran uniformes: el segmento que unía el centro
del círculo con el punto en movimiento recorría ángulos iguales en tiempos iguales.
Pero en la construcción de la Figura 5.11 quien recorre ángulos iguales en tiempos
iguales no es el radio OC sino el radio EC, que une el planeta con un punto E,
situado a la misma distancia del centro de la órbita que la Tierra, pero en el lado
opuesto. A este punto lo llamó Ptolomeo punto ecuante.
O T
E
C
P
q
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Figura 5.11: La construcción de Ptolomeo para un planeta exterior. El radio EC gira a velocidad
angular constante. Los segmentos OE y OT son iguales.
El problemático ecuante
Con la utilización del ecuante se conseguía una exactitud sin precedentes en la
descripción de los movimientos planetarios, pero a costa de abandonar la tradición,
que se remontaba a Platón, de usar sólo movimientos circulares uniformes. Decir
que el movimiento del punto C en la Figura 5.11 es uniforme respecto al ecuante
no deja de ser forzar el concepto de uniforme más allá de lo razonable. Esto lo vio
con claridad Copérnico:
[Las teorías de Ptolomeo]…sólo resultaban satisfactorias al precio de
tener asimismo que imaginar ciertos ecuantes, en razón de los cuales el
planeta parece moverse con una velocidad siempre uniforme, pero no
110 5. El Cielo, de Aristóteles a Copérnico
con respecto a su deferente ni tampoco con respecto a su propio centro.
Por este motivo una teoría de estas características no parece ni
su cientemente elaborada ni tan siquiera su cientemente acorde con la
razón.
Quizá al lector le suene esta última frase: en esta identi cación de movimiento
circular y uniforme con movimiento acorde con la razón encontramos un clarísimo
eco de Platón (cf. pg. 56).
En efecto, Copérnico era un neoplatónico. Nacido en Torun (perteneciente hoy a
Polonia) en 1473, fue de joven a Italia a estudiar derecho y medicina, y allí conoció
la obra de los humanistas del siglo XV como Marsilio Ficino y Pico della Mirandola.
Estos autores habñían adoptado la fe, de origen pitagórico pero arraigada después en
el platonismo, en que la esencia de la naturaleza se revela en regularidades matemáticas
y geométricas simples. Se inició en la astronomía con Domenico da Novara, y a
su vuelta a Polonia consagró todo el tiempo libre que le dejaban sus obligaciones de
canónigo y administrador de la diócesis (además de médico y diplomático ocasional)
a la reforma de la astronomía.
Copérnico no perdonaba a Ptolomeo que, al introducir el ecuante, hubiera abandonado
los movimientos circulares y uniformes prescritos por Platón. Esto es lo
que motivó su búsqueda de un sistema de círculos más racional, esto es, libre de
ecuantes. En el próximo capítulo veremos como la devoción de Copérnico por el
sistema de ideas de la Antigüedad puso en marcha uno de los procesos más sorprendentes
de la historia de las ideas; un proceso que tuvo el paradójico efecto de tirar
por tierra todo el hermoso edi cio conceptual que él veneraba.
Capítulo 6
Una revolución paradójica
Era el girar del Universo quicio
basado en nuestra Tierra; el contraste
del Hombre Dios y de su sacri cio.
Copérnico, Copérnico, robaste
a la fe humana su más alto o cio,
y diste así con su esperanza al traste.
Miguel de Unamuno
El nombre de Copérnico es uno los más conocidos de toda la historia de la
ciencia. Y el logro que le hizo inmortal es uno de los más concretos y sencillos de
entender: demostró que la Tierra gira alrededor del Sol. Pero cuando empezamos a
entrar en los detalles de la famosa Revolución Copernicana, las cosas dejan de ser
tan sencillas. Copérnico no fue el primero: Aristarco se le anticipó mil ochocientos
años. Pero, como hemos visto, su modelo no fue aceptado, y por muy buenas razones.
¾Por qué retomó Copérnico ese modelo fracasado?¾Y cómo consiguió que, ahora sí,
se aceptara universalmente?
Responder a estas preguntas no es fácil, y requiere varios tipos de argumentos.
Pero quizá el más importante es uno de tipo técnico, y vamos a empezar por él.
6.1. Qué hizo realmente Copérnico
Una de las razones para no aceptar el modelo de Aristarco era que sus predicciones
mostraban diferencias apreciables con las observaciones, cada vez mejores,
de que fueron disponiendo los astrónomos. Hiparco diseñó un modelo de epiciclos
mucho más preciso, que fue adoptado virtualmente por todos, y fue perfeccionado
luego por Ptolomeo. Pero hay que recalcar que consiguió esta precisión modi cando
el modelo básico, añadiéndole excéntricas y epiciclos menores.
Por otra parte, como ya hemos visto, el modelo básico, que usa sólo epiciclos
mayores, es geométricamente equivalente al modelo de Aristarco . Así que cabía la
posibilidad de mejorar la precisión del modelo de Aristarco añadiéndole excéntricas
y epiciclos menores. Pero no era una posibilidad muy atractiva. Añadir epiciclos
111
112 6. Una revolución paradójica
menores, como hizo Hiparco, a un sistema que se basa en los epiciclos mayores,
puede ser una solución natural. Pero añadir epiciclos a un sistema que precisamente
se había desarrollado para evitarlos no parece tener mucho sentido. No es de extrañar
que nadie en la Antigüedad lo intentara. Y sin embargo, eso es precisamente lo que
hizo Copérnico. Esquemáticamente podemos escribir:
Copérnico = Aristarco + epiciclos menores
Al añadir epiciclos menores al modelo de Aristarco, Copérnico alcanzó, como era
de esperar, una calidad predictiva similar a la de modelo de Ptolomeo. La Figura
6.1 muestra la construcción básica que utilizó Copérnico (aunque para lo que sigue
no es necesario entender los detalles, sí puede apreciarse que no era un esquema
precisamente sencillo).
K S
P
L
q
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Figura 6.1: La construcción de Copérnico para un planeta exterior. El centro de la deferente
(K)
es el centro de la órbita terrestre. El planeta va montado en un pequeño epiciclo de radio
LP=KS/3,
que gira a igual velocidad angular que KL (medida respecto de KL; es decir, estamos en el caso
!2 = !1 de la gura 10.8 del apéndice). En comparación con la construcción de Ptolomeo (Figura
5.11), KL = OC, la velocidad angular de KL es igual a la de EC, y la distancia KS = (3=2)OT.
Se han dihujado dos posiciones adicionales del planeta para apreciar mejor el efecto del
epiciclo.
De modo que Copérnico no sólo no eliminó los epiciclos, sino que se los añadió
a un modelo que no los tenía. Probablemente esto resulte sorprendente, porque en
multitud de libros se dice que el sistema copernicano era mucho más sencillo que el
sistema tolemaico. No es cierto. En palabras de Otto Neugebauer,
La creencia popular de que el sistema heliocéntrico de Copérnico constituye
una simpli cación signi cativa del sistema tolemaico es obviamente
errónea. La elección de sistema de referencia no puede tener efecto alguno
en la estructura del modelo, y los modelos copernicanos requerían
del orden del doble de círculos que los tolemaicos, siendo mucho menos
elegantes y adaptables.
6.2 Un realista platónico 113
Los autores que hablan de la sencillez del sistema de Copérnico seguramente no
han leído su obra, aunque es disculpable: De revolutionibus orbium coelestium es un
libro tan confuso que nadie tiene claro cuantos círculos utiliza realmente…
En resumen, desde el punto de vista técnico de la astronomía, el mérito de
Copérnico fue conseguir, por primera vez, un sistema heliocéntrico con una precisión
tan buena como el sistema geocéntrico de Ptolomeo, y hacerlo además sin utilizar
ecuantes (a eso se debe que necesitara más círculos, pues, como hemos visto en la
Figura 6.1, consiguió el efecto del ecuante añadiendo epiciclos menores).
Se trata de un logro importante, pero no parece razón su ciente para que su
sistema prevaleciera sobre el de Ptolomeo: desde un punto de vista astronómico,
seguía sin ser un sistema claramente superior. Y, sobre todo, tenía el problema de
que, contra toda evidencia física, ponía a la Tierra en movimiento.
Si el mérito astronómico del nuevo sistema no bastaba para explicar su
aceptación, tendremos que buscar otras razones. Pero antes vamos a empezar por
las razones que tenía el propio Copérnico para formularlo.
6.2. Un realista platónico
La razón inmediata que llevó a Copérnico a plantearse la reforma de la astronom
ía tolemaica la hemos explicado al nal del capítulo anterior: su desacuerdo
con la utilización del ecuante, que introducía un movimiento que no era circular y
uniforme. Pero en el disgusto de Copérnico con la vieja astronomía había algo más
que su adhesión a los preceptos platónicos. Para explicarlo, necesitamos hacer una
digresión histórica y losó ca.
Instrumentalismo y realismo
Cuando Copérnico comenzó su trabajo, la astronomía europea acababa de recuperar,
después del largo periodo medieval, el nivel que alcanzó con Ptolomeo. La
recuperación fue posible gracias a que los astrónomos árabes conservaron la tradición
de la astronomía griega durante la Edad Media (no es casualidad que Almagesto sea
una palabra árabe, que signi ca el más grande). A partir del siglo XII, se tradujeron
al latín muchas obras árabes y griegas, y el conocimiento antiguo volvió a estar al
alcance de los estudiosos europeos.
Pero, en realidad, los griegos habían legado dos tradiciones astronómicas: la de
las esferas y la de los epiciclos. Ya vimos que el modelo de epiciclos era, desde
el principio, menos atractivo físicamente que el modelo de esferas homocéntricas
de Eudoxo, pero los astrónomos lo adoptaron porque sus predicciones eran mucho
mejores. Con el tiempo, la mayoría acabó despreocupándose del mecanismo físico que
pudiera producir ese movimiento y se acostumbró a acumular círculo sobre círculo
para re nar las predicciones. Sin embargo, a la hora de explicar la constitución y la
estructura del universo, seguía sin haber un modelo mejor que el de Aristóteles, que
utilizaba las esferas homocéntricas. Se consolidó así el divorcio entre la astronomía
(encargada de predecir las posiciones de los astros) y la cosmología (encargada de
explicar cómo es el mundo) que mencionábamos al principio del capítulo anterior.
114 6. Una revolución paradójica
La cosmología de Aristóteles daba una cumplida explicación física de la estructura
del universo, pero no predecía bien los fenómenos celestes. La astronomía de
Ptolomeo era mucho más precisa en sus predicciones, pero, en palabras de Copérnico,
no dice nada sobre la forma del mundo y la simetría de sus partes. Varios
astrónomos, sobre todo árabes, habían intentado armonizar esferas y epiciclos en una
sola teoría, pero sin mucho éxito. Generalmente acabó considerándose la maquinaria
tolemaica como una mera hipótesis, un procedimiento matemático de cálculo que
no implicaba que los epiciclos menores, excéntricas, etc, tuvieran existencia real: se
trataba sólo de arti cios útiles.
Esta actitud se llama, en términos losó cos, instrumentalismo: nuestras teorías
son construcciones que sirven para resumir los datos conocidos y predecir otros
nuevos, pero no nos dicen cómo es el mundo en realidad. Retomando nuestra discusi
ón sobre las teorías de la sección 2.3 (pg. 53), diríamos que un instrumentalista
considera que las buenas teorías son útiles y entretenidas, pero no se plantea que
sean verdad. Desde la época helenística esta fue en la práctica la losofía de los
astrónomos. La expresión salvar los fenómenos (pg. 57) que para Platón resumía
la tarea del astrónomo y signi caba simplemente dar cuenta de los hechos, acabó
tomando el signi cado de salvar las apariencias, sin preocuparse de su razón de
ser.
Copérnico no aceptaba esta actitud. Filosó camente era realista: una buena
teoría nos dice cómo es el mundo en realidad. Y esto nos da otra clave para entender
su aversión al ecuante. Los movimientos circulares y uniformes tienen una
interpretación realista muy sencilla: son el resultado del giro de una esfera. Por
complicada que sea la danza de los planetas, siempre podemos imaginar un sistema
mecánico que la realice, una especie de mecanismo de relojería con muchos engranajes.
Pero ¾qué engranajes pueden realizar el movimiento no uniforme que implica el
ecuante?
Copérnico era, además, como ya dijimos, platónico: para él, la esencia de la
naturaleza es geométrica, y sólo el movimiento perfecto, circular y uniforme, puede
estar de acuerdo con la razón.
El malestar en astronomía
El sistema tolemaico era insatisfactorio losó camente para Copérnico, pero
había otras razones para la insatisfacción, razones que podían compartir todos los
astrónomos de la época, aunque no fueran platónicos ni realistas.
La astronomía que habían recibido en herencia los europeos parecía mucho menos
coherente en el siglo XV que en la época de Ptolomeo. Los astrónomos árabes
hicieron bastantes aportaciones originales, pero ninguno de los sistemas que propusieron
logró imponerse a los demás. El resultado fue que cuando Copérnico empez
ó a estudiar astronomía ya no había un sólo sistema tolemaico sino más de una
docena, y no estaba claro qué técnicas se podían usar y cuales no.
Además, ninguno de esos sistemas daba resultados su cientemente buenos. Los
errores de las predicciones astronómicas son acumulativos con el tiempo, y discrepancias
que eran pequeñas en tiempos de Ptolomeo resultaban considerables trece
siglos después. A esto había que añadir que muchos datos acumulados durante esos
6.3 ¾Triunfó Copérnico? 115
siglos eran erróneos, y no había manera de saber si el error estaba en la observación
o en la teoría.
No es extraño, pues, que hubiera motivos para intentar reformar la astronomía. Y
es natural que Copérnico, dadas sus creencias losó cas, pensara que la raíz de todos
los males tenía que estar en el abandono de los movimientos circulares y uniformes.
Su sueño era reformar a Ptolomeo para volver a la pureza original que predicó
Platón, y es signi cativo que la estructura de su gran obra, De revolutionibus orbium
celestium, está calcada del Almagesto, capítulo por capítulo, teorema por teorema
y tabla por tabla, pero, eso sí, sin un sólo ecuante. Nunca hubo un revolucionario
más conservador que Copérnico.
6.3. ¾Triunfó Copérnico?
Hasta aquí hemos intentado aclarar cuales fueron los motivos de Copérnico y en
qué consistió su aportación. Queda por responder a la cuestión de cómo consiguió
que se aceptara su sistema.
A esto podemos dar una respuesta sencilla: no lo consiguió. Se suele pensar que
toda Europa (salvo los reaccionarios enquistados en la Iglesia Católica) se rindió
de la noche a la mañana a la evidencia del copernicanismo. No fue así. Los propios
astrónomos que adoptaron los procedimientos de Copérnico generalmente lo hicieron
a título de hipótesis de cálculo: justamente lo que disgustaba al realista Copérnico.
Salvo un pequeño grupo de entusiastas que incluía a Rheticus, Thomas Digges,
Michael Maestlin y pocos más, todos siguieron defendiendo que, de hecho, la Tierra
está inmóvil.
He aquí la opinión del astrónomo inglés Thomas Blundeville, típica de la época:
Copérnico a rma que la Tierra gira y que el Sol está inmóvil en medio
de los cielos, hipótesis falsa con cuya ayuda ha llevado a cabo
demostraciones sobre los movimientos y revoluciones de las esferas
celestes mucho más ajustadas a la verdad que todas las que se habían
efectuado anteriormente.
Esta a rmación parece hoy una boutade pero seguramente no les sonaba así a
unos astrónomos que llevaban quince siglos acostumbrados a salvar las apariencias.
Cuando en 1543 se publicó la gran obra de Copérnico, De revolutionibus orbium
coelestium, a todos les pareció una posibilidad natural tomar su sistema astronómico
como una hipótesis más. Además, el libro iba precedido de un prólogo en el que
se recomendaba precisamente esto:
[...] No es necesario que estas hipótesis sean verdaderas, ni siquiera que
sean verosímiles, sino que basta con que muestren un cálculo
coincidente con las observaciones [...] Ofreciéndose varias hipótesis
sobre uno sólo y el mismo movimiento (como la excentricidad y el
epiciclo en el caso del movimiento del Sol) el astrónomo tomará aquella
mucho más fácil de comprender [...] Por tanto, permitamos que
también estas nuevas hipótesis se den a conocer entre las antiguas, no
116 6. Una revolución paradójica
como más verosímiles, sino porque son al mismo tiempo admirables y
fáciles y porque aportan un gran tesoro de sapientísimas observaciones.
Y no espere nadie, en lo que respecta a las hipótesis, algo cierto de la
astronomía, pues no puede proporcionarlo; para que no salga de esta
disciplina más estúpido de lo que entró, si toma como verdad lo
imaginado para otro uso.
He aquí, en pocas líneas, una contundente a rmación del instrumentalismo. Pero
¾es posible qua escribiera esto Copérnico? Muchos lectores de De revolutionibus sin
duda lo pensaron, pero este prólogo, que apareció sin rma, no fue escrito por él.
Fue añadido por Andreas Osiander, un teólogo protestante que revisó la edición, a
n de hacer más aceptable al público el libro. No sabemos si Copérnico, que estaba
en su lecho de muerte cuando se imprimió su obra, llegó a leerlo, pero, si lo hizo,
puede que el disgusto acelerase su agonía…
De revolutionibus era un tratado muy técnico que sólo podía ser entendido por
un puñado de astrónomos (el historiador O. Gingerich ha estimado que poco más
de una docena). Este carácter sumamente técnico, y la tradición de considerar estos
trabajos como meras hipótesis matemáticas, hizo que nadie en su día lo considerase
revolucionario. Poco a poco su sistema fue adoptado por algunos astrónomos
porque, pese a su gran número de círculos, al utilizar sólo movimientos circulares y
uniformes su manejo era más práctico que el del sistema tolemaico. Así, en 1551,
Erasmo Reinhold publicó unas nuevas tablas astronómicas, conocidas como Tablas
Prusianas, en la que las posiciones de los cuerpos celestes se habían calculado con
los métodos copernicanos. Pronto se reconoció que eran muy superiores a las clásicas
Tablas Alfonsinas , recopiladas en la corte de Alfonso X el Sabio, que habían sido las
más extendidas desde el siglo XIII.
Conviene hacer aquí un inciso para aclarar una cuestión. Hemos dicho que la
precisión del modelo de Ptolomeo era del mismo orden que la de Copérnico. ¾De
dónde sale, entonces, la superioridad predictiva de éste? De un inesperado efecto del
heliocentrismo. Resulta que en el sistema solar las órbitas de los planetas no están
todas exactamente en el mismo plano, sino que hay una ligerísima inclinación entre
ellas. En un sistema geocéntrico como el de Ptolomeo, los planos de las órbitas pasan
todos por la Tierra, mientras que en un sistema heliocéntrico como el de Copérnico
pasan por el Sol, que es lo que ocurre en la realidad. Las desviaciones de los planetas
por encima o por debajo de la órbita terrestre se describen por eso mucho mejor en
el modelo de Copérnico.
Pros y contras
Es sin duda irónico que la obra de un realista como Copérnico ganara la
aceptación de los astrónomos gracias a que se hizo de ella una interpretación instrumentalista.
Pero lo cierto es que a mediados del siglo XVI había poca evidencia
que respaldara el movimiento de la Tierra. A favor del sistema copernicano se podía
decir que mejoraba ligeramente la precisión del tolemaico y que era de uso más
conveniente, ventajas que fueron pronto apreciadas por los astrónomos. También
podemos señalar que:
6.3 ¾Triunfó Copérnico? 117
Su explicación cualitativa de los movimientos de los planetas, y en especial de
las retrogradaciones, era mucho más sencilla que la de Ptolomeo (sin embargo,
la explicación cuantitativa reintroducía los epiciclos y perdía esa sencillez)
No tenía mecanismos ad hoc como tenía el sistema tolemaico. Recordemos (pg.
101) que Ptolomeo tenía que imponer que el centro del epiciclo de los planetas
interiores permanecía siempre alineado con el Sol, y que en los planetas exteriores,
el radio del epiciclo se mantenía paralelo a la dirección del Sol. No había
nada en el sistema que obligara a que esto fuera así, pero había que imponerlo
para que se ajustaran los datos.
Si admitimos que el orden de los planetas viene dado por la duración de sus
periodos (como se venía haciendo desde Eudoxo), el sistema de Copérnico
permite calcular todos los tamaños relativos de las órbitas a partir de las
observaciones (el método es básicamente el expuesto en la pg. 95 para el modelo
de Heráclides).
En esta última cuestión es instructivo el contraste con el sistema tolemaico. En
éste, los tamaños de las distintas órbitas son independientes y pueden tener cualquier
valor: las observaciones sólo nos dicen la proporción entre epiciclo y deferente para
cada una (ver pg. 98). Generalmente, esta indeterminación se suplía suponiendo
que las esferas estaban en contacto y tenían el espesor necesario para acomodar el
epiciclo. Así podían calcularse las distancias a los planetas, pero se había introducido
otra hipótesis ad hoc. Este es un ejemplo de lo que para Copérnico era la mayor
virtud de su sistema frente al de Ptolomeo (aparte de sus movimientos circulares y
uniformes): que tiene un carácter mucho menos arbitrario, más necesario.
Pero difícilmente podemos decir que esto es una evidencia a favor de Copérnico.
Se trata de virtudes que son, en de nitiva, de carácter estético. No eran su cientes
para convencer a alguien que no tuviera la pasión por la armonía matemática que
tenía Copérnico. Igual que, por otra parte, no convencieron a los griegos de la época
de Aristarco, pues todas estas virtudes estéticas ya estaban presentes en su modelo,
aunque ciertamente sin la calidad predictiva que alcanzó Copérnico.
Problemas físicos y observacionales
Frente estas virtudes estéticas, estaba el hecho cierto de que el modelo de Copérnico
era incompatible con la física de la época:
El movimiento de la Tierra va en contra de los sentidos; debería dejar atrás a
los pájaros y las nubes, y no se entiende cual puede ser su causa: ¾qué fuerza
descomunal puede poner a girar a un cuerpo tan enorme como la Tierra?
No se entiende tampoco por qué, si todos los planetas giran en torno al Sol,
la Luna lo hace en torno a la Tierra.
Al abandonar el geocentrismo nos vemos obligados a buscar una nueva explicaci
ón de la gravedad. Para Aristóteles, una piedra caía por su tendencia,
como cuerpo pesado, a buscar el centro del universo. Pero ahora el centro del
universo está en el Sol, y las piedras siguen cayendo al centro de la Tierra.
118 6. Una revolución paradójica
En el prólogo a De revolutionibus, Copérnico intentó responder a estos problemas.
Adujo, por ejemplo, que para una esfera la rotación es un movimiento natural y,
por tanto, no requiere una fuerza; que la gravedad no es una tendencia hacia el centro
del universo sino una tendencia de la materia a agruparse con la materia similar,
de modo que cada planeta actúa como un centro para la gravedad de sus objetos,
etc. Pero estos argumentos estaban insu cientemente desarrollados y no resultaban
convincentes.
Finalmente, existía una poderosa razón para no abandonar el geocentrismo:
no había ninguna observación astronómica que no se explicara con el modelo de
Ptolomeo y sí se explicara con el de Copérnico. Al contrario, de haber alguna evidencia
observacional, era más bien en contra de Copérnico. Se trata de una objeción
contra el movimiento de la Tierra que se remonta a Aristóteles, y que podemos entender
con un sencillo experimento. Extendamos el brazo y levantemos un dedo. Si
ahora guiñamos alternativamente uno y otro ojo, veremos que la posición del dedo
contra el fondo cambia. Este desplazamiento aparente se llama paralaje, y es tanto
mayor cuanto más cercano a los ojos ponemos el dedo. Imaginemos ahora que el
dedo es una estrella y que los dos ojos son dos posiciones de la Tierra. Según esto,
si la Tierra se mueve la posición de las estrellas jas debería cambiar ligeramente
según se vieran desde un extremo u otro de la órbita de la Tierra.
Pero este desplazamiento no se observaba. La única justi cación que podía dar
Copérnico era que la distancia a las estrellas es tan sumamente grande que el tamaño
de la órbita de la Tierra es, en comparación, despreciable, y la paralaje es por eso
muy pequeña. Por supuesto, hoy sabemos que esa es la explicación correcta, pero en
el siglo XVI no parecía muy convincente, sobre todo porque colocar las estrellas tan
lejos creaba un enorme vacío entre su esfera y la de Saturno, sin ninguna nalidad
aparente…
La paralaje de las estrellas no se midió hasta 1834 (por el astrónomo y matemático
alemán F.W. Bessel), y no es extraño por eso que los estudiosos sensatos de mediados
del siglo XVI pre rieran tener los pies en una Tierra rmemente aristotélica.
En palabras del historiador Daniel Boorstin:
Cuanto más nos familiarizamos con la era de Copérnico, vemos con
mayor claridad que los que no se dejaban convencer por él simplemente
demostraban sensatez. Las pruebas de que se disponía no exigían una
revisión del sistema. Habrían de pasar varias décadas para que los
astrónomos y matemáticos reunieran nuevos datos y hallaran nuevos
instrumentos, y al menos un siglo para que los legos se convencieran de
lo que era contrario al sentido común.
Copérnico, el insensato
Fue precisamente por sensatez por lo que nadie antes de Copérnico se atrevió con
la gigantesca tarea de crear un sistema astronómico heliocéntrico completo, acabado
con todo detalle. Si Copérnico lo hizo fue seguramente porque no supo calibrar
los problemas físicos que planteaba su sistema. Por ejemplo, mantuvo las esferas
celestes, una para cada planeta (aparecen en el propio título de su obra: orbium no
6.4 Las esferas se resquebrajan 119
signi ca órbita, sino orbe, es decir, esfera). Esto era posible porque en su modelo las
trayectorias de los planetas no se cruzaban (como ocurría, por ejemplo, en el modelo
de Heráclides, y como ocurriría más tarde en el de Brahe). Pero ¾qué sentido tiene
que la Tierra esté ahora en una de las esferas? Para el aristotelismo esto plantea una
serie inacabable de problemas: ¾de qué materia son entonces las esferas? Si no son
de éter, su movimiento natural debería ser rectilíneo; entonces, ¾por qué giran?¾Y
cómo es posible que la materia terrestre gire en la esfera pero a la vez caiga hacia el
centro de la Tierra?
Alguien más consciente de la profunda interrelación del cosmos de Aristóteles
se habría dado cuenta de que el heliocentrismo, irremediablemente, lo iba a hacer
saltar por los aires, y habría vacilado antes de dar ese paso. Pero para Copérnico, la
precisión y la armonía matemática eran lo único que contaba. Como señala Kuhn,
este sentido de los valores parecería estrecho y distorsionado a alguien con una visión
más amplia, pero quizá tal estrechez de miras era lo que hacía falta para lanzarse
a proponer con tan meticuloso detalle un sistema incongruente físicamente. Esa
insensatez fue la gran contribución de Copérnico.
6.4. Las esferas se resquebrajan
Copérnico murió en 1543, coincidiendo con la publicación de De revolutionibus.
Prácticamente nadie adoptó entonces el heliocentrismo. Pero cuando, casi exactamente
cien años más tarde, en 1642, moría Galileo, el geocentrismo era ya una
postura marginal.
Tres personas habían sido claves para dar la vuelta a la situación. Uno de ellos,
sin duda el más célebre, fue el propio Galileo. Pero antes de estudiar su trabajo,
vamos a explicar qué hicieron los otros dos: Tycho Brahe y Johannes Kepler.
Tycho Brahe
Tycho Brahe era un noble danés que desde muy joven sintió un gran interés
por la astronomía. Parece que lo que decidió su vocación fue un eclipse de Sol que
presenció a los catorce años. Pero lo que impresionó al joven Tycho, más que el
propio eclipse, fue que los astrónomos fueran capaces de predecirlo. Pronto destacó
y llegó a ser el astrónomo más célebre de su época, alineando su nombre con los
de Hiparco, Ptolomeo o Copérnico. Pero, aunque no era un mal matemático, su
talento para la teoría quedaba lejos del de sus ilustres predecesores. Su genio era
de un tipo nuevo: una habilidad inigualable para la observación exacta. Y ese era
justamente el talento que estaba necesitando la astronomía. Copérnico había perdido
años intentando hacer cuadrar datos equivocados. Durante casi un cuarto de siglo,
en su castillo-observatorio de Uraniborg, Tycho Brahe se dedicó a obtener datos
correctos.
Las mejores observaciones de que disponía Copérnico tenían unos errores del
orden de diez minutos de arco (un minuto de arco es el la sexagésima parte de un
grado; diez minutos equivalen al tamaño aparente de una moneda de un euro vista
desde una distancia de ocho metros). Esta precisión no había mejorado desde los
120 6. Una revolución paradójica
tiempos de Hiparco. Brahe alcanzó una precisión de dos minutos de arco: la mejoró
en un factor cinco. Y, curiosamente, sin utilizar nuevos instrumentos: el telescopio
todavía no se había inventado. Brahe usaba los viejos cuadrantes, astrolabios y
esferas armilares, pero mejor construidos, con materiales más rígidos para que no se
deformaran, y de un gran tamaño, para tener mayor precisión en la determinación de
ángulos (uno de sus cuadrantes medía once metros y hacían falta cuatro manubrios
para accionarlo).
La mejora decisiva, sin embargo, estaba en el modo de usar esos instrumentos.
Brahe hacía observaciones continuas, a menudo diarias, de los planetas. Esta práctica,
que hoy nos parece natural, era nueva: los antiguos se limitaban a registrar
sus posiciones en unas pocas con guraciones importantes. Donde Brahe tenía una
película, ellos sólo disponían de unas cuantas fotos. En realidad, no necesitaban
muchas observaciones, porque sus modelos sólo empleaban círculos y un círculo queda
determinado por tres puntos. Pero cuando Kepler abandonó nalmente el molde
circular, sólo pudo llegar a una solución gracias a los datos de Brahe.
El sistema ticónico
Brahe no era partidario de Copérnico. Sabía que su modelo implicaba una paralaje
para las estrellas (pg. 118) y no había podido medirla. Aunque reconocía el
mérito de la supresión de los epiciclos mayores y del ecuante, no podía admitir el
movimiento de la Tierra, y eso le llevó a plantear su propio sistema:
Cuando re exioné sobre la reciente innovación de Copérnico (…), que
-pese a eliminar cuanto de super uo había en el sistema tolemaico,
corregir los resultados observacionales y no atentar en absoluto contra
los principios de las matemáticas- atribuía a la Tierra, cuerpo pesado,
perezoso y por naturaleza inmóvil, movimientos que nada tienen que
envidiar a los de esas luminarias etéreas (…) comencé seriamente a
pensar en la posibilidad de inventar un nuevo sistema que observara
rigurosamente los principios de las matemáticas y de la física, que no
tuviera que apelar a subterfugios para eludir las censuras teológicas y
que al mismo tiempo diese perfecta cuenta de los fenómenos celestes.
Brahe alude aquí a un problema de la teoría heliocéntrica que hasta ahora no
habíamos mencionado: la contradicción con las Sagradas Escrituras, en las que se
a rma repetidamente la inmovilidad de la Tierra. Este con icto, que inicialmente
se ignoró (baste recordar que Copérnico, que era canónigo, fue animado a publicar
su trabajo por el in uyente cardenal Nicolaus Schoenberg) estaba empezando a
adquirir importancia en la época de Brahe, y alcanzaría su clímax en el juicio a
Galileo, noventa años después de la muerte de Copérnico.
Más adelante volveremos a esta cuestión, en la sección 8.3. Aquí sólo nos interesa
señalar que, para Brahe, la interpretación instrumentalista que se hacía de Copérnico
era un subterfugio para eludir las auténticas consecuencias del heliocentrismo.
En el sistema que propuso, la Tierra está inmóvil en el centro, y la Luna y el Sol
giran a su alrededor. Pero los planetas giran en torno al Sol (Figura 6.2). En realidad,
ya nos habíamos encontrado este esquema como un paso previo al modelo
6.4 Las esferas se resquebrajan 121
de Aristarco (Figura 5.6 (c)) Cinemáticamente, es decir, en lo que concierne a los
movimientos relativos, el sistema es equivalente al de Copérnico. De hecho, es el
sistema de Copérnico visto desde la Tierra, de modo que, automáticamente, tiene
todas sus ventajas astronómicas: no hay manera, por principio, de que los movimientos
predichos por uno no sean predichos por el otro. Y al estar la Tierra inmóvil, no
tiene sus problemas físicos. No es extraño que tuviera, casi de inmediato, una gran
aceptación.
Figura 6.2: El sistema de Tycho Brahe, según una ilustración contemporánea
Pero que no tuviera los problemas de Copérnico no signi ca que no tuviera
problemas. No se ve la razón por la que habían de girar los planetas en torno al Sol
en lugar de hacerlo en torno al centro del universo (la Tierra), como hacen la Luna
y el propio Sol. Además, las trayectorias de algunos planetas (Venus, Mercurio y
Marte) cortan la trayectoria del Sol. Esto no signi ca que choquen con él, porque
los movimientos se coordinan de modo que nunca se encuentren, pero es incompatible
con las esferas (½tendrían que atravesarse!). Y si no hay esferas, ¾cual es la causa del
movimiento de los planetas?
Prodigios en los cielos
Seguramente Tycho Brahe no consideraba que romper con las esferas fuera un
defecto de su modelo. Tenía buenos motivos para abandonarlas. Había saltado a la
fama al comienzo de su carrera enfrentándose a Aristóteles, al demostrar que la nueva
estrella que súbitamente apareció en los cielos en noviembre de 1572 era realmente
una estrella. Cuando apareció, la nova tenía un brillo extraordinario, comparable
al de Venus, y se fue paulatinamente apagando hasta hacerse inobservable al cabo
de dieciocho meses. Semejante portento provocó una conmoción en toda Europa,
tanto entre los sabios como entre los legos: ½los cielos no eran inmutables! Pero ¾era
122 6. Una revolución paradójica
realmente una estrella? Varios astrónomos lo a rmaron, pero fue Brahe el que aportó
las pruebas más concluyentes: no sólo no se movía respecto de las demás estrellas,
sino que, por su paralaje inapreciable, tenía que estar más lejos que la Luna.
Brahe rea rmó su demostración de la mutablidad de los cielos con su detallado
estudio de seis cometas, entre 1577 y 1596. Para Aristóteles, los cometas, que son
esencialmente transitorios, sólo podían pertenecer a la esfera sublunar, y por eso los
consideró fenómenos meteorológicos. Brahe demostró, otra vez con medidas de paralaje,
que tenían que estar mucho más lejos. Sus observaciones implicaban, además,
una órbita muy oblicua, que atravesaría las esferas. Aristóteles quedaba, de nuevo,
desacreditado.
6.5. Kepler: el triunfo del Sol
Se ha dicho que Johannes Kepler era la persona más distinta a Tycho Brahe que
pudiera imaginarse. Si Brahe pertenecía a la más alta nobleza, era el señor feudal
de una isla entera y su castillo-observatorio era el asombro de Europa, Kepler era
hijo de un mercenario que abandonó el hogar, tuvo que defender a su madre en un
proceso por brujería, y nunca consiguió salir de la penuria, ni siquiera cuando alcanzó
fama como astrónomo. Pero sus vidas se encontraron durante los 18 meses en los
que Kepler trabajó como ayudante de Brahe, y ese encuentro cambió la astronomía
para siempre.
El maestro encargó al aprendiz un problema difícil: la determinación de la órbita
de Marte. Sus detalladas observaciones mostraban una discrepancia con los modelos
existentes de unos 8 minutos de arco. El error que molestaba a Brahe era del
tamaño de una moneda de un euro vista a 10 metros de distancia. Puede parecer
pequeño, pero sabía que sus medidas eran mucho más precisas (con errores de unos
dos minutos), y había que explicar esa desviación. En las palabras de Kepler:
La Divina Providencia nos ha provisto de un observador tan diligente
como Tycho, que sus observaciones evidenciaban en estos cálculos al
estilo tolemaico un error de 8 minutos. Es seguro que deberíamos aceptar
este regalo de Dios con una mente agradecida, pues 8 minutos no podían
ser ignorados, y esto sólo condujo a la reforma total de la astronomía.
Astronomia nova
Kepler, con un extraordinario talento matemático y una capacidad de trabajo
más extraordinaria aún, llegó a una solución seis años más tarde, cuando Brahe ya
había muerto, y dio a conocer sus resultados en el libro Astronomia nova, publicado
en 1609.
Podemos resumir su solución al problema de la órbita de Marte en dos leyes, que
son conocidas como primera y segunda ley de Kepler. Esas leyes eran válidas para
todos los planetas, no sólo para Marte, y resultaron ser exactas: después de más
de dos mil años desde el primer intento de solución de Eudoxo, el problema de los
planetas se había resuelto. Las dos leyes dicen (ver Figura 6.3):
6.5 Kepler: el triunfo del Sol 123
1. Las órbitas de los planetas son elipses, en uno de cuyos focos está el Sol.
2. En el movimiento del planeta, el segmento que lo enlaza con el Sol barre áreas
iguales en tiempos iguales.
(para la de nición de elipse y foco, ver sección 10.10 en el Apéndice).
P
P’
Q
Q’
Figura 6.3: Primera y segunda leyes de Kepler. El Sol está en el foco de la izquierda; las dos
regiones rayadas tienen áreas iguales y por tanto el tiempo que invierte el planeta en ir de P
a P’
es el mismo que invierte de Q a Q’
La solución de Kepler era maravillosamente sencilla: dos leyes que caben en dos
líneas, en vez del inacabable fárrago de círculos de Ptolomeo o Copérnico. Funcionaba,
además extraordinariamente bien. Y suponía un salto conceptual vertiginoso, al
abandonar el movimiento circular que todo el mundo había considerado perfecto e
inevitable durante casi dos mil años.
El salto era muy audaz no sólo en el plano losó co, sino también desde el punto
de vista puramente físico. Hasta entonces, cuando se hablaba del mecanismo de
movimiento de los planetas, la palabra se entendía de un modo bastante literal: un
dispositivo mecánico que pudiera producir ese movimiento. Mientras el movimiento
fuera una combinación de círculos descritos a velocidad uniforme, era sencillo concebirlo.
Pero ¾qué engranajes pueden hacer que un objeto se mueva como los planetas
de Kepler?
Para responder a esta pregunta tuvo que empezar a pensar de un modo nuevo.
Inspirado por el magnetismo, que había sido estudiado recientemente por William
Gilbert, Kepler imaginó que los planetas eran movidos por el Sol mediante una fuerza
que actuaba a distancia. La naturaleza de esta fuerza era bastante misteriosa, aunque
Kepler consideraba que emanaba del Sol en forma de una especie de rayos giratorios.
Cómo podía producir esa fuerza solar un movimiento elíptico de velocidad variable
era algo incomprensible para Kepler, y lo fue para todo el mundo hasta que Newton
publicó en 1687 sus Principia (y, como dijo Alexander Pope, todo fue luz, ver
sección 9.3).
124 6. Una revolución paradójica
De como muchos errores dan un gran acierto
Pero las especulaciones de Kepler sobre fuerzas a distancia no fueron en absoluto
estériles. En realidad, sólo pudo llegar a sus leyes gracias a ellas. Los datos, aunque
fueran los excelentes datos de Brahe, nunca hubieran bastado. Podemos resumir el
razonamiento de Kepler en cuatro pasos:
1. Ante todo, no tenía el concepto de inercia, así que necesitaba que una fuerza
arrastrara constantemente al planeta a lo largo de su órbita. Había observado
que los planetas se movían más rápido cuando estaban cerca del Sol, y más
despacio cuando estaban más lejos. Esto parecía indicar que la fuerza emanaba
del Sol, e iba perdiendo intensidad según se difundía por el espacio, de modo
análogo a como ocurre con la luz.
Kepler sabía que la intensidad de la luz al propagarse por el espacio alejándose
de su fuente es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Esto es lógico porque la misma luz se reparte por esferas cuya super cie crece
con el cuadrado de la distancia. Pero consideraba que la fuerza sólo actuaba
en el plano de la órbita del planeta, y por eso pensó que sería inversamente
proporcional a la distancia y no a su cuadrado. En resumen, escribió que la
fuerza que actúa sobre el planeta es:
F /
1
d
En esta ecuación, / signi ca proporcional a y d es la distancia al Sol.
2. Consideramos ahora que el planeta va de un punto A a otro A’ a velocidad
v. El tiempo que emplea es t = AA0=v (en realidad, la velocidad irá variando,
pero podemos considerar un arco AA0 pequeño y tomar v como la velocidad
promedio).
Kepler, siguiendo a Aristóteles, suponía que la velocidad es proporcional a
la fuerza (es decir, v / F); pero si esta es inversamente proporcional a la
distancia, entonces también v / 1=d, así que llegamos a que
t = AA0
v / AA0 d
Según esto, el tiempo que el planeta invierte en recorrer un pequeño tramo
AA0 de su órbita es proporcional a la longitud de ese tramo y a la distancia al
Sol.
3. Kepler había obtenido así una regla sencilla pero poco práctica, porque sólo
sería cierta para un arco muy pequeño (por ejemplo, el recorrido por el planeta
en una hora). No valía para un arco grande (digamos, el recorrido en un mes
o dos, como el tramo PP0 en la Figura 6.3) porque d ya no es constante y el
recorrido ya no es un segmento recto.
Había aquí algo exasperante para Kepler: si su regla decía cómo se mueve el
planeta en una hora, también decía cómo se mueve el planeta en un mes, porque
un mes no es más que una sucesión de muchas horas. Toda la física estaba ya
6.5 Kepler: el triunfo del Sol 125
contenida en su regla: el problema era puramente matemático. Finalmente
creyó encontrar una salida. Al recorrer AA0 el planeta de ne un triángulo con
vértice en el Sol, cuyo área es
área=basealtura/2 =
AA0 d
2 / t
½el area es proporcional al tiempo! Si el planeta recorre un arco más largo,
podemos descomponerlo en tramos pequeños y cada tramo de nirá un triángulo
cuyo área será proporcional al tiempo. Entonces el área total de nida
por el planeta al ir de A a B será proporcional al tiempo empleado. En otras
palabras, el segmento que enlaza el planeta con el Sol barre áreas iguales en
tiempos iguales: esto es la segunda ley de Kepler.
Curiosamente, Kepler descubrió esta segunda ley antes que la primera. Pero no es
tan paradójico como puede parecer. Supongamos que tenemos el privilegio de hacer
desde el Sol nuestras observaciones de un planeta. Se mueve en una elipse que tiene
el foco en nosotros, con la velocidad variable que acabamos de describir. Pero lo
que nos proporcionan las observaciones son las posiciones del planeta sobre la esfera
celeste y esto son sólo ángulos. Y esos ángulos se pueden acomodar por casi cualquier
órbita, si esta se recorre con una velocidad adecuada (Figura 6.4). En realidad,
las observaciones tienen que ser completadas con una de las leyes, la primera o la
segunda, admitida previamente, para poder traducirse en una descripción completa
de las órbitas. Una vez que tenemos la ley de las áreas, son las observaciones las que
imponen que la órbita sea una elipse.
P2
P2’
Q2
Q2’
Q1’
Q1
P1’
P1
Figura 6.4: La órbita externa da las mismas posiciones sobre la esfera celeste que la interna,
si
se recorre con la velocidad apropiada para que el tiempo que transcurre entre puntos que
abarcan
el mismo ángulo (como P1 ! P01 y P2 ! P02) sea el mismo
Lo que sí es paradójico es el modo en que Kepler llegó a la ley de las áreas, porque
los cuatro pasos en que hemos descompuesto su razonamiento son todos erróneos:
1. La fuerza no actúa tangencialmente a la órbita.
2. La fuerza no decrece con la distancia, sino con su cuadrado.
126 6. Una revolución paradójica
3. Es la aceleración, no la velocidad, la que es proporcional a la fuerza.
4. No es cierto que el área del triángulo elemental sea AA0 d=2: la distancia d
sólo es la altura cuando el arco es perpendicular al radio, como pasa en una
circunferencia, pero en una elipse no es así más que en dos puntos, el más
cercano y el más lejano al Sol.
Sin embargo, maravillosamente, todos estos errores se cancelan para dar un resultado
correcto. Hace falta un genio como Kepler para escribir recto con renglones
tan torcidos.
La armonía del mundo
Kepler fue desde siempre un heliocentrista convencido, y seguramente en esta
convicción tuvo mucho que ver, como en el caso de Copérnico, su simpatía por
las ideas platónicas y pitagóricas. Creía que el mundo está regido por armonías
matemáticas, y en particular, que el movimiento de los cuerpos celestes producía
la música de las esferas. Igual que las longitudes y las tensiones de las cuerdas
de un instrumento musical bien a nado no pueden ser arbitrarias, así las distancias
entre los planetas y sus movimientos debían tener proporciones sencillas, semejantes
a los intervalos de las escalas musicales. Encontrar esa armonía de celeste fue la
motivación más profunda y constante del trabajo de Kepler.
Ya en su primera obra, Mysterium Cosmographicum, publicada cuando contaba
sólo 24 años, proponía una explicación geométrica de las órbitas de los planetas.
Dado que sólo se conocían seis planetas (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y
Saturno), había cinco intervalos entre ellos. Kepler pensó que seguramente no era
casualidad que hubiera precisamente cinco sólidos regulares (los solidos platónicos:
octaedro, icosaedro, dodecaedro, tetraedro y cubo). Y pensó en asociar cada uno de
esos sólidos a un intervalo entre planetas. Tras diversos tanteos, propuso un modelo
en el que cada sólido tenía una esfera inscrita y otra circunscrita, que estaba a su
vez inscrita en otro sólido más externo, etc. La primera esfera, (de Mercurio), estaba
inscrita en un octaedro; la siguiente (de Venus) era la esfera circunscrita al octaedro
y estaba inscrita en un icosaedro; la siguiente (de la Tierra) era la esfera circunscrita
al icosaedro e inscrita en el dodecaedro, y así sucesivamente ( gura 6.5).
Poniendo los sólidos en ese orden, conseguía reproducir razonablemente bien las
distancias de los planetas al Sol, con la precisión que se conocían entonces. La idea
era, por supuesto, puramente especulativa, y con el tiempo, el trabajo del propio
Kepler demostró que las distancias no se ajustaban tan bien, menos aún cuando
abandonó la idea de esferas celestes a favor de las elipses.
Pero la fe de Kepler en la armonía del sistema solar se mantuvo inquebrantable, y
25 años más tarde, en 1616, publicaba otro libro titulado precisamente Harmonices
Mundi, La armonía del mundo. Entre muchas ideas hoy olvidadas (por ejemplo,
la interpretación de las velocidades angulares de los planetas como tonos musicales,
y de sus proporciones como armonías), Kepler formulaba una nueva relación entre
las órbitas de los planetas, aunque esta vez involucraba sus periodos orbitales. Para
todos ellos se cumplía que el cubo del radio de la órbita dividido por el cuadrado
6.6 La aceptación del sistema de Kepler 127
Mysterium.pdf
Figura 6.5: (Izquierda) El modelo de Kepler para las esferas celestes usando los sólidos
platónicos,
publicado en Mysterium Cosmographicum (1596). Cada sólido platónico corresponde al intervalo
entre dos planetas. (Derecha) Detalle de las esfera interiores. La de la Tierra está entre el
icosaedro
y el dodecaedro.
del periodo tenía el mismo valor:
R3
T2 = cte
(para una órbita elíptica hay que poner el semieje mayor en lugar del radio). Esta
ecuación es lo que hoy llamamos tercera ley de Kepler. Finalmente, su búsqueda
de armonía había tenido éxito: este resultado, sencillo y sorprendente, nos dice que
hay una conexión entre los movimientos de los diferentes planetas. El sistema solar
funciona realmente como un sistema, sus planetas no se mueven independientemente,
hay un orden y una proporción entre sus distancias y sus periodos: una armonía de un
tipo inesperado y misterioso, que sólo Newton lograría descifrar en su obra magna,
los Principia Mathematica, setenta años más tarde.
6.6. La aceptación del sistema de Kepler
Astronomia nova, el libro en el que Kepler daba a conocer sus leyes primera
y segunda, fue publicado en el año 1609. Se trataba de un indiscutible triunfo en
el plano de la astronomía, y era inevitable que su sistema tuviera éxito entre los
astrónomos. Más aún cuando, tras años de extenuante trabajo, Kepler completó
unas tablas astronómicas basadas en sus leyes. Las Tablas Rudol nas, publicadas
en 1627, tenían una precisión muy superior a todo lo conocido hasta entonces, y
desplazaron en seguida a las Tablas Prusianas basadas en los métodos de Copérnico.
Pero ya sabemos que una cosa era adoptar el modelo como instrumento de cálculo
y otra creer que describe la realidad. El debate entre instrumentalismo y realismo
se agudizó ante las elipses de Kepler, porque planteaban problemas físicos aparentemente
insolubles. Copérnico tenía que explicar cómo era posible que la Tierra se
moviera, y Brahe, cómo podían moverse sus planetas si no había esferas. Kepler
tenía que explicar ambas cosas. Aunque en su sistema no se cruzan las órbitas, las
128 6. Una revolución paradójica
elipses no se pueden conseguir con una combinación de esferas, y esto nos deja sin
un mecanismo físico con el que explicar el movimiento de los planetas. Kepler no
tenía ninguna alternativa a la física aristotélica, y sus especulaciones sobre los rayos
magnéticos giratorios del Sol eran muy poco convincentes.
Al hecho de que los modelos heliocéntricos no se entendían físicamente, hay
que añadir que no había ninguna prueba directa a su favor. Veinte años después
de la publicación de Astronomia Nova, el modelo de Tycho Brahe siguiera siendo
el más popular, porque no ponía la Tierra en movimiento y era cinemáticamente
equivalente al de Copérnico. Mientras, los astrónomos utilizaban con entusiasmo las
Tablas Rudol nas, basadas en las elipses de Kepler.
La nueva losofía lo pone todo en duda
No es extraño que el público culto estuviera desconcertado. La vieja imagen del
mundo, el cosmos de Aristóteles en el que todo estaba perfectamente ordenado y
cada cosa tenía un objeto y función, estaba saltando por los aires, sin que nada
sólido la reemplazara. Hay un célebre poema de John Donne, escrito en 1611, que
lo expresa muy bien:
And New Philosophy calls all in doubt,
The Element of re is quite put out;
The Sun is lost, and th’ earth, and no man’s wit
Can direct him where to look for it (…)
‘Tis all in pieces, all coherence gone.
(Y la nueva losofía todo lo pone en duda / el elemento del fuego está casi extinguido
/ el Sol está perdido, y la Tierra, y ningún humano entendimiento / sabe decir dónde
ir a buscarlo … / Todo está en pedazos, toda coherencia perdida)
Ciertamente. el modelo de Kepler era bello matemáticamente y muy preciso
en sus predicciones. Pero estas virtudes sólo eran su cientemente atractivas para
astrónomos profesionales que además tuvieran una fuerte inclinación matemática.
Kepler creía apasionadamente en la realidad de su sistema. El resto de los humanos
estaba sumido en la confusión tan bien descrita por Donne, y necesitaba dos cosas:
nuevas teorías físicas que hicieran verosímil el movimiento de la Tierra y explicaran
el de los planetas en ausencia de esferas, y nuevas observaciones que con rmaran el
heliocentrismo. En este punto hizo su aparición Galileo Galilei.
Capítulo 7
Galileo: el primer cientí co moderno
El puro pensamiento lógico no puede brindarnos ningún conocimiento del
mundo empírico; todo conocimiento de la realidad comienza en la experiencia
y desemboca en ella. Las leyes descubiertas mediante el uso de la
lógica son completamente vacías en lo que respeta a la realidad. Galileo
comprendió esto y lo proclamó a voz en cuello en el mundo cientí co,
motivo por el cual se ha convertido en el padre de la física moderna y,
por cierto, de toda la ciencia moderna.
Albert Einstein
Hemos visto en los capítulos anteriores que la idea copernicana de que la Tierra
no está inmóvil sino que gira alrededor del Sol no resultó evidente ni fue aceptada
de inmediato. Y no por prejuicios o fanatismo, sino sobre todo porque se encontraba
con dos objeciones de peso: era físicamente inverosímil y no contaba con pruebas
observacionales.
Brahe había abandonado las esferas celestes, pero mantenía la Tierra
inmóvil en el centro del universo. Y aunque Kepler era decididamente heliocentrista,
su trabajo decisivo no se publicó hasta 1609, más de 65 años después del libro de
Copérnico, y aún entonces no tuvo excesiva repercusión. Eran tecnicismos para astr
ónomos, y los astrónomos llevaban siglos acostumbrados a usar como hipótesis de
trabajo cualquier teoría que sirviera para calcular, sin entrar en su realidad física.
Ese mismo año de 1609 Galileo empezó a mirar los cielos con su telescopio y
el problema dio un vuelco. En contra de lo que suele creerse, sus observaciones no
aportaron pruebas concluyentes, ni tampoco consiguió crear la nueva física que se
necesitaba para encajar el movimiento de la Tierra. Pero su trabajo fue decisivo en
los dos frentes, e inclinó la balanza de manera de nitiva. Si después de Copérnico lo
sensato era seguir siendo geocentrista, y después de Kepler era razonable mantener
la duda, después de Galileo seguir creyendo en una Tierra inmóvil empezaba a ser
un síntoma de obcecación.
Pero aún siendo esto de trascendental importancia, la mayor contribución de
Galileo fue probablemente otra. Con él nace una nueva manera de estudiar la naturaleza
y de concebir el conocimiento. Es fácil pasarlo por alto porque hoy estamos
tan acostumbrados a su punto de vista que lo encontramos natural, cuando no lo es
en absoluto. Es decisivo apreciar en qué consiste el enfoque de Galileo y cual es su
129
130 7. Galileo: el primer cientí co moderno
novedad; en primer lugar, para entender las di cultades que tuvieron sus contempor
áneos ante su trabajo y el mérito real que éste tuvo (y no convertir su caso, como
suele ocurrir, en un cuento de buenos y malos). Y en segundo lugar, y más importante,
para entender la ciencia, porque esa nueva manera de concebir el conocimiento
es precisamente la ciencia actual.
Para familiarizarnos con el enfoque de Galileo lo mejor es empezar por un problema
concreto, y seguramente el que resulta más instructivo de los que abordó es el
de la caída de los cuerpos.
7.1. Un problema de gravedad
Encontrar una alternativa a la física de Aristóteles se había convertido en una
necesidad urgente ante el desconcierto en el que las innovaciones de Copérnico,
Brahe y Kepler habían sumido a la losofía natural (recordemos a John Donne:
la nueva losofía todo lo pone en duda). Pero en realidad (ya lo vimos en la pg.
88) algunas de las conclusiones de Aristóteles habían resultado dudosas casi desde
el principio. Por ejemplo, para un objeto en caída libre predecía una velocidad
constante y proporcional al tamaño, lo que signi ca que, cayendo desde una misma
altura, una piedra diez veces más grande que otra debería tardar en caer diez veces
menos.
Muchos autores han contado que esto fue desmentido por Galileo de una manera
espectacular: dejando caer dos esferas de distinto peso desde la Torre Inclinada de
Pisa, que por supuesto llegaron al suelo a la vez, demostrando así de un golpe (nunca
mejor dicho) la falsedad de la dinámica aristotélica. Por ejemplo, en un libro popular
sobre Galileo leemos que:
Fue en Pisa donde Galileo hizo uno de sus experimentos más famosos,
dejando caer desde lo alto de la torre, al paso de un cortejo de
profesores, una bola de piedra grande y otra más pequeña, para
demostrar que la grande no caía más deprisa.
Como siempre ocurre con estas historias ejemplares, la realidad es más complicada,
y más interesante. No hay indicios de que Galileo subiera a la Torre de Pisa
para dejar caer ningún peso, y menos aún de que lo hiciera al paso de un cortejo de
profesores. Se duda incluso de que Galileo realizara algún experimento de este tipo.
Pero, en cualquier caso, lo que está bien documentado es que otros lo habían hecho
por él.
Ya en el siglo VI d.C., Juan Filopón de Alejandría escribió que si se dejan caer
dos cuerpos, uno pesado y otro ligero, la diferencia de sus tiempos de caída es mucho
menor que la diferencia de sus pesos. Por su parte, Simon Stevin, un cientí co e
ingeniero amenco algo mayor que Galileo, dejó caer varios pesos desde lo alto de
una torre, a cuyo pie había colocado una plancha metálica. Encontró que al soltar
simultáneamente dos bolas, una diez veces más pesada que la otra, desde 30 pies de
altura, el intervalo de tiempo entre los dos impactos era inapreciable. Stevin señaló
que este resultado era incompatible con la teoría de Aristóteles, pero no tenía una
explicación alternativa.
7.2 Techné versus episteme 131
Lo más curioso es que nalmente el experimento sí se realizó desde la Torre de
Pisa, en 1612, pero no por Galileo (que por entonces se había trasladado a Florencia),
sino por un profesor llamado Giorgio Coresio. Y, sorprendentemente, según su
análisis los resultados respaldaban a Aristoteles, pues los cuerpos pesados llegaban
en realidad un poco antes al suelo. Ante esta explicación, Galileo replicó indignado:
Aristóteles dice: una bola de hierro de cien libras, que cae desde una
altura de cien brazas, llega al suelo antes de que otra de una libra haya
podido recorrer una sola braza. Yo digo, sin embargo, que llegan al
mismo tiempo. Si hacéis la experiencia descubriréis que la mayor saca
sólo dos dedos de ventaja a la más pequeña; esto es, que cuando la
grande toca el suelo, la otra se encuentra a una distancia de dos dedos.
Ahora bien, pretendéis ocultar tras esos dos dedos las noventa y nueve
brazas de Aristóteles y, de esta forma, hablando solamente de este
minúsculo error, disimular con el silencio el error mucho mayor que él
cometió.
7.2. Techné versus episteme
Ahora bien, ¾es posible que fuera tan tonto (o tan malintencionado) el profesor
Coresio? Para nosotros, la tarea de la física es precisamente dar cuenta de este tipo
de diferencias cuantitativas, y por eso nos parece que la respuesta de Galileo está
cargada de sentido común. Pero es que nuestra concepción de la física es la que
inventó Galileo. Los aristotélicos como Coresio no estaban interesados en encontrar
la ley matemática que describiera más exactamente la caída de los cuerpos. Para
ellos, esto era un problema técnico, que por lo demás tampoco revestía gran importancia
práctica (excepto quizá cuando el cuerpo era una bala de cañón arrojada al
enemigo…). Consideraban que el trabajo de un lósofo natural no era describir el
cómo, sino entender el porqué: su objetivo era explicar las causas, no enunciar las
leyes.
Para Aristóteles, una ley sólo es un resumen de la experiencia, que nos dice lo que
va a ocurrir la próxima vez, pero no por qué ocurren las cosas. Es un conocimiento
meramente práctico (techné), ciertamente útil pero cualitativamente distinto del
verdadero conocimiento (episteme) que busca el lósofo, y al que sólo se accede con
la razón.
Podemos resumir la concepción aristotélica en este cuadro:
Tipo de conocimiento Fuente Objetivo Resultado
Práctico (techné) experiencia saber qué hacer leyes
la próxima vez
Cientí co (episteme) razón conocer el porqué causas
de las cosas
La actitud de Galileo, que en su estudio no buscaba causas sino leyes, resultaba
impropia; digna en todo caso de un artesano, pero no de un lósofo natural (la
palabra cientí co no existía aún). Y permitirse negar la episteme de Aristóteles por
meras discrepancias cuantitativas (es decir, en el plano de la techné), sin proponer
132 7. Galileo: el primer cientí co moderno
una alternativa coherente en el plano de las causas, era ya un caso de arrogancia.
Más aún cuando las predicciones de Galileo tampoco cuadraban con el experimento,
ya que a rmaba que todos los cuerpos, de cualquier materia, deberían caer a la
misma velocidad. Obviamente esto no era cierto, pero él lo atribuía al efecto del
rozamiento del aire, y señalaba que una pluma caería a la misma velocidad que una
piedra si lo hicieran en el vacío: ½precisamente el vacío que no podía existir según
los aristotélicos! No es extraño que les pareciera poco menos que una provocación.
Descontar los embalajes
Detrás de esta aparente arrogancia de Galileo había una comprensión del papel
de los errores en las medidas que era difícil de apreciar por sus contemporáneos.
Los aristotélicos no intentaban medir los fenómenos naturales, pues las medidas
no nos pueden informar sobre las causas. Como no tenían ninguna práctica en el
arte de la medición, no sabían qué hacer con los errores que inevitablemente se
cometen cuando se mide cualquier magnitud. Sólo en la tradición astronómica se
había desarrollado un respeto por la exactitud de las observaciones y una sabiduría
práctica en relación a los errores. Así, Kepler tuvo muy claro que un desajuste de
ocho minutos de arco en la órbita de Marte no podía ser ignorado en vista de la
precisión de las medidas de Brahe (y, según sus propias palabras, esto sólo condujo
a la reforma total de la astronomía, pg. 122), mientras que los desajustes menores
en la órbita de Venus no obligaban a esa reforma porque cabían dentro del error de
precisión de las observaciones.
Galileo da una vuelta de tuerca a esta idea. Las diferencias entre los tiempos de
caída de diversos objetos son innegables y no pueden atribuirse la inexactitud de
las observaciones, pero a diferencia de Kepler no cree que eso le obligue a reformar
su teoría. Lo que hace es atribuir las discrepancias al rozamiento, es decir, a efectos
de segundo orden no tenidos en cuenta en su modelo.
Este era un punto de vista nuevo. Hasta entonces, el caótico mundo sublunar
nunca se había dejado matematizar. Si uno se propone la tarea (inútil para el ló-
sofo, según Aristóteles) de hacer medidas de los fenómenos terrestres cotidianos, no
encuentra nada parecido a las regularidades sencillas que se observan en astronomía.
Así es como lo expresa Simplicio, el aristotélico, en el Diálogo sobre los dos principales
sistemas del mundo: estas sutilidades matemáticas se comportan muy bien
en lo abstracto, pero no funcionan cuando se aplican a la materia sensible y física.
Esta era la opinión aceptada generalmente. Sin embargo, Salviati, el trasunto de
Galileo, da una respuesta que merece ser leída con atención:
[Re riéndose a un mercader] Ciertamente, sería asombroso si los
cómputos y razones hallados en los números abstractos no
correspondieran después con las monedas de oro y las mercancías
concretas. ¾Sabes lo que sucede, Simplicio? De la misma forma que el
calculador que quiere que sus cálculos sean sobre el azúcar, seda y lana
debe descontar las cajas, embalajes y otras envolturas, así el cientí co,
cuando quiere reconocer en concreto los efectos que ha demostrado en
abstracto, debe restar los obstáculos materiales; y si es capaz de hacer
7.2 Techné versus episteme 133
esto, te aseguro que las cosas no tienen menos acuerdo que los
cómputos aritméticos.
En el caso de la caída libre, los embalajes son los rozamientos del aire; en otros
estudios pueden ser otros obstáculos materiales que impiden al objeto comportarse
de manera ideal (por ejemplo, en sus estudios con planos inclinados, además del
rozamiento con el plano aparece el efecto de la rodadura de la bola, que la retrasa
un poco respecto a un deslizamiento perfecto).
Lo que está a rmando Galileo es que no sólo en el mundo supralunar, sino tambi
én en la Tierra, los objetos se comportan de manera regular y reproducible. Si toda
la evidencia parece decir lo contrario, es porque en las situaciones naturales en la
Tierra siempre hay muchos efectos que inter eren, de modo que por muy cuidadosos
que seamos en nuestras observaciones no encontraremos el comportamiento sencillo
y ordenado que es patente en astronomía. Pero precisamente por eso podemos ser
más tolerantes que el astrónomo Kepler ante las discrepancias con la teoría.
Para que pueda a orar la verdadera regularidad debemos eliminar en lo posible
esos obstáculos materiales . Por eso Galileo no estudiará la naturaleza tan como
se presenta (como hacía Aristóteles) sino en dispositivos, como el plano inclinado o
el péndulo, cuidadosamente diseñados para minimizar el efecto de los embalajes.
Sólo gracias a esta idea puede Galileo realizar con provecho medidas experimentales.
Cuando el desacuerdo entre teoría y experimento no se puede explicar por una falta
de precisión de las medidas, recurrirá al argumento de Salviati para echar la culpa
a los embalajes.
Esta actitud ante los resultados experimentales es la que se tiene hoy en todos los
laboratorios del mundo, pero era un punto de vista insólito antes de Galileo. Nace
en este preciso momento. Y hay que reconocer que es una actitud que puede parecer
sospechosa al no iniciado. ¾No estamos echando cara al asunto y desestimando los
experimentos cuando no nos convienen? Al actuar así, Galileo parecía demostrar
demasiada desenvoltura, una con anza en sí mismo que era percibida por muchos
como jactancia. Al n y al cabo, no podía calcular el efecto de esos rozamientos
y por tanto no podía demostrar que eran los responsables de los desacuerdos con
su teoría. Y sin embargo, en el caso de la física aristotélica se atrevía a juzgar los
desajustes como demasiado graves para poder ser achacados a los embalajes…
La vana presunción de entenderlo todo
Con lo que hemos visto hasta aquí no es extraño que los aristotélicos, que constitu
ían el establishment académico, estuvieran irritados con Galileo. Pero a él no
le importaba demasiado porque la falta de aprecio era mutua. En su opinión, los
profesores que había conocido en la universidad manejaban explicaciones que no
eran más que palabrería, pero su propia fatuidad y su alejamiento de los problemas
prácticos les impedían reconocer su ignorancia:
La simpatía, la antipatía, las propiedades ocultas, las in uencias,
y otros muchos términos son empleados por algunos lósofos para
enmascarar lo que sería su auténtica respuesta: no lo sé, respuesta
134 7. Galileo: el primer cientí co moderno
mucho más aceptable que las otras por cuanto una franca sinceridad es
más bella que una engañosa simulación.
Tenía motivos para pensar así. En su época, el aristotelismo había perdido el
dinamismo original, y se había fosilizado en una escolástica más interesada en debatir
los puntos oscuros de la doctrina de El Filósofo que en estudiar la realidad de las
cosas. Una rechazo similar al de Galileo fue compartido por Francis Bacon y por
Descartes y les impulsó a formular losofías que le sustituyeran.
Pero el inconformismo de Galileo era diferente. Siendo hijo de un músico (todav
ía se conservan obras de su padre, Vincenzo Galilei) había admirado desde muy
pequeño el virtuosismo, y estaba muy lejos de despreciar, como era costumbre, a
los trabajadores manuales (vil mecánico era por entonces un insulto). Le interesaban
los problemas de la ingeniería, y había realizado trabajos para los astilleros de
Venecia cuando era un joven profesor en Padua. Allí simpatizó con los artesanos que
conoció en los talleres. Era gente que dominaba su o cio, que sabía hacer cosas bien
hechas, cosas que funcionaban: algo de lo que eran incapaces sus profesores. Había
aprendido además por experiencia lo difícil que es resolver bien cualquier problema
técnico, y cómo ni siquiera cuando las cosas funcionan sabemos muchas veces por
qué. ¾Cómo pretender entonces construir un sistema losó co que explicara como
funciona todo? Probablemente habría dirigido a los ambiciosos Bacon y Descartes
la misma crítica que a los aristotélicos:
No hay en la naturaleza efecto alguno, por mínimo que sea, cuya
perfecta comprensión esté al alcance de ni siquiera las mentes más
dotadas. Esta vana presunción de entenderlo todo no puede deberse
sino al hecho de no haber entendido nunca nada, dado que si alguien
hubiera llegado al menos una vez a comprender algo perfectamente y
hubiera sabido verdaderamente cómo se adquiere el conocimiento, sería
consciente de que nada sabe acerca de la in nidad de las restantes
verdades.
No hay que pensar, sin embargo, que la actitud de Galileo fuera primariamente
anti losó ca. No despreciaba a los aristotélicos porque intentaran entender el mundo,
sino porque pretendían haberlo entendido ya. Buscaba también un conocimiento
seguro, pero sabía por experiencia que la naturaleza es demasiado complicada, y que
era prematuro aspirar a una losofía natural cierta, y menos aún que lo abarcara
todo. Había que ser más modestos. Galileo llegó de este modo a la idea de que la
ciencia no podía ser un conjunto de conclusiones que formaran una doctrina cerrada,
sino un método.
7.3. Un nuevo concepto de ciencia
¾Cuál podía ser ese método apropiado para el estudio de la naturaleza? Decíamos
antes que Galileo demostraba una gran con anza en sí mismo al disculpar el desacuerdo
entre sus predicciones y los experimentos. Pero se trataba más bien de una
gran con anza en que la naturaleza obedecía a leyes como las que él proponía. Es
7.3 Un nuevo concepto de ciencia 135
decir, en que la naturaleza tenía una estructura objetiva inteligible y que ésta era
de carácter matemático. Por eso unos resultados irregulares en un experimento, o el
hecho de que dos pesos cayeran casi a la vez era seguramente el efecto de factores
no controlados, de embalajes no descontados que embarullaban la sencillez real
subyacente. Es una vez más el platonismo: una fe similar a la de Kepler, que creía
estar accediendo a la mente de Dios al estudiar las armonías de los planetas; sólo
que esa misma armonía se daba para Galileo también en el mundo sublunar. Hay
un célebre pasaje en el que explica esta fe con sus propias palabras:
La losofía está escrita en este grandísimo libro que continuamente está
abierto ante nuestros ojos (me re ero al universo), pero no puede
entenderse si antes no se procura entender su lengua y conocer los
caracteres en los cuales está escrito. Este libro está escrito en lengua
matemática, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras guras
geométricas, sin las cuales es totalmente imposible entender
humanamente una palabra, y sin las cuales nos agitamos vanamente en
un oscuro laberinto.
Que el libro del universo esté escrito en lenguaje matemático tiene una importancia
trascendental, porque, en contraste con nuestra comprensión de los fenómenos
naturales, que es incompleta e insegura, en las matemáticas podemos alcanzar un
conocimiento completo y seguro:
El intelecto humano entiende perfectamente algunas proposiciones con
una certeza tan absoluta como pueda haberla en la propia naturaleza;
tal cosa sucede únicamente en las ciencias matemáticas -esto es, la
geometría y la aritmética-, en las cuales el intelecto divino conoce
in nitamente más proposiciones que nosotros, dado que las conoce
todas. Ahora bien, por lo que respecta a aquellas pocas que el intelecto
humano comprende, creo que su conocimiento iguala al divino en lo que
a certeza objetiva se re ere, desde el momento en que logra comprender
su necesidad, por encima de la cual no cabe mayor certeza.
Si el universo está escrito en lenguaje matemático y en las matemáticas la comprensi
ón completa está a nuestro alcance, está claro el camino. Para conocer la naturaleza
de la manera más cierta posible deberemos estudiar esa estructura matemática
subyacente, que no es accesible a nuestros sentidos pero sobre la cual podemos re-
exionar con certeza. Galileo nos está proponiendo, en de nitiva, que para entender
el mundo físico debemos bajar al mundo de las matemáticas.
El método de Galileo
Galileo parte de que la estructura objetiva del mundo está enterrada en el subsuelo
matemático y es por eso inaccesible a la observación directa. Se distancia así
claramente de Bacon y sus seguidores. Para ellos, la clave para alcanzar el verdadero
conocimiento es una observación prolongada, rigurosa e imparcial del mayor número
136 7. Galileo: el primer cientí co moderno
posible de hechos. Estudiando sus correlaciones se encontrarían, por inducción, las
leyes de la naturaleza.
Pero la postura de Galileo tampoco signi ca que ese conocimiento sea accesible
a la razón pura. La razón nos proporciona la certeza de que, dados unos axiomas,
se siguen inevitablemente unas consecuencias. Pero, ¾cómo tener la certeza de que
se cumplen de hecho esos axiomas? Este enfoque racionalista fue seguido con entusiasmo
por Descartes, que fundó una física alternativa a la de Aristóteles sobre la
base de axiomas que consideraba evidentes. Sin embargo, su intento, que cautivó a
las mejores mentes de Europa durante casi un siglo, fue en de nitiva un fracaso: a
la postre, los axiomas resultaron estar equivocados.
En de nitiva, ni la observación directa ni la razón pura pueden proporcionar
verdadero conocimiento. Pero una combinación adecuada de observación y de razón
sí puede hacerlo, aunque de una manera mucho más modesta y laboriosa que como
pretendían las grandes síntesis de Bacon y Descartes.
El punto de partida será una simple conjetura. No tenemos otra opción, ya que
no podemos observar esa estructura objetiva del mundo que andamos buscando.
Pero además, no trabajaremos con el fenómeno real en toda su complejidad, sino
que abstraeremos los rasgos que nos parecen esenciales, para de nir así un modelo
hipotético: una especie de croquis matemático sobre el cual podemos razonar con
esa certeza objetiva en la que nuestro conocimiento iguala al divino ( gura 7.1).
Las conclusiones de ese razonamiento nos llevarán a hacer ciertas predicciones sobre
lo que debería ocurrir en determinadas circunstancias concretas. Y esas predicciones
podemos ponerlas a prueba en un experimento.
MetodoGalileo.pdf
“Mundo real”
Fenómeno real Experimento
Abstracción
( selección de lo esencial)
Concreción (diseño
de un experimento)
Consecuencias:
) p )
Razonamiento matemático
Modelo hipotético predicción
“Mundo de las matemáticas”
Figura 7.1: El método de Galileo: del fenómeno real al experimento.
Al lector sin duda le resulta familiar este esquema: ½es extraordinariamente parecido
a lo que habíamos llamado el método de Tales ! ( gura 1.3). Es cierto, pero hay
una diferencia fundamental. Lo que antes era un método para resolver un problema
concreto, como medir la altura de una pirámide o construir un túnel bajo un
monte, es para Galileo algo de mucha más trascendencia: es el método para conocer
la naturaleza.
7.4 La caída de los cuerpos 137
Cuando recorríamos el diagrama de Tales, nuestro objetivo era simplemente llegar
al nal (a la casilla solución del problema). Cuando recorremos el diagrama de
Galileo, no lo hacemos para llegar a la casilla nal (que aquí es la de experimento)
sino como una manera de veri car nuestro modelo. Y para hacerlo, tenemos que
recorrerlo varias veces. Por eso el esquema de Galileo, a diferencia del de Tales, es
dinámico: si el experimento está en desacuerdo con la predicción más allá de lo disculpable
por errores en las medidas o por el efecto de los embalajes, tendremos que
rechazar el modelo (lo habremos falsado, por decirlo con la palabra que introdujo
Popper siglos después, pg. 99). Habrá que modi carlo o sustituirlo por otro nuevo
y repetir el proceso ( gura 7.2).
Si el experimento da un resultado acorde con la predicción, habremos con rmado
el modelo, pero sólo de modo provisional, pues no tenemos garantía de que un
nuevo experimento (en relación a esta predicción o a otra) vaya a tener también un
resultado favorable.
Este método es el de la ciencia moderna, y por eso podemos decir con justicia
que Galileo fue el primer cientí co moderno.
MetodoGalileo2.pdf
Modelo confirmado
Sí (provisionalmente)
¿Predicción
Experimento correcta?
No Modelo falsado
Reformar modelo
Figura 7.2: El método de Galileo: contrastando el resultado del experimento con la teoría.
Pero antes de entrar en más detalles sobre este método, vamos a verlo en acción
aplicado al problema de la caída de los cuerpos.
7.4. La caída de los cuerpos
Ya dijimos que Galileo estaba convencido de que todos los cuerpos caen a la
misma velocidad, con independencia de cual sea su naturaleza o su tamaño. Esta
hipótesis es un primer modelo embrionario que luego se iría completando, pero ¾cómo
llegó a esta convicción?
Siendo estudiante, había observado que en una tormenta caían a la vez granos
de granizo de tamaños muy diferentes. Pensó que si fuera cierta la teoría aristotélica
que le habían enseñado, y las velocidades fueran proporcionales a los tamaños, lo
lógico sería que llegaran al suelo primero los granos gordos y nalmente más los
138 7. Galileo: el primer cientí co moderno
pequeños. Esta aparente contradicción fue madurando en su mente, y años después
concibió el siguiente razonamiento, que le convenció de que la velocidad de caída no
puede depender del tamaño.
Experimentos mentales
Supongamos una gran piedra que cae a una velocidad v. Supongamos ahora
otra piedra idéntica pero que ha sido cortada en dos mitades. Según Aristóteles,
ambas caerían con una velocidad igual a la mitad de v ( gura 7.3 (a)). Pero esto
parece absurdo, porque signi caría que las partes caen más despacio que el todo.
¾Tendríamos que suponer que se duplicaría la velocidad de caída por añadir unas
gotas de pegamento que unieran las dos mitades?
v/2 v/2
v v
vc
(a) (b)
c
Figura 7.3: Dos experimentos mentales de Galileo para probar que la velocidad de caída es
independiente del tamaño.
Si esto no resulta su cientemente convincente, podemos verlo de otra manera.
Supongamos ahora dos balas de cañón, una grande y otra pequeña. Según Aristóteles,
la grande tiene una velocidad natural de caída (v) mayor que la pequeña. Entonces,
si las unimos con una cuerda, la pequeña seguirá a la grande en su caída,
pero actuando a modo de paracaídas, ya que su velocidad natural es menor ( gura
7.3 (b)). Por tanto, la velocidad de caída del conjunto, vc, será menor que la que
tendría la bala grande cayendo sola: vc v.
En resumen, Galileo no necesitó subirse a la Torre de Pisa para convencerse de
que todos los objetos caen a la vez, con independencia de su tamaño. En cierto
modo realizó experimentos con piedras y con balas de cañón, pero los realizó en su
imaginación: fueron experimentos mentales, un tipo de razonamiento que ha sido
sumamente importante en la ciencia (y en la losofía) y en el que Einstein, por
ejemplo, era un maestro.
Ahora bien, si la velocidad no depende de la masa, ¾de qué depende? Ahora ya
deberíamos hacer experimentos reales, pero la caída libre era demasiado rápida para
poder medirla con los relojes de la época.
7.4 La caída de los cuerpos 139
Diluyendo el movimiento
En este punto, Galileo tuvo una idea brillante: si el movimiento de caída libre
es demasiado rápido para poder estudiarlo, podemos diluirlo usando un plano inclinado.
En un plano horizontal, el suelo contrarresta por completo la gravedad, y
una bolita depositada sobre él no se mueve. Si inclinamos el plano, la gravedad se
contrarresta sólo parcialmente, y la bola cae su cientemente despacio para que
podamos verla bien y tomar medidas. La caída libre podemos considerarla como un
caso particular, cuando el plano inclinado es vertical.
Ya podemos hacer experimentos, pero Galileo no se lanzó a hacerlos sin una
teoría previa. De acuerdo con su método, el papel del experimento es con rmar
o desmentir el modelo que previamente se ha conjeturado. Y a la hora de hacer
conjeturas, lo más natural es empezar por la hipótesis más sencilla.
En nuestro caso, parece claro que la velocidad de la bola aumenta según va
cayendo. La hipótesis más sencilla es que, ya que la velocidad no es constante,
sea constante el aumento de la velocidad. Es decir, que se trate de un movimiento
uniformemente variado. Pero ésto podemos entenderlo de dos maneras: que el aumento
de la velocidad sea constante para tiempos iguales o para espacios iguales.
En el primer caso, la velocidad sería proporcional al tiempo (lo escribiremos como
v = at, siendo a una constante); en el segundo sería proporcional al espacio recorrido
(es decir, v = bs siendo b otra constante).
Debería ser el experimento el que distinguiera entre estas dos posibilidades, pero
no era tan sencillo: ni siquiera con un plano inclinado podemos medir directamente
las velocidades. Sólo podemos medir los tiempos que va tardando la bola en recorrer
sucesivas distancias (por ejemplo, en ir rebasando distintas marcas sobre el plano).
Es decir, lo que podemos medir es la relación entre el espacio (s) y el tiempo (t).
¾Cuál debería ser esa relación?
v
vo
v v
o
to t t t
(a) (b) (c)
Figura 7.4: Grá cas de velocidad frente al tiempo para (a) un movimiento uniforme (es decir,
con velocidad constante), (b) un movimiento en el que hay tres tramos de velocidad constante, y
(c) un movimiento uniformemente acelerado.
Si la velocidad es constante, el espacio es el producto de la velocidad por el
tiempo: s = vt. Como aquí la velocidad va cambiando, la cosa no es tan sencilla,
140 7. Galileo: el primer cientí co moderno
pero podemos intentar resolver el problema grá camente. Vamos a dibujar en el eje
horizontal el tiempo y en el vertical la velocidad. La grá ca de un movimiento en el
que se ha mantenido una velocidad constante v0 durante un tiempo t0 es la gura
7.4 (a). El espacio recorrido es s0 = v0t0, y eso es justamente el área del rectángulo
de nido por la grá ca. Si ahora consideramos un movimiento más complejo en el
que la velocidad va tomando valores constantes a lo largo de sucesivos intervalos
de tiempo, como en 7.4 (b), el espacio recorrido es la suma de las áreas de los
sucesivos rectángulos; es decir, el área bajo la línea que representa v. Si repetimos
este razonamiento para movimientos en los que el número de tramos es cada vez
mayor, nos convenceremos de que en un movimiento como el de la gura 7.4 (c) (es
decir, un movimiento en el que la velocidad es proporcional al tiempo) el espacio es
el área bajo la recta. Ese área es base altura=2, y por tanto, s = tv=2, pero como
v = at, llegamos a que
s =
at2
2
Es decir, el espacio recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo. Esta es la
relación entre espacio y tiempo que Galileo encontró en sus medidas con planos
inclinados, demostrando así que la velocidad es proporcional al tiempo. Hoy llamamos
aceleración a la constante de proporcionalidad a, y decimos que se trata de
un movimiento uniformemente acelerado (la aceleración representa el incremento de
velocidad que se produce por cada unidad de tiempo, y se mide por eso en (m=s)=s,
es decir, en m=s2).
Pero habíamos considerado también otra posibilidad sencilla: que la velocidad
fuera proporcional al espacio. Se puede demostrar que en este caso el espacio recorrido,
en vez de aumentar cuadráticamente con el tiempo, lo haría exponencialmente
(es decir, según una progresión geométrica). Parece pues que el experimento decidió
inequívocamente a favor de la hipótesis v = at y en contra de la hipótesis alternativa
v = bs. Sin embargo, como de costumbre, las cosas no fueron tan sencillas.
La demostración de que una velocidad proporcional al espacio lleva a que s crezca
exponencialmente con t es sencilla utilizando el cálculo integral que unos años más
tarde descubriría Newton. Pero Galileo no disponía de esta herramienta matemática,
y pensó durante bastante tiempo que una velocidad proporcional al espacio daría
precisamente el resultado que él había observado (s = at2=2). De este modo, los resultados
correctos de sus experimentos le llevaron a sostener durante bastantes años
el modelo equivocado. En el esquema de la gura 7.1, lo que fallaba era el paso de
razonamiento/cálculo que va del modelo hipotético a la predicción. En su Diálogo
sobre dos nuevas ciencias, escrito al nal de su vida, dio por n el razonamiento
correcto que hemos expuesto aquí.
Una vez aclarados los malentendidos matemáticos, Galileo podía estar seguro
de que en su plano inclinado la velocidad era proporcional al tiempo; es decir, de
que v = at. Pero ¾cómo podía estar seguro de que esa ley seguía valiendo cuando
no había plano, es decir, para la caída libre? En realidad, Galileo no se limitó a
hacer medidas para una sola inclinación del plano, sino que observó que al aumentar
gradualmente la inclinación seguía cumpliéndose que v = at, aunque con un valor
de a cada vez mayor. Con aba entonces que en el caso de plano vertical también se
cumpliría la misma ley, con un valor límite de aceleración que sería el de la caída
7.4 La caída de los cuerpos 141
libre. Ese valor límite es el que hoy solemos llamar g, y tiene un valor de g = 9:81
m=s2: cada segundo, la velocidad aumenta casi 10 m=s (36 km=h). Es un valor muy
grande y Galileo no pudo medirlo: sus planos estaban demasiado poco inclinados
para poder hacer esa extrapolación cuantitativamente.
Una cuestión de prioridades
Es interesante que el razonamiento correcto que hemos expuesto en la gura 7.4
no fue descubierto por Galileo sino mucho antes: había sido ya usado por Nicolás
de Oresme en el siglo XIV al demostrar el llamado teorema de la velocidad media , y
su descubrimiento se debe probablemente a la escuela de los calculatores de Oxford
(W. Heytesbury, R. Swineshead y J. de Dumbleton).
Los estudios de estos autores eran puramente teóricos. Aunque especularon sobre
el movimiento uniformemente acelerado, no se plantearon que el movimiento de caída
libre fuera de ese tipo. Pero sí lo hizo el dominico español Domingo de Soto, que, en
un libro publicado en Salamanca en 1551, daba la ecuación correcta de la caída libre
más de cincuenta años antes de que lo hiciera Galileo. Entra dentro de lo posible que
al italiano le llegaran noticias de la obra del español, pues se sabe que fue enseñada
en el Colegio Romano de los jesuitas, y que este conocimiento contribuyera a sacarle
de su error inicial.
La prioridad de Soto en el descubrimiento de la ley de la caída de los cuerpos
no le quita sin embargo ningún mérito a Galileo. Lo importante de su trabajo, más
que el resultado nal, fue el método experimental que siguió para establecerlo y las
consecuencias de largo alcance que, como veremos enseguida, extrajo para la física.
La de Soto fue una intuición genial pero sin consecuencias, un poco a la manera de
la audaz incursión de Erik el Rojo en Groenlandia en el siglo X, a pesar de la cual
seguimos diciendo, y con razón, que fue Colón quien descubrió América.
El método revisitado
Ahora que hemos visto a nuestro cientí co en acción, podemos volver a su método
para apreciar el contraste con otros enfoques. Al estudiar la caída de los cuerpos,
Galileo empieza con una conjetura (le velocidad no depende de la masa) a la que no
ha llegado mediante muchas observaciones sistemáticas, como le gustaría a Bacon,
sino con una sola: la de los granos de granizo en una tormenta. Tras esta inspiración,
no se precipita. Da vueltas al asunto durante años, en los que imagina experimentos
mentales que, desde diversos ángulos, le rati can en su convencimiento hasta el
punto de que no se molesta en veri carlo con experimentos reales. No pierde el
tiempo subiendo a la Torre de Pisa y en su lugar empieza a pensar en un modelo un
poco más elaborado: el del movimiento uniformemente variado.
Si antes recalcábamos la diferencia con un empirista como Bacon, ahora vemos
el contraste con un racionalista como Descartes. En este punto, el racionalista propondr
ía unos axiomas del movimiento, lo que en principio no parece muy diferente
de proponer un modelo como hace Galileo. Pero hay una diferencia crucial: mientras
que para un racionalista como Descartes los axiomas son los cimientos sobre los
que va a construir todo su edi cio, y debe por eso elegirlos con extremo cuidado,
142 7. Galileo: el primer cientí co moderno
para Galileo el modelo es sólo una estructura provisional, y puede permitirse una
libertad mucho mayor. En realidad, más allá de la idea de sentido común de buscar
la sencillez y hacer abstracción de todo lo irrelevante, no hay reglas para establecer
el modelo. Por eso para Galileo no es demasiado grave empezar suponiendo que la
velocidad es proporcional al tiempo (correctamente) o al espacio (incorrectamente).
Las consecuencias no van a ser irreversibles.
Esta libertad, que da exibilidad al método en su primera etapa, viene contrapesada
por el sometimiento al veredicto de la observación en la última. Pero a diferencia
de la observación presuntamente imparcial que prescribían los baconianos, es una
observación guiada por la teoría: se trata de ver si se cumplen o no sus predicciones.
Por eso Galileo construye un dispositivo muy concreto, el plano inclinado, en el
que va a esforzarse por veri car una predicción también muy concreta: que el espacio
recorrido es proporcional al cuadrado del tiempo. Sus observaciones se encaminan
exactamente a eso, y no a los otros miles de cosas a las que podrían encaminarse en
relación con la caída de los cuerpos.
Este punto es fundamental: si la ciencia es objetiva no es porque parta de una
observación desprejuiciada e imparcial de la naturaleza. Tal cosa es seguramente
imposible, pues siempre tenemos una teoría en mente, aún cuando no la hayamos
formulado de modo explícito, y las teorías, como vimos en la pg. 52, guían siempre
nuestra atención y nuestras valoraciones. La objetividad de la ciencia no le viene
dada por la primera etapa sino por la última: porque el juez último que decide la
validez o no de la teoría es la naturaleza, cuando se pronuncia en el experimento.
Hemos hablado de la primera etapa el método (formulación de un modelo) y de
la segunda (experimento) ¾Y para qué sirve la segunda etapa? Como mínimo, para
lo que ya servía en el método de Tales que vimos en el primer capítulo: para poner a
nuestro servicio, a la hora de extraer las consecuencias del modelo, la infraestructura
de transportes de las matemáticas; ese tren subterráneo que nos permite viajar muy
lejos con seguridad y rapidez gracias a los túneles que otros (Apolonio, Leibinz o
Newton) han excavado para nosotros… aunque Galileo no pudo montarse en el tren
del Cálculo Diferencial: esa línea no estaba todavía construida.
La abilidad y e cacia que ganamos circulando por el subsuelo matemático son
las que explican la pasión cuanti cadora de los cientí cos de la que hablábamos
en el capítulo 1. Porque si las matemáticas son un tren, la medida es la moneda con
la que pagamos el billete, pues en este tren sólo se permite viajar a las magnitudes,
no a las cosas del mundo real como las pirámides o las sombras. Podemos ahora
entender mejor lo que quería decir Lord Kelvin cuando a rmaba que cuando no
podemos medir, nuestro conocimiento tiene un carácter pobre y poco satisfactorio:
si no podemos medir, tenemos que viajar a pie, y seguramente no llegaremos tan
lejos como en el metro.
Hay que señalar, dicho sea de paso, que salvo en los casos más sencillos hacer
una medida ya supone bajar al mundo de las matemáticas (por algo era análoga la
gura 1.3 del método de Tales a la gura 7.1). Lo que signica que a veces tenemos
que viajar en metro para para conseguir el dinero del billete…
Pero no hay que olvidar que, en la opinión de Galileo, la importancia de esta
modelización matemática radica en algo más. Si la esencia de la naturaleza es
matemática, en ese subsuelo es donde reside el verdadero conocimiento, y al razonar
7.5 La inercia 143
y calcular con nuestro modelo es cuando más cerca estamos de esa esencia. Sólo por
esa convicción merece la pena el duro trabajo de recorrer una y otra vez el camino
del modelo al experimento.
7.5. La inercia
Pero tenemos que volver a la física y a los problemas del heliocentrismo. Para
hacer verosímil el movimiento de la Tierra hacía falta llegar al concepto de inercia;
es decir, a la idea de que un objeto no necesita que actúe ninguna fuerza sobre él
para permanecer en movimiento. De este modo, cuando lanzamos un proyectil verticalmente
hacia arriba desde una Tierra en movimiento, lleva consigo la velocidad
de la Tierra, y no se queda atrás al volver a caer, del mismo modo que si lanzamos
una moneda al aire en el interior de un tren vuelve a caer en nuestra mano y no en
el asiento de atrás.
El concepto de inercia es totalmente opuesto a la dinámica de Aristóteles: como
vimos en la sección 4.3, ésta se basa en que para que haya movimiento tiene que
estar actuando un motor. Mientras la moneda está en nuestra mano, la estamos
arrastrando, pero en cuanto está en el aire, no hay un motor que la impulse hacia
delante y debería por tanto quedarse atrás.
El arte de extrapolar
Galileo llegó a la idea de inercia mediante una extrapolación de sus resultados
con los planos inclinados; una extrapolación muy característica de su manera de
razonar. Había concebido el plano inclinado como una manera de diluir la caída
libre para hacerla medible. Ahora bien, esa dilución de la caída, ¾no afectaría a la
velocidad nal que alcanzaba el cuerpo? Galileo pensaba que no; es decir, que varias
bolas que caen desde una misma altura pero por planos con distintas inclinaciones
llegan al suelo con la misma velocidad. Pero este era un punto importante que había
que con rmar.
¾Cómo demostrar esto si no tenía manera de medir la velocidad de la bola? En
realidad no hacía falta medirla: bastaba tan sólo con demostrar que no dependía
de la inclinación del plano por el que caía. Galileo razonó que eso podía veri carse
poniendo otro plano inclinado de subida a continuación: si la bola llegaba siempre a
la misma altura, es que había alcanzado en su descenso siempre la misma velocidad
( gura 7.5 (a)). El experimento demostró que las bolas alcanzaban aproximadamente
la misma altura, y, como era de esperar, Galileo vio en el aproximadamente el
efecto de los embalajes (el rozamiento) y dijo con aplomo que su hipótesis quedaba
demostrada. Observó también que la altura que se alcanzaba era casi la inicial, desde
la que había comenzado la caída: estaba vislumbrando la conservación de la energía,
pero no llegó a formularla.
Le llamó más la atención otra cosa. Si en vez de variar la inclinación del plano
de bajada variamos la inclinación del plano de subida, razonó, deberíamos tener el
mismo resultado: la bola subirá siempre hasta la misma altura. Pero esa misma altura
supone un recorrido horizontal mayor cuanto menos inclinado está el plano ( gura
144 7. Galileo: el primer cientí co moderno
p’ p1 p2 p3
α α2 α3
p α1
h
(a)
p’3
p’2 p’1 p
α1
α3 α2 h
(b)
Figura 7.5: (a) Una bola dejada caer desde una misma altura por planos inclinados con distintas
inclinaciones ( 1, 2, 3) llega hasta un mismo punto p0, aproximadamente a la misma altura h
que los puntos p1, p2, p3 desde los que fue lanzada. (b) Inversamente, una bola sube por
distintos
planos inclinados hasta puntos p01, p02 situados a la misma altura que el punto p desde el que
fue
soltada.
7.5 (b)). En el caso límite en el que la pendiente del plano de subida tiende a cero,
el recorrido horizontal de la bola tiende a in nito; es decir, ½en un plano horizontal
la bola que tiene una cierta velocidad inicial no se para nunca! Esta es justamente
la idea de inercia, la idea decisiva para desbaratar el principal argumento contra el
movimiento de la Tierra, y para asestar un golpe de gracia a la física de Aristóteles,
puesto que esa bola lanzada por el plano horizontal se mantiene inde nidamente en
movimiento sin necesidad de la acción continua de ningún motor.
El truco del péndulo
El razonamiento que acabamos de hacer es ingenioso, sencillo y elegante, pero
tiene truco: si uno hace realmetne el experimento, no sale. La razón es que cuando la
bola pasa del plano de bajada al plano de subida, sufre un brusco cambio de direcci
ón. Es un pequeño choque que la frena, y si las pendientes de subida o bajada son
grandes, el efecto es importante. Galileo, naturalmente, lo sabía, pero consideraba
que era uno de esos obstáculos materiales que había que descontar, y supo hacerlo
con una analogía ingeniosa.
En realidad, razonó, cuando la bola baja por un plano y sube por otro, su
movimiento es muy similar al que tendría en un péndulo, sólo que en éste en lugar de
describir dos segmentos recorre un único arco de circunferencia, sin discontinuidades
que la frenen, y, además, con mucho menos rozamiento. Galileo simuló el experimento
de la gura 7.5 (b) con un péndulo en el que había puesto un clavo que doblaba
el hilo cuando la bola empezaba a ascender. De este modo el péndulo se hacía más
7.5 La inercia 145
corto, lo que equivalía a un ascenso más pendiente. Pero la bola subía siempre a la
misma altura, para cualquier posición del clavo ( gura 7.6).
Figura 7.6: Figura de Galileo en Diálogos sobre dos nuevas ciencias mostrando el efecto de
poner clavos en los puntos E y F: cuando se suelta desde C, el péndulo sube hasta los puntos G
e I,
respectivamente, que están a la misma altura que el punto D que se alcanza cuando no hay clavo.
Si el péndulo era más conveniente que el plano inclinado, ¾por qué no lo usó
Galileo en su estudio anterior? Por dos razones: primero, porque haría falta un péndulo
enormemente largo para que el descenso fuera tan lento que lo pudiera medir.
Y segundo, porque en un péndulo la pendiente de descenso no es constante como en
un plano inclinado, sino que va variando constantemente, y eso hacía imposible el
análisis matemático. Galileo sabía muy bien lo que hacía.
Un improbable estilo de pensamiento
En todo el proceso que sigue Galileo, desde su intuición inicial ante el granizo de
una tormenta de verano hasta formular muchos años después la ley de la caída libre
y el principio de inercia tenemos un ejemplo magní co de su estilo de pensamiento.
Nunca podría haber llegado a estos resultados sólo mediante el experimento, porque
los planos reales y las bolas reales tienen rozamiento y se paran. Galileo hace experimentos,
pero van precedidos de una teoría (su hipótesis sobre el movimiento
uniformemente acelerado) y no se queda en los meros resultados experimentales.
Se permite extrapolarlos y complementados con experimentos mentales cuando lo
considera necesario. Utiliza analogías entre distintas situaciones (péndulo plano
inclinado) sacando el mejor partido de cada una. Y, sobre todo, razona sobre un
modelo idealizado en el que no hay obstáculos materiales como los rozamientos, e
interpreta siempre los experimentos en referencia a ese modelo ideal.
Lo que hacía falta para fundar la nueva física no era abandonar el dogmatismo
aristotélico ni empezar a observar los hechos, como se dice a menudo en los libros
de divulgación. Lo que hizo Galileo fue algo mucho más complejo: alumbrar una
nueva manera de pensar en la que había una relación dialéctica, de ida y vuelta,
entre las observaciones y la abstracción. La cuestión la expuso inmejorablemente H.
Butter eld:
La ley moderna de inercia [...] requería una transposición en la propia
mente del hombre de ciencia; porque, de hecho, no nos es posible
146 7. Galileo: el primer cientí co moderno
observar objetos siguiendo su trayectoria rectilínea en esa clase de
espacio vacío que Aristóteles decía que no podía existir, ni siguiendo su
camino hasta ese in nito del que también se decía que no era posible
que existiera; y en la vida real no disponemos de bolas perfectamente
esféricas que se muevan en planos perfectamente lisos y horizontales.
La transposición de que habla Butter eld consiste en discutir no de cuerpos
reales tal y como los vemos en el mundo perceptible, sino de cuerpos geométricos que
se movían en un mundo en el que no había resistencias ni gravedad; que se movían en
el vacío in nito del espacio euclidiano que Aristóteles consideraba imposible. Esta es
la manera de pensar de la ciencia moderna: una peculiar combinación de abstracción
matemática y de atención a los hechos en bruto. Un estilo de pensamiento tan
improbable que hasta Galileo apenas tuvo precedentes.
La relatividad de Galileo
El principio de inercia eliminaba alguna de las objecciones más evidentes contra
el movimiento de la Tierra, pero no era todavía un argumento decisivo. Lo que hacía
falta era justi car cómo es posible que la Tierra pueda estar en movimiento si no
notamos ningún efecto.
Los antiguos griegos tenían claro que las observaciones astronómicas no podían
decirnos si la Tierra se mueve o no (por eso, un sistema heliocéntrico como el de
Aristarco podía predecir las mismas posiciones para los planetas y las estrellas que
uno geocéntrico). Esta imposibilidad es lo que se ha llamado principio óptico de
relatividad : un cambio en la posición de una estrella (E) vista desde la Tierra (T)
puede explicarse igual de bien por el movimiento de E que por el de T. Es una
cuestión puramente geométrica.
Sin embargo, era en principio posible que otro tipo de observaciones, no de tipo
geométrico sino físico, sí permitieran detectar el movimiento de la Tierra. Esa era la
creencia común, formalizada en la física de Aristóteles, y en ella se basaban todas las
pruebas de la inmovilidad de la Tierra: como el alcance de un cañón era el mismo
hacia el este que hacia el oeste y como los pájaros o las nubes no se quedaban
retrasados por el presunto rápido movimiento circular de la Tierra, tal movimiento
sin duda no existía.
Lo que Galileo a rmaba era que esas pruebas no eran válidas porque ningún experimento
de tipo mecánico realizado sobre la Tierra podría detectar su movimiento:
las balas de cañón, los pájaros o las nubes se comportarían igual en una Tierra
inmóvil que en una en rotación uniforme. Esta tesis es el principio mecánico de
relatividad.
El principio de inercia es un paso decisivo para llegar a esta idea, pero este
principio de relatividad va más allá. Puede que la piedra que se suelta desde lo
alto de una torre caiga a los pies de ésta porque comparte el movimiento de la
Tierra, como a rma el principio de inercia. Pero, ¾el hecho de que el movimiento
sea compartido hace que éste no tenga ningún efecto? Por ejemplo, si todos los
objetos sobre la super cie de la Tierra están girando en realidad a gran velocidad,
¾no deberían salir despedidos, como salpica el agua de un cubo al que damos vueltas
muy deprisa?
7.5 La inercia 147
Galileo postula que no, y una vez más esto es una extrapolación audaz que no se
sigue estrictamente de sus resultados anteriores. De hecho, es una extrapolación err
ónea: hoy sabemos que el movimiento de la Tierra sí es detectable por experimentos
mecánicos, y es que en realidad el principio mecánico de relatividad es cierto, pero
no se aplica a un movimiento circular, sino al movimiento rectilíneo y uniforme.
La Tierra, por el hecho de girar, tiene una aceleración (ya que aunque su giro sea
uniforme, su velocidad cambia constantemente de dirección) y la aceleración sí da
lugar a efectos observables. En el caso de la Tierra no son muy notorios (y por eso
sólo se aprecian con dispositivos especiales como el famoso péndulo de Foucault,
construido por primera vez en 1851), pero no son por eso menos reales.
Galileo cometió un error análogo en relación a la inercia: pensaba que el
movimiento que se mantiene inde nidamente sin necesidad de motor es el movimiento
circular en vez del rectilíneo. Esto es sorprendente si recordamos el experimento
mental del plano inclinado por el que llegó a la idea de inercia, pero es que él consideraba
que su argumento dejaría de ser válido si la bola prolongara su movimiento
sobre un plano horizontal en sentido geométrico (es decir, el plano tangente a la
Tierra en un punto), ya que se estaría alejando del centro de la Tierra, y al subir,
se frenaría. Para Galileo, no podía existir en la naturaleza un movimiento rectilíneo
inde nido: el caso límite de plano horizontal en el que la bola no se pararía nunca
debía entenderse como una super cie equidistante al centro de la Tierra.
Gracias a esta errónea idea de la inercia circular, Galileo no precisaba de ninguna
explicación para el movimiento circular uniforme de los planetas. En esto seguía
coincidiendo con Aristóteles (y nunca hizo caso a los descubrimientos de Kepler,
que ya había publicado que ese movimiento no era ni circular ni uniforme).
Fue Descartes el primero en a rmar correctamente la inercia rectilínea en lugar
de la circular, y en encontrarse por tanto con la necesidad de explicar qué es lo que
desvía a los planetas de la línea recta y los mantiene en sus órbitas (circulares para
Descartes, que también ignoró olímpicamente a Kepler). Lo hizo de una manera
totalmente errónea, y sólo Newton pudo resolver el problema, uni cando de paso,
en un golpe de genio, la física terrestre con la celeste como nadie había hecho antes.
Pero de esto hablaremos en el capítulo 9. Aquí nos basta señalar, en conclusión,
que el empujón decisivo para superar las objeciones físicas al movimiento de la Tierra
lo dio Galileo con su formulación de la inercia y del principio de relatividad circulares…
a pesar de que en ambos casos estaba equivocado. Y hoy reconocemos su
mérito al asociar su nombre a las versiones correctas, para movimiento rectilíneo y
uniforme, de ambos principios. Llamamos, por ejemplo, principio de relatividad de
Galileo al enunciado que a rma que ningún experimento mecánico puede permitirnos
distinguir el reposo del movimiento de traslación rectilínea y uniforme.
¾Y qué hay de la relatividad por antonomasia, la de Einstein? Es en realidad
una generalización del principio de Galileo. Incluso después de Newton quedaba
pendiente la cuestión de si no podría distinguirse el reposo del movimiento uniforme
por otro tipo de experimentos que no fueran de tipo mecánico, sino, tal vez, que
utilizaran efectos eléctricos o magnéticos. Lo que estableció Einstein con su teoría
especial de la relatividad, formulada en 1905, es que tmpoco tal cosa es posible. Las
sorprendentes paradojas sobre la dilatación del tiempo o la equivalencia entre masa
y energía se siguen todas de este sencillo enunciado. Pero no podemos explicarlo
148 7. Galileo: el primer cientí co moderno
aquí: todavía tenemos mucho que decir sobre Galileo.
Capítulo 8
El telescopio y la Inquisición
Galileo estaba infringiendo las reglas admitidas de la ciencia [al admitir el
heliocentrismo sin pruebas obsevacionales concluyentes]. Pero al hacerlo,
creó unas nuevas reglas, que han sido aceptadas desde entonces.
Owen Gingerich
Albert Einstein atribuía a Galileo título de padre de la ciencia moderna por
los trabajos que hemos visto en el capítulo anterior: su novedosa manera de abordar
el estudio de la naturaleza y sus descubrimientos fundamentales en mecánica.
En comparación con estos méritos, parece que sus observaciones con el telescopio
deberían ser una anécdota, pero fueron las que le dieron una fama extraordinaria en
vida; y todavía hoy es a ellas, y a su proceso por la Inquisición, a lo que asocia casi
todo el mundo su gura. Es comprensible, porque son cuestiones más llamativas y
fáciles de entender que las sutilezas de la mecánica. Pero también es cierto es que
sus observaciones astronómicas sí tuvieron una enorme importancia. El telescopio
cambió para siempre nuestro concepto de los cielos, y prestó un respaldo decisivo al
heliocentrismo. Su proceso, desgraciadamente, tampoco fue una anécdota: ha marcado
la cuestión de la relación entre ciencia y religión durante siglos. A estos dos
aspectos de Galileo, más populares y polémicos que los estudiados hasta aquí, vamos
a dedicar este capítulo.
8.1. El telescopio
Parece ser que el telescopio se inventó en Holanda hacia 1608. En junio de 1609
Galileo oyó hablar del anteojo holandés que parecía acercar los objetos, y en poco
tiempo, sin haber visto ninguno, consiguió construirse un aparato que funcionaba. A
nales de año ya disponía de un telescopio de 30 aumentos (cuando los mejores por
entonces eran de 6). Un invento así tenía obviamente mucho interés para los militares,
y el Dogo de Venecia le recompensó nombrándole catedrático a perpetuidad en
Padua y doblándole el sueldo.
Pero el telescopio estaba llamado a revolucionar más profundamente la ciencia
que el arte de la guerra. Cuando Galileo empezó a observar los objetos celestes con el
149
150 8. El telescopio y la Inquisición
nuevo instrumento se encontró un sinfín de maravillas. Aunque no fue su inventor, ni
se adelantó en todos los descubrimientos astronómicos (el británico Thomas Harriot
trazó antes que él los primeros dibujos de la Luna), nadie supo sacar del telescopio un
partido remotamente comparable. En sus manos, lo que era un juguete se convirtió en
un poderosísimo instrumento cientí co. Lo decisivo, más que las mejoras técnicas que
introdujo, fue lo ingenioso de sus observaciones, y cómo las enfocó sistemáticamente
a resolver los puntos decisivos en el debate entre geocentristas y heliocentristas.
Lo que vio Galileo
Galileo dirigió su telescopio a todos los objetos que pueblan el cielo, y en todos
encontró novedades sorprendentes. Pero hay que señalar que tuvo que hacer algo
más complicado que simplemente mirar. No era tan sencillo entender lo que se veía.
Por ejemplo, cuando observó la Luna encontró que tenía valles y llanuras similares
a los de la Tierra:
La super cie de la Luna no es de hecho lisa, uniforme y de esfericidad
exactísima, tal y como ha enseñado de ésta y otros cuerpos celestes una
numerosa cohorte de lósofos, sino que, por el contrario, es desigual,
escabrosa y llena de cavidades y prominencias, no de otro modo que la
propia faz de la Tierra, que presenta aquí y allá las crestas de las
montañas y los abismos de los valles.
Al leer este párrafo parece que Galileo nos está describiendo una observación
directa, pero en realidad lo único que veía eran manchas. Algunas grandes, ya observables
a simple vista; otras, numerosas y muy pequeñas, que sólo se apreciaban
con el telescopio. Sólo una observación paciente e inteligente le llevó al convencimiento
de que lo que veía eran efectos del relieve. Por ejemplo, encontró puntos brillantes
en la zona oscura, cerca del borde de la parte iluminada y vio que, con el tiempo,
esos puntos se hacían más grandes y terminaban por unirse a la región iluminada.
Sacó la conclusión de que estaba viendo las cumbres de montañas que, igual que en
el amanecer terrestre, brillan iluminadas por el Sol mientras los valles vecinos están
aún sumidos en la oscuridad.
Con esta idea llegó incluso a estimar la altura de las montañas (ver gura 8.1). El
momento en el que se empieza a vislumbrar brillante la cima de la montaña es cuando
la tocan los rayos de sol tangentes al punto superior de la esfera . Según el teorema
de Pitágoras, (R+h)2 = R2+l2. Desarrollando el paréntesis, R2+2Rh+h2 = R2+l2,
y simpli cando R2 podemos despejar
h =
l2 h2
2R
l2
2R
donde la segunda igualdad es una aproximación válida porque h es mucho menor
que l. Lo único que necesitamos para obtener h es conocer el radio de la luna R
y medir aproximadamente l (basta comprarlo con R con el telescopio). Con esta
sencilla fórmula, Galileo encontró un valor para h de unas cuatro millas (seis mil
metros), un resultado bastante correcto.
8.1 El telescopio RelieveLuna.pdf 151
Rayos de sol l h
Cumbre iluminada
R R Mitad oscura
Luna
Figura 8.1: Medida de la altura h de una montaña en la Luna. En el instante dibujado, los rayos
de sol iluminan la mitad izquierda, pero también la cumbre de la montaña, que se vería como un
punto luminoso cerca del borde de la zona oscura.
Este descubrimiento sorprendente estaba en total contradicción con las ideas de
Aristóteles, que a rmaba que, perteneciendo la Luna a los cielos, sólo podía ser una
esfera perfecta. Y si la Luna tenía montañas, ¾no las tendrían también otros cuerpos
celestes, que serían también similares a la Tierra?
Galileo encontró también que la zona oscura de la Luna no era completamente
oscura. Esta luz cenicienta había sido observada a simple vista por Kepler y su
maestro Maestlin, pero era mucho más evidente con el telescopio. Galileo demostró
que se debía a la iluminación secundaria de la Luna por la luz re ejada en la Tierra
(entre otras razones, porque no había luz cenicienta en los eclipses, cuando la cara de
la Tierra que mira hacia la Luna está oscura). Eso signi caba que la Tierra brillaba,
igual que brillan los planetas, y por lo tanto el brillo de éstos seguramente no se debía
a que tuvieran luz propia, sino también al re ejo del Sol. Si las montañas del la Luna
hacían sospechar que los planetas eran parecidos a la Tierra, la luz cenicienta hacía
que la Tierra fuera parecida a los planetas. La distinción aristotélica entre el mundo
sublunar y el supralunar, que ya había sido cuestionada por las observaciones de
novas y cometas que había hecho Brahe, se tambaleaba.
Cuando Galileo miró a las estrellas a través del telescopio, se encontró que había
miles y miles de ellas, y que la Vía Láctea, sobre cuya naturaleza se había polemizado
durante siglos, era sin asomo de duda un conglomerado de innumerables estrellas
reunidas en montón. Pero, aunque el telescopio mostraba muchas más estrellas,
no aumentaba su tamaño. Seguían siendo puntos, a diferencia de los planetas, que
se veían como pequeños discos. Esto sólo podía signi car que las estrellas estaban
inmensamente lejos, mucho más lejos que el más lejano de los planetas. Y si a pesar
de estar tan lejanas las veíamos, seguramente es porque brillaban con luz propia;
eran, quizá, otros soles similares al nuestro. La lejanía de las estrellas proporcionaba
además un argumento más directo a favor del heliocentrismo: esa enorme lejanía
explicaba que a pesar de que el movimiento de la Tierra debería producir un cambio
en la posición aparente de las estrellas (observadas en momentos diferentes del año),
no se observara tal paralaje.
152 8. El telescopio y la Inquisición
Pero la mayor sorpresa la deparó un planeta: Júpiter. En enero de 1610 observó
cuatro estrellas en sus cercanías. En noches sucesivas, comprobó que sus posiciones
relativas cambiaban: no eran estrellas jas sino astros errantes, es decir planetas
(hoy los llamamos satélites, pero en su uso tradicional la palabra planeta se refería
a todos los astros que se desplazaban respecto del fondo de las estrellas jas, lo que,
por cierto, incluía también al Sol y la Luna). Sólo podemos entender la conmoción
que produjo el descubrimiento de Galileo si pensamos que desde la más remota
antigüedad siempre se habían conocido los mismos siete planetas, los que dan nombre
a los días de la semana: el Sol, la Luna, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno.
Que hubiera otros planetas, y que además no girasen en torno de la Tierra sino de
otro planeta, era una novedad inconcebible.
8.2. El mensajero de las estrellas
Galileo, rápido de re ejos, publicó estos descubrimientos en un libro titulado
Sidereus Nuncius (El mensajero de las estrellas) que apareció en marzo de 1610 y fue
un éxito instantáneo que le lanzó a la fama en toda Europa -al estrellato, podríamos
decir-. Cósimo de Médicis, en cuyo honor había llamado estrellas mediceas a los
nuevos astros, le nombró Matemático Jefe y Filósofo del Gran Duque, un título
vitalicio que le permitió volver a jar la residencia en su amada ciudad de Florencia,
convertido en un favorito de la corte y sin tener ya que dar clases en la universidad.
La importancia de los satélites de Júpiter no radicaba sólo en su novedad, sino
en que constituían un Sistema Solar en miniatura: casi podía verse con los ojos el
sistema de Copérnico, con Júpiter en el puesto del Sol. Y si Júpiter se movía sin
dejar atrás a sus satélites, se eliminaba además otra objeción contra el movimiento
de la Tierra: aunque la Tierra fuera un planeta y no el centro del universo, podía
llevar consigo a la Luna acompañándola en su desplazamiento.
Pero si el Mensajero de las estrellas tuvo un éxito inmediato entre el público profano
en astronomía, no puede decirse lo mismo de su acogida entre los astrónomos y
los lósofos. Con la notable excepción de Kepler, que escribió una entusiasta Conversaci
ón con el mensajero de las estrellas que luego aparecería en forma de libro,
casi todos fueron muy escépticos. Los descubrimientos eran demasiado revolucionarios,
y no era fácil mirar por un telescopio y entender lo que se veía. Las imágenes
eran borrosas y tenían confusos halos de colores debido a la aberración cromática,
un defecto que tardaría mucho en corregirse. El propio Galileo fue incapaz de
conseguir que cuarenta personas, convocadas en Padua por el astrónomo Giovanni
Antonio Magini, vieran los satélites de Júpiter (y alguno de los asistentes se apresuró
a escribir un libelo difamatorio denunciando sus engaños).
A la di cultad de la observación se unía que no se tenía una teoría del telescopio.
No se entendía por qué se producía su efecto ampli cador de las imágenes, y
muchos astrónomos, entre ellos el prestigioso Clavius del Colegio Romano de los
jesuitas, pensaban que probablemente los nuevos fenómenos no eran más que ilusiones
ópticas. Sólo gradualmente, al disponerse de mejores telescopios, fueron los
astrónomos convenciéndose de la realidad de las observaciones de Galileo.
8.2 El mensajero de las estrellas 153
Venus imita las guras de la Luna
Entretanto, éste había hecho otros descubrimientos: manchas en el Sol (una imperfecci
ón más en el mundo supralunar), unas sorprendentes orejas en Saturno (que
sólo en 1659 fueron identi cados por Huygens, con un telescopio más potente, como
los célebres anillos), y lo más decisivo: que Venus mostraba unas fases análogas a
las de la Luna.
Galileo consideró este descubrimiento tan trascendental y a la vez tan controvertido
que lo dio a conocer de un modo peculiar. Envió a Kepler un anagrama que decía
Haec immatura a me iam frustra legunturoy (algo así como Estas cosas prematuras
las estoy buscando por ahora en vano). Éste sabía que reordenando las letras encontrar
ía una frase anunciando algún descubrimiento astronómico (no era una práctica
insólita en la época: también Hyugens y Newton recurrieron a anagramas para asegurarse
la prioridad de un descubrimiento sin darlo a conocer abiertamente). Probó
con muchas combinaciones; entre ellas Macula rufa in Jove est gyratur mathem, etc
(Hay una mancha roja en Júpiter que gira matemáticamente), pero fue incapaz
de resolver al acertijo (es una coincidencia insólita que Júpiter resultara tener una
mancha roja, que se descubrió dos siglos más tarde). Poco después, Galileo, seguro
ya de su descubrimiento, le remitía la solución: Cynthiae guras aemulator mater
amorum. Es decir, la madre del amor (Venus) emula las guras de Cintia (la Luna).
FasesVenus.pdf
S
V
T
Ptolomeo Copérnico
Figura 8.2: Si Venus gira en un epiciclo cuya deferente está por debajo del Sol, como a rmaba
Ptolomeo, nunca podría verse más que en las fases de cuarto creciente o menguante (si el
deferente
estuviera por encima del Sol, podríamos ver a Venus en fase llena pero no nueva: nunca
presentaría el ciclo completo de fases). Por el contrario, si Venus gira alrededor del Sol,
pasa por
un ciclo de fases completo, análogo en todo al de la Luna.
La trascendencia del descubrimiento de las fases de Venus radicaba en que era la
primera observación radicalmente incompatible con el sistema tolemaico. En efecto,
como se muestra en la gura 8.2, con ese esquema Venus se debería vería siempre
en cuarto creciente o menguante, pero nunca lleno, mientras que con el esquema
copernicano presentaría todas las fases. Galileo llevaba ya tiempo convencido de la
verdad del sistema de Copérnico, pero las fases de Venus le entusiasmaron porque
daban la puntilla a Ptolomeo.
154 8. El telescopio y la Inquisición
8.3. Galileo a juicio
¾Debemos suponer que su entusiasmo fue compartido por el resto de los sabios y
que el geocentrismo quedó de nitivamente obsoleto? Los libros de divulgación suelen
presentarlo así, y de ese modo proyectan una luz sombría sobre los acontecimientos
que siguieron: parece que tras los descubrimientos con el telescopio, la negativa a
reconocer el movimiento de la Tierra de los aristotélicos y, sobre todo, de la Iglesia
Católica, sólo podía deberse a la ignorancia y el fanatismo.
Pero a estas alturas ya nos hemos encontrado muchas veces que las cosas no son
tan sencillas como se suelen contar y este caso no es una excepción. Ante todo, las
fases de Venus eran compatibles con el sistema de Tycho Brahe, que tenía la ventaja
de seguir manteniendo a la Tierra inmóvil. Como hemos visto, Galileo estaba convencido
de que los principios de relatividad e inercia hacían super uo este requisito
de inmovilidad. Por eso no encontraba ningún atractivo en el sistema ticónico. Era
mucho más feo (es decir, complejo y asimétrico) que el copernicano: resultaba antinatural
que un cuerpo tan grande como el Sol se moviera alrededor de uno mucho
más pequeño como la Tierra, y más cuando todos los planetas (excepto la Luna)
resultaban girar en torno al Sol. Pero sus estudios de mecánica sólo resultaban convincentes
para él y sus seguidores (además, no habían sido publicados y no eran muy
conocidos), los argumentos estéticos eran subjetivos, y el movimiento de la Tierra
seguía siendo muy difícil de aceptar para casi todo el mundo.
Galileo se hallaba en una situación intelectualmente incómoda: después de muchos
años de trabajo y de una racha de extraordinarios descubrimientos, no albergaba
la más mínima duda sobre el heliocentrismo. Sin embargo, sabía que no podía
aportar una prueba concluyente de que la Tierra se movía.
La sombra de Trento
La incomodidad, naturalmente, no era sólo intelectual. Tras la Reforma, la Iglesia
Católica se había vuelto mucho más vigilante de la ortodoxia. Aunque la doctrina
tradicional, que se remontaba a los Padres de la Iglesia (y en especial a San Agustín),
no defendía la verdad literal de las Escrituras, la amenaza protestante había extendido
la alarma contra su libre interpretación. El heliocentrismo contradecía a la
Biblia en varios puntos en los que se a rmaba que el Sol se movía, pero eso no había
supuesto ningún problema para Copérnico. Como ya vimos, fue incluso animado por
obispos y cardenales a publicar su obra (y los métodos de cálculo de De revolutionibus
fueron utilizados en la reforma del calendario promovida por el Papa Gregorio
XIII, de la que salió el Calendario Gregoriano que todavía seguimos utilizando).
Desde entonces las cosas habían ido cambiando poco a poco.
El Concilio de Trento había reorganizado la Inquisición, que había pasado a depender
directamente del Papa y era ahora mucho más activa y e caz. En 1600 se
había quemado en la hoguera a Giordano Bruno, que había sido un activo propagandista
del heliocentrismo en su versión más radical (la que defendía la in nitud
del universo y la existencia de muchos mundos similares al nuestro). Bruno no era
un cientí co, y su condena no se debió a su cosmología sino a que sus ideas eran
abiertamente heréticas (defendía el panteísmo y la restauración de la verdadera
8.3 Galileo a juicio 155
losofía de Hermes Trismegisto). Sin embargo, el impacto que tuvo su caso hizo
mucho para asociar, en la opinión popular, las ideas de la nueva astronomía con la
herejía.
Los enemigos aristotélicos de Galileo, el establishment académico al que tantas
veces había ridiculizado, vieron aquí una oportunidad. No tardaron en propagar
que el heliocentrismo era contrario a las escrituras, y algunos acusaron a Galileo
de blasfemia y herejía. Clérigos exaltados lanzaron también acusaciones desde el
púlpito, y Galileo se sintió obligado a defenderse.
Ciencia y religión, según Galileo
En 1615 publicó la Carta a la Gran Duquesa Cristina de Lorena (era la madre
de Cósimo de Médicis). En la Carta defendía magistralmente la postura de que las
verdades de la ciencia y de las de la fe, propiamente entendidas, no pueden entrar
en con icto. Citando a San Agustín, argüía que Dios no era el autor de un solo
libro sino de dos: tanto del libro de la naturaleza como de las Escrituras. Cada uno
se leía, sin embargo, de un modo diferente. El de la naturaleza, escrito en lenguaje
matemático, era descifrado por la ciencia física; mientras que las Escrituras nada
nos decían sobre la física sino que nos revelaban nuestro destino moral (citando al
cardenal Baronio, su propósito era enseñarnos como ir al Cielo, no cómo van los
cielos). Cuando se referían a fenómenos naturales, usaban las ideas populares de la
época, pero no debían ser tomadas en sentido literal sino gurado, como siempre se
había hecho en la tradición cristiana.
Aunque Galileo se ha convertido en la cultura popular en el epítome del enfrentamiento
entre ciencia y religión, lo cierto es que era un católico sincero y tenía
motivos para no sentirse preocupado por su situación personal. Contaba con excelentes
relaciones tanto en la corte de Florencia como entre las máximas autoridades
de la Iglesia en Roma, y la doctrina que exponía era impecablemente ortodoxa
Pero sí veía un grave peligro en la creciente tendencia a una interpretación literal
de la Biblia. Era un peligro para la ciencia, por motivos obvios. Pero también para la
religión: podía llegar a ocurrir que se declarase como herética una verdad que fuera
luego demostrada por la ciencia… y eso pondría en una situación realmente embarazosa
a los creyentes y a la propia Iglesia. Porque mientras las Escrituras admiten en
muchos puntos interpretaciones diferentes, Galileo a rmaba que la ciencia natural
puede en ocasiones proporcionarnos conclusiones seguras mediante demostraciones
necesarias, en las que no podemos dejar de creer aunque nos ordenen lo contrario:
Hay una gran diferencia entre dar órdenes a un matemático o a un
lósofo y darlas a un mercader o un abogado; y es que las conclusiones
demostradas relativas a las cosas de la naturaleza y de los cielos no
pueden cambiarse con la misma facilidad como las opiniones sobre lo
que es legal o no en un contrato, alquiler o letra de cambio.
La prohibición
Con toda seguridad, la reacción de la Inquisición pilló por sorpresa a Galileo. El
26 de febrero de 1616 fue convocado por el cardenal Bellarmino, que le comunicó la
156 8. El telescopio y la Inquisición
prohibición de defender o mantener, oralmente o por escrito, la tesis del movimiento
de la Tierra y de la inmovilidad del Sol. Poco después, se incluía en el Índice de
Libros Prohibidos una obra del carmelita Foscarini (que reconciliaba la Biblia y
el copernicanismo) y se ponía en suspenso, hasta que fuera corregido, el libro de
Copérnico.
¾Como podía corregirse a Copérnico de manera que no sostuviera el heliocentrismo?
Es importante entender esta paradoja para apreciar un elemento esencial
que hoy suele pasar inadvertido. Cuando los inquisidores formularon su dictamen
sobre el heliocentrismo, la cosmología y la astronomía llevaban más de mil años
divorciadas. La primera explicaba el funcionamiento del mundo; la segunda calculaba
las posiciones de los astros y se consideraba una rama de las matemáticas. Su
objetivo era salvar las apariencias con cualesquiera arti cios de cálculo.
Ya vimos en la sección 6.2 que la mayor parte de los astrónomos acogieron
con ese espíritu instrumentalista la obra de Copérnico, y lo que se exigía ahora era
depurar De revolutionibus de cualquier párrafo con connotaciones realistas (bastaron
unas ligeras modi caciones para volver a autorizar el libro en 1620). Esta tradición
instrumentalista explica que la prohibición de mantener o defender el heliocentrismo
a que había sido sometido Galileo no implicara la prohibición de su enseñanza,
siempre que se hiciera ex suppositione, es decir, como una hipótesis de trabajo y no
como la realidad física.
Esa es la razón de que a pesar de la prohibición Galileo pudiera escribir el Diálogo
sobre los dos máximos sistemas del mundo, y obtuviera licencia para publicarlo.
El libro, escrito en forma de diálogo entre tres personajes, presentaba los modelos
de Ptolomeo y Copérnico sin decantarse explícitamente por uno u otro. De esta
manera se mantenía formalmente dentro de la cláusula ex suppositione, aunque,
naturalmente, los argumentos en pro del heliocentrismo resultaban mucho más convincentes
que los contrarios…
Diálogo y condena
El Diálogo es un libro extraordinario. Mucho más voluminoso que cualquiera de
sus obras anteriores (en las ediciones actuales ronda las 500 páginas) está escrito
en italiano, con la clara intención de llegar al gran público, y lo consigue: de hecho,
es una obra maestra de la divulgación cientí ca. Sin duda, en el atrevimiento de
Galileo in uyó que en 1624 había sido nombrado nuevo Papa, con el nombre de
Urbano VIII, Maeo Barberini, un intelectual orentino admirador suyo. Galileo le
expuso sus teorías durante seis audiencias en Roma y el Papa le autorizó a ponerlas
por escrito, naturalmente ex suppositione.
Cinco meses después de la publicación del Diálogo, en 1632, la obra era prohibida
y Galileo recibía una citación judicial, que desembocaría en su juicio y condena. Sólo
podemos especular sobre las razones de este cambio de criterio. Los enemigos de
Galileo intrigaron ante el Papa, que delegó la lectura de la obra a una comisión de
tres teólogos. Es evidente que el libro, por muy hipotético que fuera el planteamiento,
funcionaba como un alegato sumamente convincente a favor del heliocentrismo, y la
comisión le aconsejó que procediera contra él. Parece ser que Urbano VIII se sintió
engañado porque consideró que Galileo había respetado la letra pero había faltado
8.4 Sobre mareas y losofía 157
al espíritu de su autorización.
Lo cierto es que la Inquisición acusó a Galileo de haber desobedecido el requerimiento
que se le había hecho en 1616, más de quince años antes. El punto principal
para el tribunal era que entonces se le había prohibido enseñar, en forma alguna, la
doctrina del movimiento de la Tierra. Galileo pudo aportar una carta rmada por
Bellarmino que sólo le prohibía sostenerla y defenderla pero no adoptarla y enseñarla
ex suppositione. En su contra se aportó un acta de aquella reunión que decía lo contrario,
pero tal acta no estaba rmada. Hoy se sospecha que fue una manipulación de
los enemigos de Galileo, quizá del astrónomo jesuita Christoph Scheiner, que había
mantenido en 1613 una agria polémica con él sobre la prioridad del descubrimiento
de las manchas solares y su interpretación. El acta falso se habría empleado para
hacer creer al Papa que Galileo le había engañado sobre el alcance de la prohibición
de 1616, lo que explicaría la saña con la que actuó contra su antiguo amigo a lo
largo de todo el proceso.
Pese a la endeblez de las pruebas en su contra, el tribunal condenó a Galileo a
retractarse públicamente de sus errores y a la pena de prisión perpetua. Galileo no
sufrió malos tratos, y la prisión acabó siendo conmutada por reclusión domiciliaria
en su villa de Arcetri, en las afueras de Florencia. Pero lo auténticamente grave fue
la humillación a manos de las autoridades de una Iglesia a la que siempre había
sido leal; el triunfo, como escribió más tarde, de la ignorancia, impiedad, fraude y
engaño.
Galileo, anciano, enfermo y abatido por la condena, tuvo que sufrir además la
muerte prematura de su querida hija Sor María Celeste, que residía en un convento
cercano a su villa. Salió de la depresión, sin embargo, y fue todavía capaz de
componer en sus últimos años su más importante obra en el campo de la física: los
Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias , donde por
n daba a conocer sus descubrimientos sobre la mecánica y ponía los cimientos de la
ciencia de la resistencia de materiales. Signi cativamente, el libro no fue publicado
en Italia sino en Holanda, en 1638.
La prohibición del Diálogo no entorpeció su difusión fuera de Italia, sino más
bien al contrario: ya en 1635 Mathias Berneggar lo tradujo al latín, y todos los estudiosos
de Europa lo leyeron ávidamente. De modo que la Inquisición no contribuyó
precisamente a contener el avance del copernicanismo, aunque sí a retrasar el desarrollo
de la ciencia en Italia y en toda la Europa católica. Es signi cativa la reacción
de Descartes al enterarse de la condena a Galileo: aunque dejó escrito en una carta
que posiblemente la condena sería revocada pronto (como ocurrió con la creencia
en las antípodas, decía), retiró por si acaso de la imprenta su obra El mundo y
adoptó desde entonces como lema la frase de Ovidio bene vixit qui bene latuit (vive
bien quien bien se esconde). Se equivocó sobre la duración de la prohibición: sólo
en 1835 fue retirado del Índice el Diálogo.
8.4. Sobre mareas y losofía
En el juicio a Galileo no se discutió si su ciencia era correcta, sino si desobedeció
o no a las órdenes que le había dado el Papa anterior, más de quince años antes. Pero
158 8. El telescopio y la Inquisición
había un importante trasfondo losó co, que había sido planteado por el cardenal
Bellarmino en su respuesta a Foscarini (el carmelita cuyo libro copernicano había
sido prohibido en aquella ocasión), respuesta que iba evidentemente dirigida también
a Galileo:
Si hubiera una prueba real de que el Sol está en el centro del universo,
de que la Tierra está en el tercer cielo y de que el Sol no gira alrededor
de la Tierra, sino la Tierra alrededor del Sol, entonces deberíamos
proceder con la mayor circunspección al explicar pasajes de la Escritura
que parecen enseñar lo contrario, y admitir más bien que no los
entendemos que declarar que una opinión que se ha demostrado que es
verdadera es falsa. Pero, por lo que a mí concierne, no creeré que
existan tales pruebas hasta que me sean demostradas.
Es decir, que la Iglesia estaría dispuesta reinterpretar las escrituras donde hiciera
falta si hubiera una prueba real del heliocentrismo. Pero en ausencia de pruebas,
Bellarmino exigía que se hablara sólo ex supossitione, para evitar excitar a todos
los lósofos y teólogos escolásticos e injuriar a nuestra santa fe al contradecir las
Escrituras.
Bellarmino coincide con Popper
Todo esto plantea un punto clave: ¾que constituye una prueba en ciencia? En su
escrito, Bellarmino señalaba a continuación que no basta mostrar que el sistema de
Copérnico explica las observaciones astronómicas para darlo por probado :
No es lo mismo demostrar que, supuesto que el Sol esté en el centro y
la Tierra en el cielo se salvan las apariencias, que demostrar que
verdaderamente el Sol está en el centro y la Tierra en el cielo. Creo que
la primera demostración puede darse, pero de la segunda tengo muy
serias dudas, y en caso de duda no se debe dejar la Sagrada Escritura,
tal como ha sido explicada por los Santos Padres.
Esta es una a rmación sumamente importante en la que merece la pena detenerse.
Que una teoría explique las observaciones signi ca simplemente que de ella se
pueden deducir esas observaciones. Por ejemplo, la teoría de Copérnico implica que
Venus tendrá fases como las de la Luna, y por eso decimos que explica las observaciones
de Galileo (a diferencia de la teoría de Ptolomeo, que no predice esas fases).
De manera que podemos expresar simbólicamente que la teoría T explica el hecho
F así:
T ) F
(se lee: T implica F). Lo que decimos no está limitasdo en absoluto a las teorías
cientí cas, sino que forma parte del sentido común. Por ejemplo: ser hombre implica
ser mortal; por eso, saber que Julio César fue hombre basta para explicarnos
que muriera. Ahora bien, este ejemplo deja clara una propiedad absolutamente fundametal
en la relación de implicación: no es simétrica. Si sólo sabemos que Julio
8.4 Sobre mareas y losofía 159
César murió, no podemos decir que fuera un hombre: a lo mejor ese fue el nombre
que puse a mi perro. Análogamente: que un pájaro sea un mirlo implica que es
negro, pero que un pájaro sea negro no implica que sea un mirlo. Y volviendo a la
astronomía y a Bellarmino:
(T ) F) no signi ca que (F ) T)
Las fases de Venus no implican que la teoría de Copérnico sea cierta (y en particular,
como sabían bien Bellarmino y Galileo, pueden explicarse también con la teoría de
Tycho Brahe).
Dar la vuelta a la implicación y decir que si vemos un pájaro negro tiene que
ser un mirlo (o que si vemos fases en Venus tiene que ser cierto el heliocentrismo)
es por tanto un error lógico, de un tipo que los escolásticos habían bautizado como
la falacia de a rmar el consiguiente.
Aunque no le dimos ese nombre, ya habíamos expuesto esa idea en la sección
2.3, cuando hablábamos de para qué sirven las teorías. Decíamos entonces que una
buena teoría no es la que se deduce de los hechos observados, sino la que permite
deducir esos hechos. Pretender que una teoría que explica los hechos se deduce de
ellos es caer en la falacia de a rmar el consiguiente.
Pero aunque no podamos elegir entre dos teorías rivales a partir de los hechos
que explican, sí podemos hacerlo recurriendo a lo que no explican. Así, si la teoría T
predijera un fenómeno F pero resulta que no se cumple F, tendríamos que abandonar
T:
(T ) F) signi ca que (no F ) no T)
Es decir: si todos los mirlos son negros, un pájaro blanco no puede ser un mirlo. O
volviendo a la astronomía: si Venus no tuviera fases, la teoría de Copérnico sería
falsa. Con la terminología de Popper, al mostrar la falsedad de F habríamos falsado
la teoría T y la tendríamos que descartar.
Hasta aquí, Bellarmino coincide con Popper. Sin embargo, en la conclusión de
su respuesta a Foscarini va un paso más allá, cuando dice que tiene muy serias
dudas acerca de que pudiera encontrarse nunca una prueba concluyente de la teoría
heliocéntrica. En de nitiva, lo que estaba a rmando es que la asimetría en la relación
de implicación entre teorías y hechos, lleva a que, aunque podamos establecer los
hechos a partir de las teorías, es muy dudoso que nunca podamos establecer una
teoría unívoca a partir de los hechos. Y la razón es que mientras subsistan varias
explicaciones alternativas de los hechos sin falsar (como en nuestro caso, las teorías
de Copérnico y de Brahe), no se puede en buena lógica a rmar la veracidad de una
de ellas por encima de las demás. Según Bellarmino, la prudencia aconseja entonces
que nunca nos salgamos del plano de las hipótesis.
¾Tenemos realmente que conformarnos con esta conclusión decepcionante? Bellarmino
nos exige que abandonemos la esperanza de que nuestras teorías sean verdad,
de que nos digan como es el mundo en realidad. Tendríamos que aceptar, como
decíamos al discutir el instrumentalismo en la pg. 114, que nuestras teorías son simplemente
útiles y entretenidos arti cios para salvar las apariencias. En este punto,
Popper ya discreparía Bellarmino y Galileo, por supuesto, también. Tendremos que
volver más adelante a esta cuestión.
160 8. El telescopio y la Inquisición
La teoría de las mareas
A la vista de las advertencias de Bellarmino, Galileo era más consciente aún,
si cabe, de que para que se aceptara el heliocentrismo la clave era encontrar algún
fenómeno que no tuviera más explicación posible que el movimiento de la Tierra. Y
parecía estar atrapado en una paradoja, porque precisamente según su principio de
relatividad, que hacía aceptable el movimiento de la Tierra, ½un movimiento circular
y uniforme no debería tener ningún efecto mecánico observable!
Finalmente, creyó encontrar la solución en las mareas: si bien la rotación de la
Tierra y su traslación alrededor del Sol son ambos movimientos circulares y uniformes,
su combinación no lo es (realmente, la traslación, como demostró Kepler,
no era un movimiento circular y uniforme, pero Galileo siempre ignoró este detalle).
Aunque el centro de la Tierra trace un círculo, un punto de su super cie se mueve
siguiendo una trayectoria lobulada similar a la de los planetas en los epiciclos ( gura
5.3). Galileo pensaba que este movimiento sí tendría efectos observables sobre la
gran masa de los mares.
MareasGalileo.pdf
Mediodía
P
Sol
Medianoche
P
Figura 8.3: La teoría de las mareas de Galileo.
Imaginemos un punto cualquiera P de super cie de la Tierra, por ejemplo en la
costa ( gura 8.3). La velocidad de rotación y la de traslación se suman a medianoche,
lo que equivale a una aceleración, que hará que las masas de agua de los mares se
queden atrás (marea baja). Lo contrario ocurre a mediodía; en ese momento las dos
velocidades se contrarrestan y al frenarse la super cie de la Tierra la inercia del
agua de los mares los llevaría contra la costa (marea alta).
Si este fuera el mecanismo de las mareas, entonces el sistema de Brahe, con
la Tierra inmóvil, predeciría que no deberían existir, y habría quedado falsado.
Excitado por haber encontrado lo que consideraba la prueba de nitiva, Galileo se
propuso darla a conocer en un libro: precisamente el Diálogo sobre los dos máximos
sistemas del mundo, que iba a haberse titulado Diálogo sobre las mareas.
Sin embargo, la teoría de las mareas de Galileo tenía ya desde el principio un
inconveniente obvio: predecía que sólo habría diariamente una marea alta, y que
siempre ocurriría a mediodía. Todo el mundo sabía que hay dos, y que su hora es
variable. Galileo justi có la discrepancia, una vez más, apelando a los embalajes:
8.4 Sobre mareas y losofía 161
causas secundarias como la profundidad variable del mar, la diferente orientación
de costa, etc, que modi carían la tendencia principal del movimiento del agua. Pero
esta vez no tenía razón. No consiguió convencer a casi nadie, y unos años más tarde
Huygens explicaría con detalle el error de su teoría. Finalmente, Newton demostró
brillantemente que era la atracción gravitatoria de la Luna la que causaba las mareas;
una explicación fuera del alcance de Galileo, que no podía concebir ese tipo de fuerzas
a distancia entre dos cuerpos celestes.
No podemos descubrir la obra de Sus manos
Ya hemos dicho que Galileo estaba en contra de la losofía instrumentalista de
Bellarmino. Creía que se podía establecer inequívocamente la verdad de una teoría
a partir de las experiencias sensibles y de demostraciones necesarias, y tenía
además la esperanza de haber establecido así el movimiento de la Tierra con su
teoría de las mareas, aunque hoy sabemos que en esto estaba equivocado.
En cualquier caso, Galileo no podía expresar abiertamente sus opiniones. Había
sido atrevido al presentar sus argumentos a favor del movimiento de la Tierra en el
Diálogo, aunque fuera bajo el arti cio ex suppositione. La prudencia exigía dar en el
libro la última palabra a la postura o cial de la Iglesia, tal como la había expresado
el cardenal. Así, en la conclusión del Diálogo, Simplicio dice que Dios, en su poder
y sabiduría in nitos, podría haber provocado las mareas con un medio diferente del
propuesto por Galileo, y siendo esto así, sería una audacia extravagante que alguien
limitara y con nara el poder y la sabiduría divinos a una fantasia particular de su
propia invención. A lo que Salviati-Galileo responde:
Una doctrina admirable y verdaderamente angélica, y que concuerda
con otra, también divina, que, mientras que nos concede el derecho de
argüir sobre la constitución del universo (quizá para que no sea
restringida la actividad de la mente humana o no se haga perezosa)
añade que no podemos descubrir la obra de Sus manos.
Una doble paradoja
Al comenzar este libro advertíamos contra la historia whig: el hábito, muy
extendido al divulgar la ciencia, de mirar los episodios históricos retrospectivamente,
desde nuestro punto de vista y no desde el de sus protagonistas. El caso Galileo
ilustra a la perfección esos peligros.
Hoy sabemos que Galileo estaba en lo cierto y es casi inevitable ver su condena
como una tropelía en la que el fanatismo se impuso a la razón. Pero si nos
quedamos en esta interpretación aparentemente obvia, perderemos la ocasión de
aprender varias lecciones importantes.
Para empezar, no debemos proyectar nuestro concepto actual de libertad de
expresión y de conciencia sobre otras épocas. En la Italia del siglo XVII nadie cuestionaba
que la Iglesia pudiera impedir la publicación de un libro y juzgar a su autor.
La condena a Galileo indignó a muchos de sus contemporáneos, pero no tanto por el
hecho de que se le juzgara como porque el juicio fue injusto. Lo que les escandalizaba
162 8. El telescopio y la Inquisición
era que se usaran pruebas más que dudosas para acreditar su presunta desobediencia
a las órdenes del Papa anterior, que se condenara como herejía una doctrina como
el heliocentrismo, que no se refería a materias de fe, o que se cambiara el criterio
tradicional de interpretación de las escrituras. El propio Galileo no era como Giordano
Bruno un rebelde contra la autoridad vaticana. No tenemos ningún motivo
para descon ar de su sinceridad cuando proclamaba que al defender que la Iglesia
no se comprometiera con ninguna teoría cientí ca lo hacía movido por su celo de
buen católico.
Por otra parte, tampoco debemos extrapolar nuestra actual certeza sobre el heliocentrismo
al año 1632. Hemos visto que Bellarmino tenía razón cuando señalaba que
no bastaba que la teoría de Copérnico salvara las apariencias de los movimientos
celestes para que fuera cierta, y exigía por eso una prueba concluyente del movimiento
de la Tierra para aceptarla. Galileo creyó encontrar esa prueba en su teoría de las
mareas, pero estaba en un error. Así que se da la paradoja de que, en la vertiente
cientí ca del caso, el teólogo Bellarmino acertó, al menos en cierto sentido, mientras
que el cientí co Galileo se equivocó.
Pero hay que añadir a esta paradoja otra adicional y complementaria: que fue el
cientí co quien a la postre acertó en la teología. Porque la Iglesia acabó reconociendo
la exégesis de Galileo y haciendo suyos los planteamientos de la Carta a Cristina de
Lorena, aunque con notable retraso: en la encíclica Providentissimus Deus del Papa
León XIII en 1893. En 1992, el papa Juan Pablo II a rmó explícitamente que el
juicio fue injusto, y que los teólogos estaban equivocados al forzar la interpretación
literal de las escrituras.
A los anacronismos sociológicos, cientí cos y teológicos en los que es fácil caer
al juzgar el caso Galileo hay que añadir otro, menos evidente, de orden losó co.
Hoy admitimos que las teorías cientí cas son siempre provisionales y no exigimos
para adoptar una que venga acompañada de una evidencia incontestable. En realidad,
sabemos que tal cosa es, en sentido estricto, imposible. Pero esta manera de
pensar era ajena a los teólogos y a los lósofos aristotélicos de la época, porque nació
precisamente con Galileo (recordemos su apelación a descontar los embalajes) y
se consolidó en los años siguientes. Por eso decía el historiador Owen Gingerich,
en la cita con la que abríamos el capítulo, que Galileo estaba infringiendo las reglas
admitidas de la ciencia, pero al hacerlo creó unas nuevas reglas, que han sido
aceptadas desde entonces. Bellarmino jugaba con las reglas de la época al exigir
pruebas, Galileo jugaba ya con las nuestras.
En este proceso fue clave la obra de Newton, que, como veremos en el capítulo
siguiente, tuvo tal poder explicativo que convenció a todos los cientí cos de la
realidad del heliocentrismo aunque seguía sin disponerse de ninguna prueba observacional
del movimiento de la Tierra: la primera fue la observación por Bradley, en
1729, de la aberración de la luz estelar; y sólo más tarde vendrían la medición de la
paralaje estelar por Bessel en 1838 y el péndulo de Foucault en 1851.
Capítulo 9
Newton: la mayoría de edad de la
ciencia
Nature and nature’s laws lay hid in night
God said Let Newton be and all was light1.
Alexander Pope
Decía Isaac Asimov que elegir al segundo cientí co más importante de la historia
era muy difícil: podían aducirse méritos comparables para Galileo, Darwin, Maxwell,
Arquímedes, Einstein, Pasteur… Pero si se trataba de elegir al primero, no había
ninguna duda: sólo podía ser Newton.
La obra de Newton es de una magnitud tal que convirtió toda la ciencia física
anterior a él en poco más que tanteos y anticipaciones imperfectas. Si nuestro
objetivo en este libro fuera exponer los resultados de esa ciencia, casi podríamos
ignorar a todos sus predecesores (que es lo que suelen hacer los libros de texto).
Pero, como dijimos en el prólogo, aquí pretendemos otra cosa distinta, que es entender
cómo funciona la ciencia. Y en esto la situación es la complementaria: casi
podríamos acabar nuestro recorrido histórico en Galileo, porque con él, como vimos
en el capítulo 7, nace la manera peculiar de mirar al mundo de la ciencia moderna.
Sin embargo, hay dos razones para dedicar un capítulo a Newton. La primera es
que el tema al que más espacio hemos dedicado, la historia del progresivo descubrimiento
de nuestro lugar en el mundo, desde la Tierra plana al heliocentrismo, es en
cierto modo la historia de un acertijo: ¾qué son esas luces que vemos por la noche
en los cielos, cómo y por qué se mueven, y qué tienen que ver con nosotros? Ese
acertijo sólo se descifró por completo cuando Newton consiguió deducir las leyes del
movimiento planetario, que Kepler había formulado a partir de las observaciones. Y
sería una pena dejar el acertijo a medias (más aún porque el modo en el que Newton
llegó a su solución es un magní co ejemplo de cómo razona un cientí co de primer
orden).
1La Naturaleza y sus leyes estaban ocultas en la noche / Dijo Dios, ½Que Newton sea! y todo
fue luz.
163
164 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
Pero Newton no se limitó a resolver ese problema, sino que proporcionó lo que
tanta falta hacía desde que Copérnico puso los cielos patas arriba: un nuevo sistema
del mundo, tan completo y coherente como el de Aristóteles, pero en el que todos los
nuevos descubrimientos encajaban por n. Y encajaban con una simplicidad y una
elegancia tan deslumbrantes que después de la publicación en 1687 de su obra magna,
los Principia Mathematica, el público culto de Europa no tardó en convencerse de
que el verdadero funcionamiento del universo había sido de nitivamente revelado.
En verdad, los célebres versos de Pope que abren este capítulo describen bien la
opinión de la época.
Esa es la segunda razón para detenernos en Newton. Después de familiarizarnos
en su momento con el mundo según Aristóteles, tenemos que entender este nuevo
mundo según Newton, la cosmovisión que ha dominado la ciencia hasta el siglo XX y
que aún hoy, pese a la Relatividad y la Mecánica Cuántica, sigue siendo la nuestra.
Una obra colosal
El sistema del mundo de Newton está fundamentado en dos pilares: la teoría de
la Gravitación Universal y una nueva ciencia de la mecánica, que completa y perfecciona
sustancialmente el trabajo que había desarrollado Galileo. Nos limitaremos
aquí a estos dos logros, pero no hay que olvidar que representan sólo una parte de
su obra. También inventó las matemáticas necesarias para edi car su sistema (el
Cálculo In nitesimal que hoy estudian todos los cientí cos e ingenieros) y realizó
avances trascendentales en óptica, como la demostración de que la luz blanca está
formada por superposición de rayos de colores y la construcción del primer telescopio
re ector (que al usar espejos en lugar de lentes evitaba la aberración cromática que
tanto molestó a Galileo).
Newton tuvo tiempo también para dedicarse a la alquimia y la teología con tanta
o más intensidad que a la ciencia. Hizo todos sus descubrimientos en solitario,
pero cuando le llegó el reconocimiento se convirtió en un personaje público, y fue
durante años miembro del parlamento, Director de la Casa de la Moneda y presidente
de la Royal Society, la principal institución cientí ca de la época. Tal cúmulo
de distinciones no fue acompañado, sin embargo, por un carácter agradable o una
personalidad atractiva. Nunca dejó de ser un hombre solitario, descon ado y agrio.
Polemizó con todos los grandes cientí cos que se cruzaron en su camino: Hooke, Leibniz
o el astrónomo real Flamsteed conocieron su ira, igual que los falsi cadores de
moneda, de cuya persecución y ajusticiamiento se ocupó con un celo sorprendente…
Pero no podemos ocuparnos aquí de esta personalidad compleja y de su obra
colosal. Lo que nos interesa es averiguar cual fue la solución al acertijo de los planetas
y la visión del mundo que surgió de los Principia. Vamos con lo primero.
9.1. Huygens, el precursor
Como vimos en los capítulos anteriores, fue un gran mérito de Galileo establecer
que un cuerpo no necesita para mantenerse en movimiento que actúe sobre él
continuamente ningún motor (como decía Aristóteles), es decir, ningún agente ex9.1
Huygens, el precursor 165
terno que realice sobre él una fuerza (como decimos hoy). Pero su idea de inercia
estaba equivocada porque creía que ese movimiento en ausencia de agentes externos
sería circular y uniforme. Fue Descartes quien señaló correctamente que sería rectilí-
neo y uniforme; es decir, con velocidad constante no sólo en magnitud (movimiento
uniforme) sino también en dirección (movimiento rectilíneo). Por tanto, las fuerzas
no son necesarias para mantener las velocidades, como creía Aristóteles, sino para
modi carlas ; en otras palabras, para producir aceleraciones.
Esto tenía una consecuencia inmediata: si los planetas describían órbitas cerradas,
más o menos circulares, sólo podía ser porque una fuerza los desviaba constantemente
de la trayectoria rectilínea. ¾En qué podía consistir esa fuerza? Kepler,
que ya había barruntado la idea, la asimiló a una emanación del Sol, similar a la
fuerza magnética. Pero para ir más allá de estas vagas intuiciones había que recorrer
un largo camino. Para empezar, ni siquiera existía todavía una noción cuantitativa
de fuerza como la que tenemos hoy en física; lo que se manejaba era más bien una
idea intuitiva de acción, presión o esfuerzo…
La aceleración centrípeta
Lo que sí podía cuanti carse, y eso ya era un punto de partida, era la aceleraci
ón que tendría un cuerpo que se moviera con movimiento circular y uniforme.
En este movimiento la velocidad cambia constantemente (no en magnitud, pero sí
en dirección), y eso signi ca que hay una aceleración. El primero que calculó esa
aceleración fue el holandés Huygens, el físico más brillante en el interregno entre
Galileo y Newton.
Centripeta.pdf
l r
R R
Figura 9.1: Esquema para la decucción de la aceleración centrípeta.
La idea puede verse en la gura 9.1. Supongamos un móvil que sigue la trayectoria
circular del dibujo. Si no actuara ninguna fuerza, se movería en línea recta, con
una velocidad constante v, y en un cierto intervalo de tiempo t habría recorrido la
trayectoria rectilínea l = vt. Pero en realidad, para mantenerse en la circunferencia
ha tenido que caer la pequeña altura r. De hecho, podría decirse que el objeto que
se mueve en círculo está cayendo constantemente hacia el centro.
166 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
Esta idea la expuso más tarde Newton de un modo muy grá co con un experimento
mental (hay dibujo célebre que apareció en sus Principia ilustrando esta idea;
gura 9.2). Imaginemos una alta montaña, desde la que un cañón horizontal dispara
una bala. El alcance del tiro depende de la velocidad inicial de la bala. Un cañón
más potente la lanzará más lejos, y si imaginamos cañones cada vez más potentes,
podríamos tener unos alcances de miles de kilómetros. El alcance podría ser tan
grande que la bala cayera en las antípodas… o incluso que no llegar a caer y se
mantuviera en órbita perpetuamente.
NewtonMountain.pdf
Figura 9.2: Cómo un tiro parabólico con su ciente velocidad inicial puede poner una bala de
cañón en órbita, según Newton.
Volvamos ahora al razonamiento de Huygens para ver cual deber ser la aceleraci
ón de caída con la que se consigue una trayectoria exactamente circular.
Habíamos hecho el dibujo 9.1, y es posible que le resulte familiar al lector, porque
en esencia, ½es el mismo que hizo Galileo para calcular la altura de las montañas en
la Luna! ( gura 8.1). La única diferencia es que lo que antes era la altura h de la
montaña ahora es la caída r, así que podemos usar el resultado que obtuvimos allí
para poner r = l2=2R (como antes, esta igualdad es aproximada, pero se hace exacta
cuando l es muy pequeño, es decir, cuando el intervalo de tiempo considerado es
muy breve, que es justo lo que nos interesa porque en realidad el móvil está cayendo
constantemente). Como l = vt, tenemos que r = v2t2=2R.
Por otra parte ya desde Galileo (pg. 140) sabemos que en el intervalo t el cuerpo
cae r = act2=2 siendo ac la aceleración de caída. Llegamos a que v2t2=2R = act2=2,
de modo que ac es simplemente
ac =
v2
R
Esta es la aceleración con la que tiene que caer constantemente hacia el centro un
objeto que tiene velocidad v para mantenerse en un círculo de radio R. Huygens
publicó este resultado en su obra Horologium oscillatorium, de 1673. Más tarde,
Newton (que había llegado a la misma conclusión independientemente, con otro
razonamiento) daría a ac el nombre de aceleración centrípeta, porque se dirige hacia
el centro del círculo.
9.1 Huygens, el precursor 167
La gigantesca centrifugadora terrestre
Veremos que esta sencilla fórmula nos va a llevar muy lejos. Una primera consecuencia
inesperada es que desbarata una pertinaz objeción contra el movimiento de
la Tierra: la que a rmaba que ese movimiento a gran velocidad lanzaría despedidos
a los objetos, como una gigantesca centrifugadora. Galileo no había conseguido neutralizar
este argumento: según su versión de la inercia, el movimiento circular era
natural y se mantendría inde nidamente, así que no lanzaría nada por los aires.
Pero todo el mundo sabía que la experiencia dice lo contrario: una piedra a la que
se da vueltas en una honda tiende a abandonar ese movimiento y salirse por la
tangente.
Hemos visto que en la Tierra esa tendencia podría compensarse por la tendencia
del cuerpo a caer, y la ecuación de Huygens permite afrontar el problema de manera
cuantitativa. Si sustituimos v por la velocidad que tiene un objeto sobre la super cie
de la Tierra (vamos a poner para el ecuador 40000 km divididos por 24 horas, lo que
da 432 metros por segundo) y R por el radio de la Tierra (6366 km) obtenemos un
valor de ac = 0:03 m=s2. Esa es la aceleración con la que tiene que caer hacia el centro
un objeto sobre la super cie de la Tierra para describir una circunferencia. Pero
resulta que cualquier objeto sobre la Tierra cae con una aceleración mucho mayor,
de aproximadamente g = 9:81 m=s2 (página 141). De modo que esa aceleración de la
gravedad es más que su ciente para mantener a los objetos sobre la super cie de la
Tierra (de hecho, ½es más de 300 veces mayor de lo necesario!). La única consecuencia
del giro de la Tierra es reducir ligeramente la aceleración aparente de la gravedad,
precisamente en el valor ac.
Lo que es cierto es que, si no hubiera gravedad, los objetos sí saldrían despedidos
en la dirección tangente, alejándose del centro de la tierra con una aceleración ac.
Para un observador sujeto a la Tierra, que compartiría el movimiento tangencial de
los objetos, éstos parecerían elevarse verticalmente con esa aceleración, así que desde
su punto de vista lo que habría es una aceleración centrífuga (en sentido opuesto
al centro) en vez de centrípeta. En cualquier caso, para que ese efecto centrífugo
venciera la tendencia de los cuerpos a caer, la tierra tendría que girar mucho más
deprisa: como el efecto es proporcional al cuadrado de la velocidad, para que los
cuerpos salieran despedidos en el ecuador el día tendría que ser unas 17 veces más
corto (ya que 172 300): debería durar hora y media.
Aplicaciones del reloj de péndulo
¾Cómo conocía Huygens el valor de g? Galileo no había sido capaz de medirlo con
sus planos inclinados, pero Huygens lo logró recurriendo a uno de los dispositivos
favoritos del italiano: el péndulo. Consiguió demostrar que si las oscilaciones son
pequeñas, su periodo vale
T = 2
s
l
g
lo que permite despejar el valor de g. Esta fórmula tiene una propiedad un tanto
sorprendente: T sólo depende de g y de la longitud del péndulo l, pero no de la
168 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
altura desde la que le soltamos para que empiece a oscilar. Es decir, las oscilaciones
tienen siempre el mismo periodo con independencia de cual sea su amplitud, con tal
de que ésta se mantenga pequeña. Esta propiedad era muy conveniente para usar el
péndulo como reloj (porque aunque las oscilaciones se amortigüen siguen durando
lo mismo), y de hecho Huygens se hizo famoso como inventor del reloj de péndulo,
que proporcionaba una precisión imposible de alcanzar hasta entonces. El único
inconveniente de esos relojes, además de soportar mal las vibraciones (ya vimos que
por eso no sirvieron para resolver el problema de medir la longitud en alta mar) era
que adelantaban o retrasaban si variaban l o g. Si por ejemplo subía la temperatura,
la dilatación aumentaba l, y el reloj atrasaba. Y lo mismo ocurría si disminuía g.
¾Pero puede variar g? Sí, cuando varía la latitud, precisamente por el efecto
centrífugo que hemos explicado un poco más arriba. En el polo, v = 0 y por tanto
ac = 0; pero si nos vamos desplazando hacia el ecuador v va creciendo, ac tambén,
y la aceleración aparente de la gravedad que actúa sobre el péndulo disminuye: un
reloj de péndulo graduado para ser exacto en París debería retrasar en el ecuador.
La gura de la Tierra
La predicción de Huygens la veri có enseguida el astrónomo Jean Richer en una
expedición a Cayena en los años 1671-73. La expedición fue pagada por la Académie
Royale des Sciences (que acababa de ser creada en 1666, pg. 70) y tenía por objeto
medir la paralaje de Marte, pero Richer aprovechó para con rmar el retraso del
reloj.
Aunque esto con rmaba de la teoría de Huygens, en realidad parte del retraso era
debido a otra causa: que la Tierra tiene un diámetro mayor en el ecuador, y al estar
más lejos del centro la gravedad disminuye. A principios del siglo XVIII, la medida
de la aceleración de la gravedad usando péndulos se convirtió en una técnica precisa
para medir la gura de la Tierra. El tema despertó gran interés porque la física
de Descartes predecía que el meridiano era ligeramente más largo que el ecuador
(exagerando: que la Tierra tenía forma de melón), mientras que la Newton predecía
lo contrario (una forma de calabaza). La razón que daba Newton era que el efecto
centrífugo acentuado en el ecuador habría impulsado un poco hacia fuera la Tierra
durante su periodo de formación, en el que suponía que había sido uida.
Era pues un punto decisivo en la polémica entre cartesianos y newtonianos, en
una época de rivalidad cientí ca entre Francia (por supuesto cartesiana) y Gran
Bretaña (naturalmente newtoniana). Como explicaba Voltaire, que estuvo exiliado
en Londres y conoció a Newton en 1736, ambas escuelas de pensamiento tenían
opiniones opuestas sobre casi todo:
Un francés que llega a Londres encuentra las cosas muy cambiadas en
losofía, como en todo lo demás. Ha dejado el mundo lleno; se lo
encuentra vacío. En París, se ve el universo compuesto de torbellinos de
materia sutil; en Londres, no se ve nada de eso. Entre nosotros, es la
presión de la Luna la que causa el ujo del mar; entre los ingleses, es el
mar el que gravita hacia la Luna, de tal forma que, cuando creéis que la
Luna debería darnos marea alta, esos señores creen que debe haber
9.2 La manzana y la Luna 169
marea baja; lo que desdichadamente no puede veri carse, pues habría
hecho falta, para aclararlo, examinar la Luna y las mareas en el primer
instante de la creación.
Notaréis además que el Sol, que en Francia no interviene para nada en
este asunto, contribuye aquí por lo menos en una cuarta parte. Entre
vosotros, cartesianos, todo sucede por impulso del que nada se
comprende; en el Sr. Newton, es por una atracción cuya causa no se
conoce mejor. En París, os guráis la tierra hecha como un melón; en
Londres, está aplastada por los dos lados. La luz, para un cartesiano,
existe en el aire; para un newtoniano, viene del sol en seis minutos y
medio. Vuestra química hará todas sus operaciones con ácidos, bases y
materia sutil; la atracción domina hasta en la química inglesa.
El propio Voltaire impulsó expediciones a Ecuador y Laponia para medir con
precisión el arco de meridiano y decidir la cuestión. Finalmente la Tierra resultó
estar achatada por los polos: Newton tenía razón, y acabó teniéndola en todas las
cuestiones en disputa.
Pero hemos adelantado acontecimientos. Ha llegado el momento de que entre en
escena nuestro protagonista.
9.2. La manzana y la Luna
Todo el mundo ha oído hablar de la manzana de Newton, cuya súbita caída le
inspiró la idea de la gravitación universal. A diferencia de otras historias ejemplares
que ya hemos mencionado, como la de Tales cayéndose en un pozo o Galileo subiéndose
a la Torre de Pisa, esta no es apócrifa. Fue el propio Newton el que la relató
en más de una ocasión. La versión más conocida es la de su biógrafo (y esposo de
su sobrina) John Conduitt:
En el año de 1666 se retiró de nuevo de Cambridge [a casa de su madre
en Lincolnshire] y mientras meditaba en el jardín se le ocurrió la idea,
al ver caer una manzana del árbol al suelo, de que el poder de la
gravedad no estaba limitado a una cierta distancia de la Tierra, sino
que se extendía mucho más allá de lo que solía pensarse. ¾Por qué no
hasta la altura de la Luna, se dijo, de manera que la in uyera en su
movimiento y quizá la retuviera en su órbita?
No es extraño que esta anécdota se haya repetido in nidad de veces, pero tampoco
en este caso los historiadores le dan mucho crédito. El estudio de los papeles
de Newton ha demostrado que se peleó durante años con la idea de gravitación
universal, y como hemos visto, la idea de que hace falta una fuerza para mantener
a los planetas en sus órbitas no era nueva: Kepler, y sobre todo Huygens, habían
adelantado mucho trabajo en esa línea. Sin duda, cuando Newton era ya un anciano
colmado de honores, prefería contar de esa manera grá ca la historia, como
un genial destello de inspiración, y obviar los años de transpiración, suyos y de sus
predecesores.
170 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
Quizá el predecesor más destacado fue un contemporáneo del propio Newton:
Robert Hooke. Inspirado por la comparación que hacía Kepler de la acción del Sol
con la fuerza magnética, concibió la idea de que el Sol atraía a los planetas con una
fuerza que disminuía gradualmente con la distancia. Pero a diferencia de Kepler,
(ver pg. 124), pensó que esa fuerza se propagaba por todo el espacio y no sólo por el
plano de las órbitas. Al repartirse por esferas cada vez más grandes; y cómo el área
de la esfera crece en proporción al cuadrado del radio, la fuerza debería disminuir
con el inverso del cuadrado.
Hooke no fue el único que propuso una fuerza así; por esa época, otros, como
Edmond Halley, también lo sospechaban. Pero Hooke presumía de poder derivar
las leyes del movimiento de los planetas a partir de su hipótesis. Nunca mostró
su presunta deducción, pero acusó a Newton de plagio cuando éste publicó sus
Principia, y se ganó así su feroz enemistad; una inquina mutua que sólo terminó con
el fallecimiento de Hooke en 1703, cuando Newton tenía 60 años.
En cualquier caso, la historia de la manzana resume muy bien cuál fue la
aportación clave de Newton: concebir la idea de que esa fuerza que mantenía a
la Luna en su órbita era la misma que hacía caer las manzanas, nuestra vieja conocida
la gravedad. Pero si hoy atribuimos el mérito a Newton y no a Hooke, es porque
Newton hizo mucho más que proponer una idea brillante. No bastaba con tener la
idea: había que demostrar que realmente funcionaba, y Newton lo hizo con creces.
Aquí sólo podremos ver una pequeña parte de sus descubrimientos, pero será
su ciente para apreciar mejor su logro.
9.3. Todo encaja
Lo que hace prometedora a la idea de que la gravedad llega hasta la Luna es que
sabemos que para mantener a ésta en órbita hace falta una fuerza centrípeta, y la
fuerza de la gravedad es justo de ese tipo: apunta hacia el centro de la Tierra, que
es también el centro de la órbita de la Luna.
Ahora se trata de con rmar esa intuición. Newton empezó por hacer unas cuentas
que podemos reproducir nosotros. Si conocemos el periodo de revolución de la
Luna (27.3 días) y su distancia a la Tierra (unas 60 veces el radio de la Tierra)
podemos usar la ecuación de Huygens para la calcular la aceleración de caída que
tiene que tener la Luna para mantenerse en órbita. Obtenemos ac = 0:0027 m=s2,
un valor 3600 veces menor que el de la aceleración de la gravedad sobre la tierra
(g = 9:81 m=s2).
Este resultado nos dice más cosas de las que parece. Ante todo, es mucho menor
que g, lo que indica que, si la gravedad es quien mantiene a la Luna en su órbita,
debe decrecer con la distancia, y bastante rápidamente: un aumento de un factor
de 60 en la distancia se corresponde con una disminución de un factor de 3600 en
la aceleración de caída… ½Pero 3600 es justamente el cuadrado de 60! Al menos en
este caso, la aceleración es inversamente porporcional al cuadrado de la distancia.
Sin emabrgo, este resultado no es el que encontró Newton, porque él no tenía
valores precisos para los datos: encontró un factor de 4000 entre g y la aceleración
centrípeta de la Luna. Pero tenía bien aprendidas las lecciones de Galileo, y la falta
9.3 Todo encaja 171
de acuerdo no le desanimó: al contrario, juzgó que era un ajuste bastante bueno
con la ley del cuadrado inverso. Y buscó alguna manera de con rmarla.
Kepler, por n explicado
Llegado a este punto, Newton ya tenía un sencillo modelo matemático. Sospechaba
que la fuerza de la gravedad cumplía dos condiciones: apuntaba hacia el centro
del círculo y causaba una aceleración inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia. Siguiendo el método de Galileo (Figura 7.1) deberíamos ahora encontrar
qué consecuencias tiene este modelo y buscar si se con rman, es decir, si se ajustan
a las observaciones. Pero si nos limitamos a la Luna, no tenemos mucho más
que ajustar. Necesitamos más datos, y esos datos nos los pueden proporcionar los
planetas.
Newton generalizó inmediatamente su modelo: si la gravedad de la Tierra
mantiene a la Luna en órbita, ¾por qué no atribuir una gravedad análoga al Sol,
que mantuviera a los planetas en sus órbitas? Esto nos fuerza a confrontar el modelo
con las leyes de Kepler, que resumían todo lo que se sabía sobre los movimientos
planetarios.
Dejemos de lado de momento la primera ley y empecemos por la segunda. Recordamos
que al moverse el planeta el segmento que lo enlaza con el Sol barre áreas
iguales en tiempos iguales; como vimos en la sección 6.5, Kepler dedujo esta ley por
un procedimiento equivocado, en el que varios errores milagrosamente se cancelaban.
Newton fue capaz de deducirla correctamente por primera vez.
NewtonKepler.pdf
P Q R
P’ Q’
h
O
Figura 9.3: Un planeta no sometido a fuerzas se mueve con velocidad constante (los puntos P,
Q, R prepresentan sus posiciones a intervalos regulares de tiempo). Si está sometido a una
fuerza
que apunta al centro O, al cabo del primer intervalo de tiempo estrá en Q0 en vez de en Q. El
área
de los triángulos OPQ y OPQ0 es la misma.
Supongamos ( gura 9.3) un planeta en el punto P. Si sobre él no actúa ninguna
fuerza, se mueve con velocidad constante, y en un corto intervalo de tiempo se habrá
trasladado a Q, en otro intervalo igual a R, etc. De ne así con el Sol (situado en
O) una serie de triángulos, OPQ, OQR, etc. Todos estos triángulos tienen la misma
base (PQ = QR, etc) y la misma altura (h). Por tanto, su área es siempre PQ h=2:
172 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
las áreas barridas en tiempos iguales son iguales. Hemos encontrado que si no hay
fuerzas se cumple la ley de Kepler… ½pero obviamente nos interesa el caso en el que
sí hay fuerzas!
Si hay una fuerza central, es decir, que apunta al centro O de la órbita, durante
el tiempo que consideramos el planeta habría caído desde P hasta cierto punto P0.
Pero el planeta está a la vez desplazándose tangencialmente; si superponemos ambos
desplazamientos, el resultado conjunto es que el planeta no estará en Q como cuando
no había fuerzas, sino en Q0. Así que si existe esa fuerza, el área barrida es el de
PQ0O. Podemos ver cuando vale si descomponemos PQ0O en dos triángulos, P’Q'O
y P’Q'P. Ambos tienen la misma base P0Q0, que es igual a la base PQ de PQO, y
la suma de sus alturas es h, igual a la altura de PQO. Por tanto, la suma de sus
áreas es el área de PQO: las áreas de PQ0O y PQO son iguales.
Hemos probado así que la introducción de una fuerza central no cambia el área
barrida en un intervalo de tiempo determinado. Como este área era ya constante
para el caso en el que no había fuerza, sigue siendo constante cuando hay una fuerza
central. Por tanto, si la fuerza es central, se cumple la segunda ley de Kepler.
Nos queda por examinar la segunda condición que ponía Newton a la fuerza de
la gravedad: la dependencia inversa con el cuadrado de la distancia. Supongamos
pues que la aceleración de la gravedad para un planeta a distancia R del Sol es
ag = cte=R2, donde cte tiene el mismo valor para todos planetas. Si los planetas se
mantienen en órbita, que suponemos circular, esa aceleración debe ser la aceleración
centrípeta ac = v2=R. Para un planeta, v = 2R=T , de modo que ac = 42R=T 2.
Igualando ahora ag con ac,
cte
R2 =
42R
T2 y por tanto,
cte
42 =
R3
T2
Si la gravedad decrece con el cuadrado de la distancia, el cociente R3=T 2 debe ser
el mismo para todos los planetas. ½Pero este resultado es justamente la tercera ley
de Kepler!
Newton demostró de esta manera las leyes segunda y tercera de Kepler a partir
de la suposición de que los planetas están sometidos a una atracción gravitatoria
dirigida hacia el Sol e inversamente porporcional al cuadrado de la distancia. Pero
además, no es difícil hacer la demostración en sentido contrario: las leyes de Kepler
implican una fuerza como la que suponía Newton (el lector lo puede pensar por sí
mismo o consultar las notas al nal del libro). En de nitiva, las dos suposiciones
de Newton sobre la gravedad quedaban con rmadas del modo más fuerte posible,
porque son equivalentes a las leyes segunda y tercera de Kepler.
Más allá de los círculos
Pero ¾y la primera ley de Kepler? Newton consiguió demostrar que también es
una consecuencia de la ley de inversa del cuadrado, y extendió para una elipse la
demostración de las otras leyes (aquí hemos supuesto órbitas circulares). En realidad
demostró algo más general: que las órbitas tenían que secciones cónicas. Es decir,
círculos o elipses, pero también parábolas o hipérbolas; cualquiera de la familia de
curvas que se obtienen al cortar un cono por un plano y que describió Apolonio de
9.3 Todo encaja 173
Perga en el siglo III a.d.C. La demostración requiere unas matemáticas bastante
más complicadas de las que hemos usado aquí; en realidad, más complicadas de las
que nadie, excepto Newton, conocía en aquella época.
La di cultad del problema y la superioridad de Newton sobre sus contemporáneos
las ilustra muy bien una anécdota famosa. Ya vimos que tanto Hooke como Halley
sospechaban que la fuerza del Sol era inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia. Sir Christopher Wren, el célebre arquitecto de la catedral de San Pablo,
era amigo de ambos y los instigó, ofreciendo una recompensa, a que demostraran
que de esa fuerza se podía deducir el movimiento de los planetas. Halley reconoció
que no era capaz de hacerlo, mientras Hooke a rmaba que sí, pero se negó a aportar
ninguna prueba. Seis meses más tarde, Halley acudió a Cambridge a consultar a
Newton. Tenemos un relato casi contemporáneo del encuentro, escrito por Abraham
de Moivre:
Después de estar juntos algún tiempo, el doctor Halley le preguntó cuál
pensaba que debía ser la curva descrita por los planetas suponiendo que
la fuerza de atracción hacia el Sol fuese recíproca al cuadrado de su
distancia a él. Sir Isaac repuso inmediatamente que sería una elipse. El
doctor, atónito de júbilo y sorpresa, le preguntó cómo lo sabía. Porque,
respondió, lo he calculado. Ante lo cual el doctor Halley le pidió sus
cálculos sin más demora. Sir Isaac miró entre sus papeles sin poder
hallarlos, pero prometió volverlos a hacer, y luego enviárselos.
Era el año 1684 y Newton ya tenía fama por algunos de sus trabajos de matemáticas
y óptica, y por haber inventado el telescopio re ector. Pero no había publicado
nada de lo que le había sugerido casi veinte años antes la caída de la manzana, y
por eso su respuesta sorprendió tanto a Halley. La visita llevó a Newton a pensar
de nuevo sobre el asunto y al cabo de tres meses le envió un breve tratado, titulado
De motu corporum. Halley lo leyó con entusiasmo y consiguió convencer a Newton
de que ampliase esas pocas páginas en un libro que desarrollara por completo sus
ideas. Al cabo de tres años de trabajo agotador, Newton había completado la obra
más in uyente de la historia de la ciencia: los Principios matemáticos de la losofía
natural (Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ) conocidos universalmente
como Principia.
Las leyes del movimiento
Los Principia empezaban exponiendo los axiomas del movimiento que hoy
conocemos como Leyes de Newton. La primera ley era la de la inercia rectilínea:
Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo
a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado.
La segunda ley es probablemente la más usada por los estudiantes de física. En
su enunciado moderno, es la famosa ecuación fuerza igual a masa por aceleración:
F = ma. En lo que no suelen caer los estudiantes en que esta ley es en realidad una
de nición, justamente la de nición cuantitativa de fuerza que no teníamos hasta
ahora. Hasta aquí, la ley de la inercia nos había llevado a decir que una fuerza es
174 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
lo que produce un cambio de velocidad, y por eso hemos medido la intensidad de
una fuerza (como la centrípeta o la gravitatoria) por la aceleración que produce.
Sin embargo, identi car sin más fuerza = aceleración no cuadra con nuestras
ideas intuitivas: está claro que para producir una misma aceleración hace falta más
fuerza en un objeto grande que en un objeto pequeño. La manera más sencilla
de tener esto en cuenta es de niendo la fuerza como el producto de la cantidad de
materia por la aceleración. Así, ante una misma fuerza, cuanta más materia contenga
el objeto menos aceleración adquirirá.
Newton llamó masa a la cantidad de materia, y dijo que venía dada por el producto
de densidad por volumen… de nición que parece obviamente circular, porque
¾qué es la densidad, sino la masa dividida por el volumen? Aún así, podemos hacer
que la de nición sea útil. Consideremos diversos objetos de una misma sustancia X.
Es fácil medir sus volúmenes, pero para saber su masa necesitaríamos su densidad.
Pues bien, hagamos por convenio que su densidad sea 1 y ya está resuelto el problema.
Si tenemos otra sustancia Y, podemos determinar su masa por comparación con
la de la sustancia X, por ejemplo con una balanza (cuando la balanza se equilibre,
tenemos la misma masa de las dos sustancias). Puede parecer que estamos haciendo
trampa (¾por qué la densidad de X va a ser 1?¾porque lo digamos nosotros?)
pero eso es justamente lo que se hace: piense el lector en la casualidad de que la
densidad del agua sea exactamente un gramo por centímetro cúbico.
La idea clave es que, al hacer que la densidad del agua sea igual a 1, simplemente
estamos jando el tamaño de nuestra unidad de medida. Cualquier valor habría sido
igualmente válido; si hubiéramos puesto por ejemplo 10, simplemente todas las masas
nos saldrían 10 veces más grandes, pero por lo demás no cambiaría nada, igual que
no cambia nada porque midamos las longitudes en metros en lugar de en centímetros
(o pies, pulgada, yardas…)
Antes de Newton la cantidad de materia se medía por el peso, y la pesadez era la
tendencia a buscar el centro del mundo, como decía Aristóteles. Con el planteamiento
de Newton, esa tendencia es una fuerza, que disminuye con el cuadrado de la
distancia al centro de la Tierra, así que depende de la posición y no sirve para medir
la cantidad de materia. Por eso era imprescindible la distinción, que surge aquí por
primera vez, entre masa y peso. El peso de una masa m es la fuerza F = mg (masa
por aceleración) con la que es atraído por la Tierra.
Esta distinción es fundamental, pero si se había pasado por alto era por una muy
buena razón: por el hecho, en el que tanto había insistido Galileo, de que los objetos
caen a la vez con independencia del tamaño. Esto signi ca que dos masas distintas,
m y m0, sufren la misma aceleración de caída: a = a0 = g. Como los respectivos
pesos son F = mg y F0 = m0g, vemos que los pesos son proporcionales a las masas:
era inevitable que se confundieran.
Eso sí, si cambiamos de posición y nos alejamos de la Tierra, el factor de
propocionalidad g cambia. En realidad, como habíamos establecido que g = cte=r2,
llegamos a que la fuerza con la que la Tierra atrae a una masa m es:
Fgravedad sobre un cuerpo de masa m FT!m = cte
m
r2
La tercera ley de Newton está relacionada con la experiencia cotidiana de una
manera mucho más directa que la primera o la segunda. Cuando tiramos de una
9.3 Todo encaja 175
cuerda, notamos que la cuerda tira de nosotros; cuando apretamos la pared con la
mano, notamos que la pared aprieta nuestra mano. Si no tiramos o apretamos, la
cuerda o la pared no ejercen ninguna acción sobre nosotros. Newton formula esta
experiencia diciendo que cuando un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B,
el cuerpo B ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre A (la llamada fuerza
de reacción).
Este principio de acción y reacción es el que explica que nadie haya podido
nunca levantarse por los aires tirando de los cordones de sus zapatos: los brazos
tiran de los cordones hacia arriba, pero los cordones tiran de los brazos hacia abajo
exactamente en la misma medida. Sin embargo, sí que podemos elevarnos dando un
salto: en realidad, lo que hacemos es empujar el suelo hacia abajo, y es la reacción
de éste la que nos impulsa hacia arriba.
Del principio de acción y reacción a la gravitación universal
La tercera ley dice, en de nitiva, que las fuerzas son interacciones. Y eso tiene
una consecuencia importante sobre la gravedad: si la Tierra hace fuerza sobre un
cuerpo, entonces el cuerpo tiene que hacer la misma fuerza sobre la Tierra:
Fque hace un cuerpo de masa m sobre la Tierra Fm!T = FT!m
Esta fuerza sólo puede ser también una gravedad, pero ahora el sentido de la
palabra ha cambiado. Ya no es la tendencia a caer hacia la Tierra de los cuerpos,
sino la fuerza recíproca que se ejercen entre sí los cuerpos y la Tierra. La Tierra atrae
a la manzana, pero la manzana atrae a la Tierra exactamente en la misma medida.
No vemos que la Tierra suba hacia la manzana porque su masa es inmensamente
mayor, y la aceleración que experimenta para la misma fuerza es, en consecuencia,
inmensamente menor.
Ahora bien, si como hemos visto la fuerza de atracción de la Tierra sobre una
manzana es proporcional a la masa m de la manzana,
FT!m = cteT
m
r2
la manzana debería atraer a la Tierra con una fuerza análoga; es decir, proporcional
a la masa M de la Tierra:
Fm!T = ctem
M
r2
(hemos escrito cteT y ctem porque las dos constantes serán en principio distintas:
cteT es propia de la Tierra y ctem propia de la manzana).
Pero ambas son fuerzas de acción y reacción, así que Fm!T = FT!m. Hay una
manera sencilla de conseguir esto: que la fuerza sea proporcional al producto de las
masas. Así,
Fm!T = FT!m = G
Mm
r2
donde la nueva constante G es la misma para la manzana y para la Tierra (de manera
que cteT = GM y ctem = Gm).
176 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
En realidad, llegados a este punto resulta natural aventurar que las manzanas
no sólo atraerán a la Tierra, sino que se atraerán unas a las otras, y puesto que
las manzanas no tienen nada de especial, ¾por qué no se van a atraer mutuamente
todos los objetos?
Hemos llegado a la idea de la gravitación universal : todos los objetos se atraen
mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa (la constante
G de proporcionalidad, igual para todos los cuerpos, es la constante de gravitación
universal).
Esta es una idea grandiosa: la gravedad no es ya un poder que tiene el Sol sobre
los planetas, o la Tierra sobre la Luna y las manzanas. Es una acción mutua de
cualquier brizna de materia sobre cualquier brizna de materia, estén donde estén.
Una hormiga en la Tierra atrae a una roca en Marte y viceversa, Saturno atrae a
Júpiter y viceversa, mi cabeza a atrae al Sol, y viceversa… así, ad in nitum. Todo
in uye sobre todo.
Grandes problemas y grandes soluciones
Pero tan grandiosa idea llevaba aparejadas di cultades también grandiosas. En
primer lugar, de tipo técnico. Que la Tierra atrajera a los objetos con una fuerza
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a su centro era una idea
matemáticamente sencilla. Pero ahora los objetos son en realidad atraídos por todas
las partículas que forman la Tierra, una situación bastante distinta y mucho más
complicada ( gura 9.4). Newton tuvo que demostrar, en un tour de force matemático,
que la resultante de todas esas fuerzas, para una Tierra esférica, es la misma que
si toda su masa de se acumula en un punto en su centro.
GravUniversal.pdf
(a) (b)
Figura 9.4: (a) La gravedad concebida como una atracción ejercida por la Tierra, inversamente
proporcional al inverso del cuadrado de la distancia al centro. (b) La gravitación universal:
cada
pequeña porción de la Tierra ejerce una fuerza sobre el cuerpo, y viceversa.
Igualmente, el movimiento de los planetas se complicaba. Newton había deducido
las leyes de Kepler para un planeta atraído por el Sol, pero ahora el planeta también
atraía al Sol. Y era además atraído por todos los demás planetas, que estaban
9.3 Todo encaja 177
a distancias muy variables. El problema de predecir sus posiciones adquiría una
enorme complicación. Los mejores matemáticos de los siglos XVIII y XIX intentaron
resolverlo en vano. Finalmente se demostró que no había solución exacta ni siquiera
para el caso de tres cuerpos (por ejemplo, el Sol y dos planetas). Lo más que podía
obtenerse eran soluciones aproximadas.
Aún así, esas aproximaciones resultaron ser un gran avance sobre las leyes de
Kepler, y toda una nueva ciencia, la Mecánica Celeste oreció y tuvo éxitos espectaculares,
como el descubrimiento del planeta Neptuno en 1846, cuya existencia
había sido predicha (independientemente) por los matemáticos Adams y Le Verrier
estudiando el movimiento de Urano. El descubrimiento de Urano por Sir William
Herschel en 1781 había sido de por sí un gran acontecimiento: era el primer nuevo
planeta desde la Antigüedad. Cuando se estudió su órbita en detalle, se encontró
que no se ajustaba a lo que predecía la gravitación universal y las leyes de Newton.
Los astrónomos se plantearon que posiblemente un planeta desconocido, más
lejos del Sol, perturbaba su movimiento. Adams y Le Verrier consiguieron calcular
la trayectoria de ese hipotético planeta, y cuando Johann Galle, del Observatorio
de Berlín, dirigió su telescopio al punto señalado por los matemáticos, encontró el
nuevo planeta. Difícilmente podía imaginarse una con rmación más contundente de
la teoría de Newton.
Pero en aquellas fechas nadie pensaba ya que hicieran falta más con rmaciones:
precisamente por eso los astrónomos al enconcontrase con el movimiento irregular
de Urano no descon aron de las leyes de Newton sino del número de los planetas.
El descubrimiento de Neptuno era uno más en una serie de éxitos de la idea de
gravitación universal, que había comenzando con las aplicaciones desarrolladas por
Newton ya en los Principia. Allí había conseguido explicar el complicado movimiento
de la Luna (difícil precisamente porque, al estar la Tierra y la Luna cercanas, no
pueden tratarse como puntos, y para obtener resultados precisos hay que tener en
cuenta la atracción mutua de todos los puntos de una y otra); había predicho correctamente
la forma ligeramente achatada de la Tierra, y había conseguido explicar
la precesión de los equinoccios (un misterio conocido desde Hiparco, casi dos mil
años antes, pg. 107) por la acción de la Luna sobre esa Tierra achatada, que hace
moverse lentamente al eje de la Tierrra. Y por supuesto, había explicado las mareas.
Otra vez las mareas
Ante todo, la física de Newton dejaba bien claro por qué era errónea la explicación
de Galileo (pg. 160). En una Tierra inmóvil obviamente el mar tendría la misma
altura en todos los puntos. Si ahora ponemos a girar la Tierra, el efecto centrífugo
producirá un ligero levantamiento del mar, máximo en el ecuador y gradualmente
menor para latitudes mayores (el mismo efecto que explicaba el achatamiento de la
Tierra por los polos, suponiendo que ésta era uida en el tiempo de su formación).
Pero no habrá ninguna marea, porque el levantamiento será el mismo a lo largo
de todo el ecuador. Ahora, nalmente, añadamos el movimiento de traslación a la
Tierra: al tratarse de un movimiento en bloque de la Tierra, la ley de la inercia
garantiza que no puede tener ningún efecto observable.
La explicación de Newton puede entenderse con referencia a la Figura 9.5. Arriba
178 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
Mareas.pdf
2 0 1
a2 a0 a1
T
L
(a)
2 1
a’2 a’1
0 2 1
(b)
Figura 9.5: Arriba (a): la fuerza de atracción de la Luna crea diferentes aceleraciones a1, a0
y
a2 en los puntos 1, 0 y 2. Abajo (b): las aceleraciones relativas a la Tierra a01 y a02 son las
que se
obtienen restando a esas aceleraciones la aceleración de la Tierra, a0. El efecto neto es que
tanto
en 1 como en 2, la Luna tiende a reducir el peso, y por tanto, el mar asciende en relación a
los
puntos en los que no se da este efecto (que estarían sobre un meridiano a mitad de camino entre
1 y 2).
(a) se han representado las aceleraciones debidas a la atracción de la Luna en los
puntos 1 y 2, sobre la super cie de la Tierra, y 0, en su centro. La aceleración es
menor cuanto más lejos estamos de la Luna. Pero para un observador en la Tierra,
lo que cuentan son las aceleraciones con respecto a la Tierra; es decir, hay que restar
la aceleración a0 del centro de la Tierra. Obtenemos así a01 = a1 a0 y a02 = a2 a0.
Obviamente, a00 = a0 a0 = 0 porque la Tierra parece en reposo vista desde la
propia Tierra. Como a0 > a2, obtenemos que a02 es negativo, lo que signi ca nada
más que apunta hacia la izquierda, como se ha dibujado en (b).
Estas aceleraciones a02 y a01 se superponen a la aceleración de la gravedad, y hacen
que los objetos situados frente a la Luna (posición 1) o diametralmente opuestos
(posición 2) pesen un poquito menos. El efecto sólo se nota en el océano, que por
ser uido puede moverse libremente. Al girar la Tierra a lo largo del día, las partes
que van pasando por la posición 1 y 2 son las que están en marea alta: hay dos al
día, y no una como predecía Galileo.
9.4. Hypotheses non ngo
Hemos examinado las di cultades técnicas que planteaba convertir la idea de la
gravitación terrestre (o solar) en gravitación universal. No hacen falta más ejemplos
para apreciar el genio extraordinario con el que Newton abordó esas di cultades:
resolvió todos los principales problemas y convirtió cada solución en un nuevo éxito
de su teoría.
9.4 Hypotheses non ngo 179
Pero la gravitación universal también planteaba serios problemas losó cos. Para
entenderlos vamos a empezar por una cuestión más sencilla, que enseguida nos llevará
al problema más general.
Por qué nadie había asociado la manzana con la Luna
Los libros de divulgación suelen presentar la teoría de la gravitación universal
como salida íntegramente, con armas y bagajes, de la cabeza de Newton (como
Minerva de la cabeza de Zeus). Al conocer el trabajo de Huygens y las intuiciones
precursoras de otros autores como Kepler y Hooke, puede parecer que al n y al
cabo Newton no fue tan genial. Una vez que Huygens había concebido la idea de
que la Luna estaba cayendo hacia la Tierra para mantenerse en órbita, ¾no debía
ser obvio que era la gravedad la que la hacía caer? ¾Cómo es posible que nadie antes
de Newton tuviera la idea de que la gravedad llegaba a la Luna?
Esta es una cuestión que sólo puede entenderse si la miramos con los ojos de la
época. Cuando hoy usamos la palabra gravedad, tenemos en mente en concepto de
gravedad que surgió con Newton. Pero gravedad era simplemente la palabra latina
para pesadez, la tendencia del elemento tierra a buscar su lugar natural en el centro
del mundo, opuesta a la levedad que hace subir al fuego. Pensar que la Luna era
afectada por la gravedad de la Tierra era inimaginable en el marco aristotélico en
el que la Luna y la Tierra pertenecían a mundos diferentes y ni siquiera estaban
hechas de la misma materia.
Después de Galileo el aristotelismo quedó de nitivamente desprestigiado en el
campo de la ciencia, o, como se decía entonces, de la losofía natural. Cundió la
idea de que el viejo aristotelismo debía ser reemplazado por una nueva losofía
mecánica, construida según los principios que habían inspirado a Galileo. Pero en
ese nuevo marco tampoco iba a ser fácil aceptar la idea de Newton.
Los promotores de la losofía mecánica conviertieron en una cuestión de principio
abandonar cualquier tipo de propiedades ocultas en el estudio de la naturaleza
(aquellas simpatías, antipatías e in uencias que para Galileo no eran más que
una máscara de la ignorancia, pg. 133). John Locke formuló esta idea a rmando
que sólo las magnitudes cuanti cables, las llamadas propiedades primarias como
extensión, movimiento, número y gura, podían tener cabida en la ciencia, pues eran
las únicas objetivas, a diferencia de propiedades secundarias como color, sabor,
sonido… que eran subjetivas y estaban, por así decirlo, en la mente del observador.
Descartes fue aún más lejos, considerando que la extensión era el único atributo de
la materia (la llamó res estensa), y predicando que estaba radicalmente separada de
la mente (la res cogitans). Sobre esa base construyó un ambicioso sistema del mundo
que, como ya mencionamos, acabó fracasando, pero fue muy in uente en su época.
Todos los defensores de la losofía mecánica, partidarios o no del sistema de
Descartes, estaban de acuerdo en una cosa: que eliminar las propiedades ocultas
de Aristóteles implicaba que la materia era inerte, y sólo podía actuar por contacto
o por presión. Que un cuerpo (como la Tierra) pudiera tener efectos sobre cuerpos
que no estaban en contacto con él (como la Luna) era poco menos que magia, algo
incompatible con los fundamentos de la ciencia. De este modo quedó proscrita la
acción a distancia.
180 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
Para Descartes, decir que un hierro se movía hacia un imán porque el imán
ejercía una fuerza atractiva era no explicar nada: seguía siendo lo mismo que decir,
como Aristóteles, que la piedra cae porque busca su lugar natural (o decir, como el
médico de Molière, que el opio produce sueño porque posee un poder dormitivo). Una
auténtica explicación tenía que basarse en el efecto de fuerzas, y las únicas fuerzas
inteligibles eran las de contacto: cuando un objeto choca con otro o lo empuja.
Así, por ejemplo, Descartes postulaba que el efecto del imán se debía a que emitía
partículas en forma de tornillo, que empujaban al hierro al introducirse en él a través
de canales microscópicos, y explicaba la gravedad por la presión de los torbellinos
de materia sutil de los que hablaba Voltaire.
En resumen: cuando Galileo uni có los mundos sublunar y supralunar, se abrió
la puerta a extender la gravedad hasta la Luna, pero fue cerrada inmediatamente
porque la losofía mecánica no admitía la acción a distancia.
La virtud de no ngir hipótesis
Newton era muy consciente del clima intelectual de su época, y sabía que era
imposible que los lósofos mecánicos aceptaran su concepto de gravitación universal.
Hoy nos cuesta entender esta oposición tan frontal, pero es porque se trata de
uno de esos conceptos que hemos aceptado en el colegio y nunca nos hemos vuelto
a cuestionar. Pero deberíamos preguntarnos qué pensaríamos si alguien nos dijera
algo así: Todo está conectado con todo. La partícula más pequeña actúa sobre todos
los demás objetos del universo, aunque estén a millones de kilómetros, y de alguna
manera sabe en cada momento a qué distancia están y cuál es su masa, para ajustar
en consecuencia la intensidad de su acción . Probablemente nos parecería pseudociencia
de la peor especie, cháchara New Age en la línea de tú puedes sintonizar
con la energía positiva del universo o cosas por el estilo.
Pero justo eso es lo que dice la gravitación universal, y justamente así es como
sonaba a los lósofos naturales de la época, aunque su referencia no fuera la New
Age sino las a nidades y oposiciones de Aristóteles y a la tradición ocultista de la
alquimia y los herméticos seguidores de Hermes Trismegisto.
Ciertamente Newton estuvo muy interesado en la alquimia, tanto por lo menos
como en la mecánica, y hay historiadores que han sugerido que ese interés le habría
preparado para concebir la idea de una acción a distancia universal, o por lo menos,
para encontrarla aceptable.
Es posible, pero en cualquier caso Newton siempre defendió vigorosamente que
todo lo que publicó era ciencia, no especulaciones, y dejó para los críticos un famoso
escolio (comentario) en los Principia el que gura la frase lapidaria hipotheses non
ngo: no njo hipótesis. Con esto quería decir que su trabajo había sido guiado por
la observación y el experimento, y no por principios metafísicos de ningún tipo.
Newton está aquí polemizando con Descartes, y el propio título de Principia
Mathematica era una declaración de principios opuesta a los Principia Philosophiae
del francés. Lo que hay de fondo es una disputa sobre el legado de Galileo, al que
ambos admiraban grandemente pero del que daban interpretaciones opuestas. Para
Descartes, su mérito radicaba en establecer que las explicaciones en ciencia debían
omitir las propiedades ocultas de Aristóteles y ceñirse a causas de tipo mecánico.
9.4 Hypotheses non ngo 181
Para Newton, por el contrario, de lo que se trataba era de no postular prematuramente
causas de ningún tipo. Explicar el magnetismo por el efecto de partículas en
forma de tornillo emitidas por los imanes o la gravedad a partir de la presión de
remolinos en el éter, como hacía Descartes, era recurrir a hipótesis. Newton llamaba
así a proposiciones tales que ni son un fenómenos ni son deducidas de ningún
fenómeno, sino presumidas y supuestas sin ninguna base experimental.
Para Newton, esas hipótesis podían ser una guía para la imaginación, pero no
teniendo ninguna seguridad de que fueran las verdaderas causas, nada en el contenido
de la ciencia debería depender de ellas. Sólo tenían cabida deducciones que partieran
no de hipótesis sino de principios establecidos a partir de la experiencia:
Esas cualidades ocultas pusieron un freno al desarrollo de la losofía de
la naturaleza y, por tanto, han sido rechazadas en los últimos años.
Decirnos que cada especie de cosas está dotada de una cualidad
especí ca oculta por la que actúa y produce sus efectos mani estos, es
no decirnos nada. Pero derivar dos o tres principios generales del
movimiento de los fenómenos, y decirnos después cómo las propiedades
y acciones de todas las cosas corpóreas se siguen de estos principios
mani estos, sería un gran paso en la Filosofía, aunque las causas de
esos principios no hubieran sido descubiertas aún; y, por tanto, no
tengo escrúpulos en proponer los principios del movimiento antes
mencionados, siendo de una extensión muy general, y dejar sus causas
por descubrir.
En de nitiva: de las tres leyes del movimiento y de la ley de la gravitación universal
se siguen las propiedades y acciones de todas cosas corporéas. Ciertamente
esas leyes sólo nos dicen cómo funcionan las cosas y no las causas de que funcionen
así. Nos quedamos sin saber el porqué, pero ya es un paso muy grande saber el cómo.
Esta renuncia a la explicación mediante causas era lo que censuraban a Galileo
los aristotélicos, y también Descartes, pese a la admiración que le tributaba. Pero
no es que Newton abjurase de las causas. Aspiraba a explicar los fenómenos en toda
su profundidad y no meramente a predecirlos. Simplemente, no quería ngir que sus
hipótesis eran la realidad. Igual que Galileo (pg. 134), prefería la franca sinceridad
de admitir no lo sé por respuesta a la presuntuosa certeza de creer explicarlo todo.
No hace falta decir que, una vez más, Newton tenía razón frente a Descartes.
El triunfo de la acción a distancia
A la vista de estas di cultades losó cas, era de esperar que Newton tuviera que
enfrentarse a muchas críticas, y ciertamente las hubo, sobre todo en Francia, donde
estaba muy arraigado el cartesianismo. Pero la polémica fue menos intensa de lo que
cabía esperar.
Si Newton hubiera publicado poco a poco sus resultados, como hacen hoy en día
los cientí cos, se habría expuesto sin duda a un debate feroz. Pero era una persona
muy reservada, que investigaba para sí mismo y no buscaba el reconocimiento público.
Era además muy exigente con lo que daba a conocer: no quería publicar nada
de lo que no estuviera absolutamente seguro. Cuando por n se decidió a hacerlo,
182 9. Newton: la mayoría de edad de la ciencia
espoleado por Halley, fue cuando tenía ya la impresionante masa de resultados que
presentó en los Principia, y tal masa desactivó en buena medida a los críticos. Como
decía una reseña anónima del libro (pero que sin duda fue escrita por Halley):
Este autor incomparable -quien por n ha accedido a darse a conocerofrece
en este tratado el ejemplo más notable del alcance de los poderes
de la mente; ha demostrado claramente cuáles son los Principios de la
Filosofía Natural y derivado de tal forma sus consecuencias, que parece
haber agotado su argumento, y dejado muy poco por hacer a los que
vengan detrás.
Efectivamente, en los Principia, Newton resolvía prácticamente todos los problemas
abiertos por aquel entonces en las ciencias físicas: las mareas, la precesión de
los equinoccios, la forma de la Tierra, los detalles del movimiento de la Luna… Los
resultados obtenidos con gran esfuerzo por mayores cientí cos que le precedieron (los
de Huygens sobre el péndulo, de Galileo sobre el plano inclinado, de Kepler sobre
las órbitas de los planetas..) se convertían en ejercicios relativamente sencillos,
aplicaciones
particulares que su teoría puso al alcance de los estudiantes de bachillerato.
Si esa era la recompensa por aceptar la acción a distancia… en n, quizá después de
todo habría que aceptarla.
Con el tiempo, el éxito de la física de Newton fue tan completo que se tomó
como el modelo (el paradigma, diría Kuhn) de toda teoría física: a lo largo del siglo
XIX la electricidad y el magnetismo se intentaron formular siguiendo la plantilla
newtoniana; los cuerpos materiales se concibieron como formados por partículas
(átomos) separados por el vacío y sometidos a interacciones eléctricas que decrecían
con el cuadrado de la distancia como la gravedad, y a principios del siglo XX, el
propio átomo se concibió como un sistema solar en miniatura. Pero la pregunta por
las causas de esas fuerzas desapareció casi por completo de las preocupaciones de
los físicos.
Quizá la mayor ironía radica en que las fuerzas de contacto, las únicas inteligibles
para los lósofos mecánicos, se explicaron también en términos de la acción a
distancia: como un subproducto de las fuerzas de repulsión electrostática que aparecen
entre los átomos de dos objetos cuando éstos se aproximan. No cabe imaginar
mayor triunfo para esa misteriosa interacción sobre cuya naturaleza última Newton
no quería ngir hipótesis.
Capítulo 10
Epílogo: ¾Qué es, entonces, la
ciencia?
Empezábamos el libro diciendo que si en el siglo XX uno quiere entender el
mundo, necesita entender la ciencia. Y decíamos también que lo que necesitamos
entender, más que los contenidos y los resultados, son los métodos, los enfoques, la
manera de ver el mundo. En de nitiva, el carácter de la ciencia, ese personaje que se
ha convertido en un protagonista en los dramas (y las comedias) de nuestro tiempo.
En los capítulos precedentes hemos seguido la evolución de la ciencia desde su
nacimiento con Tales de Mileto hasta su mayoría de edad con Isaac Newton. No
ha sido, claro está, una biografía exhaustiva. En ese largo periodo de formación
la ciencia no se limitó a la cosmología y la física, pero hemos preferido centrarnos
en este argumento, que fue decisivo para de nir su carácter: lo que hoy llamamos
ciencia se forjó esencialmente en el proceso que hemos contado aquí.
Los alemanes llaman Bildungsroman a una novela que relata los años de formaci
ón de una persona, y que termina cuando el protagonista ya es un adulto con su
personalidad bien de nida. Ha llegado el momento de poner n a este Bildungsroman
de la ciencia y dedicar el último capítulo a examinar esa personalidad. ¾Qué
es, entonces, la ciencia?
10.1. La concepción de sentido común
Los súbditos de la reina Victoria con los que empezamos el primer capítulo,
aquellos entusiastas que abarrotaban las conferencias de Davy y de Faraday, lo
tenían muy claro. Si les hubiéramos preguntado ¾qué es la ciencia? nos habrían
respondido algo así:
La ciencia es el conjunto de conocimientos probados y ciertos, y el
proceso por el que los obtenemos, de modo riguroso, de los hechos de la
experiencia, mediante la observación y la experimentación.
Esta era la concepción estándar de la ciencia para los europeos cultos del siglo
XIX. Para ellos, la ciencia proporcionaba un conocimiento able porque era objetiva,
y lo era porque se basaba en los hechos: lo que podemos ver, oír y tocar, sin
183
184 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
que tuvieran cabida las opiniones y preferencias personales, la imaginación o las
especulaciones.
Esta visión de la ciencia sigue estando muy extendida, hasta el punto de que
podríamos llamarla la concepción de sentido común. Es la concepción que encontramos
en los periódicos, la concepción a la que apelan los anuncios cuando dicen
que la e cacia de un champú está cientí camente probada, y la que comparten la
mayoría de los libros de divulgación. Pero el sentido común no siempre acierta, y
vamos a ver enseguida que es una imagen distorsionada y simplista, tanto que le
vamos a adjudicar el nombre de empirismo ingenuo.
La ciencia como marcha triunfal
Los europeos cultos del siglo XIX, a los que hemos hecho portavoces de la concepci
ón de sentido común de la ciencia, vivían en una era optimista: la de la máquina
de vapor y las Exposiciones Universales. Entonces Europa se consideraba el producto
nal del progreso humano, y reinaba el convencimiento de que la clave de
ese progreso era la ciencia. Quizá quien lo expresó de manera más elocuente fue el
lósofo francés Auguste Comte, con su teoría de los tres estadíos. Según Comte, la
evolución de las sociedades y los individuos es análoga. En ambos casos, se pasa
necesariamente por tres estadíos: el teológico, el metafísico y el positivo. El teológico
es el de la infancia (del individuo y de la sociedad), y su modo de ver el mundo
es el de la religión; el metafísico es el de la juventud y corresponde a la losofía,
mientras que el tercer estadío, el positivo, es el de la madurez: la edad de la ciencia.
Naturalmente, para Comte la madurez se había alcanzado en la Europa del siglo
XIX.
Comte formulaba así la idea muy extendida de que la losofía y la religión son
modos primitivos de pensamiento, y que con la ciencia hemos encontrado por n la
manera de nitiva de acceder al conocimiento. En la raíz de esta con anza estaba el
empirismo ingenuo: la visión de la ciencia como un proceso objetivo, que se basa
en la observación y el análisis de los hechos, constatados sin prejuicios, y cuantos
más mejor. Gracias a que se basa en los hechos objetivos la ciencia progresa necesariamente
hacia un conocimiento seguro, en contraste con la religión o la losofía,
que, por sustentarse en meras opiniones o prejuicios, son subjetivas y no progresan.
La ciencia sería así el único conocimiento realmente válido; en de nitiva, la única
verdad.
Aceptado esto, era natural dar el salto del progreso cientí co al progreso moral,
pues poseer la verdad sin duda debería llevarnos a alcanzar el bien. Así, para Comte
el progreso de la ciencia no era sólo progreso el sentido restringido de avance del
conocimiento cientí co sino en el más amplio de mejora de la humanidad. Para él,
la sociedad en el estadío positivo, abandonadas las especulaciones inútiles, alcanzaría
el mayor bienestar y felicidad liderada por los cientí cos. Similares ideas defendían
en Gran Bretaña, por la misma época, los utilitaristas como John Stuart Mill y
Jeremy Bentham.
En resumen, la lógica de positivistas y utilitaristas, partiendo de la pretensión de
que la ciencia nos proporcionaba el conocimiento de la verdad (los hechos positivos
de los que hablaba Comte, despojados de toda adherencia metafísica y religiosa)
10.1 La concepción de sentido común 185
desembocaba en la convicción de que este conocimiento de la verdad nos llevaría
a una humanidad mejor. Este era, en pocas palabras, el programa del cienti smo,
que ya no es una losofía de la ciencia sino una ideología, pero una ideología muy
natural para el empirista ingenuo.
El argumento podía parecer convincente, pero para quienes creían que los problemas
humanos tenían una dimensión moral propia, irreductible a la ciencia, la
conclusión resultaba ingenua y hasta peligrosa. Charles Dickens, por ejemplo, caricaturizaba
el positivismo en su novela Tiempos difíciles, publicada en 1854. El libro
comienza con el discurso del director de escuela Mr. Gradgrind:
Lo que yo quiero son Hechos. Enseñad a estos niños y niñas nada más
que Hechos. No plantéis más que esta semilla y suprimid las demás.
Sólo pueden modelarse las mentes de animales racionales sobre los
Hechos: nada más les será de utilidad. Este es el principio con el que
educo a mis hijos y con el que educo a estos niños también. ½Atenerse a
los Hechos, señores!
Casi podemos oir al vehemente maestro, e imaginarnos a los alumnos encogidos
en los pupitres, amedrentados ante el torrente de Hechos que se les venía encima…
Aprendiendo de la historia
Si Mr. Gradgrind hubiera vivido lo su ciente, seguramente hubiera tenido que
reconsiderar sus ideas. Porque, ateniéndonos a los hechos, la historia del siglo XX
ha desmentido este optimismo. Después del gas mostaza, las cámaras de gas, Hiroshima
y la Guerra Fría, es di cil seguir sosteniendo que el progreso cientí co nos
hace mejores. Más bien parece apropiado decir que el cienti smo ha sido refutado
experimentalmente.
Y sin embargo, aunque ya no equiparemos progreso cientí co y progreso moral,
el empirismo ingenuo que estaba en la raíz del optimismo victoriano sigue siendo
la concepción de sentido común. Hemos dicho que esta visión de la ciencia es
distorsionada y simplista, pero no hemos explicado por qué. Lo mejor será empezar
una vez más por los hechos, pero esta vez por los hechos de la historia de la ciencia.
En este libro, nuestro somero recorrido de Tales a Newton nos ha mostrado
varias realidades que se ajustan muy mal a la imagen tan querida por Comte y
los progresistas victorianos (los whigs), de una ciencia que progresa necesariamente
impulsada por la observación desapasionada de los hechos de la naturaleza. Por
ejemplo, hemos encontrado que:
El avance de la ciencia no es lineal ni previsible. La respuesta correcta a un
problema puede ser rechazada e ignorada durante dos mil años (es el caso de
Aristarco y también de los atomistas), permanecer semidurmiente y triunfar
al cabo de un siglo (caso de Copérnico) o hacerlo casi de inmediato (Newton).
Lo decisivo para el avance de la ciencia es la formulación de nuevas teorías y
no el descubrimiento de nuevos hechos. Copérnico no descubrió ningún hecho
nuevo, y Galileo sólo buscó los hechos para con rmar sus teorías.
186 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
Muy a menudo lo que inspira las nuevas teorías tampoco son los nuevos hechos,
sino otro tipo de cuestiones más teóricas: la a nidad por unas ideas losó cas
(hemos visto los casos de Eudoxo, Copérnico, Kepler o Descartes), la oposición
a otras (Galileo contra el aristotelismo) o la lucha contra problemas internos
de la ciencia (Newton poniendo orden en el problema de los planetas).
¾Cómo es que no veían esto en el siglo XIX? Y más aún, ¾cómo se sigue ignorando
hoy en casi toda la literatura popular sobre la ciencia?
En realidad, ya habíamos visto la respuesta en el prólogo. La imagen de la ciencia
que surge del estudio de su historia es mucho más interesante y humana que la
simple plantilla whig del progreso lineal y necesario. Pero al no cuadrar con esa
plantilla, las paradojas, incongruencias, retrocesos, genialidades y torpezas que la
hacen tan interesante han sido frecuentemente ignoradas o explicadas por teorías
conspiratorias (la sempiterna Iglesia enemiga de la ciencia o Aristarco silenciado a
gritos, como decía Carl Sagan).
10.2. Por qué el empirismo es ingenuo
Hasta aquí hemos argumentado que la concepción de la ciencia como marcha
triunfal es desmentida por la realidad, tanto de su historia como de su impacto sobre
la sociedad. Ni la ciencia ha sido un avance continuo hacia la verdad impulsado por
los hechos, ni el progreso cientí co parece haber traído una humanidad mejor.
Pero esa concepción era sobre todo una construcción ideológica, el cienti smo,
que se había edi cado sobre el empirismo ingenuo. Y cuando se derrumba un edi cio
no tiene por qué ser necesariamente por culpa de sus cimientos. Así que si vamos a
criticar al empirismo deberíamos hacerlo en tanto que losofía de la ciencia, no por
sus posibles adherencias o excrecciones ideológicas.
En este punto, el empirista puede defender su postura argumentando que, aunque
la historia de la ciencia no le da la razón cuando muestra que frecuentemente las
teorías no han surgido de la observación sistemática de los hechos sino de otras
variadas fuentes de inspiración, en de nitiva esos hechos sí son lo único que cuenta a
la hora de demostrar que las teorías son válidas. Uno puede tener muchas ocurrencias,
pero cuando consigue que se conviertan en teorías cientí cas es cuando las deriva
rigurosamente de los hechos.
Este empirista está señalando una distinción importante, que fue introducida en
la losofía de la ciencia por el astrónomo sir John Herschel (el hijo de William Herschel,
el descubridor de Urano). Una cosa es el contexto del descubrimiento (donde
cualquier ocurrencia puede ser provechosa) y otra el contexto de la justi cación
(donde sólo valdría lo que se demuestra empíricamente). Y es el contexto de la justi
cación el que cuenta para garantizar la validez de una teoría. La objección es
razonable y nos lleva a plantearnos una cuestión crucial; en realidad, la cuestión
básica de la losofía de la ciencia: ¾cómo podemos justi car una teoría cientí -
ca?¾Tenemos que demostrarla a partir de los hechos, como de ende el empirista? Y
en tal caso, ¾cómo se haría esa demostración?
10.2 Por qué el empirismo es ingenuo 187
El arco del conocimiento
El primer autor que trató extensamente esta cuestión, y que por tanto merece
el título de primer lósofo de la ciencia fue (¾quién si no?) nuestro viejo conocido
Aristóteles.
Aristóteles de nió la ciencia como un conocimiento de las cosas por sus principios
y sus causas (y una vez más tenemos que asombrarnos de su perspicacia, porque
½esa sigue siendo la de nición del Diccionario de la Real Academia Española!). Lo
que quería decir con esto es que la investigación comienza con la observación de
que ciertos hechos ocurren, pero no podemos hablar de ciencia hasta que estos
hechos no están explicados. Y sólo están explicados cuando los deducimos de ciertos
principios, lo que hoy llamamos leyes o teorías. La de nición de Aristóteles recoge
pues, implícitamente, la idea de que sin teoría no hay ciencia (en gran descubrimiento
griego que atribuimos a Tales en el primer capítulo).
¾De dónde salen esas teorías? Se derivan también de la observación, pero no
pueden ser observadas directamente. Son el resultado de la generalización cuidadosa
a partir de un gran número de observaciones; es decir, de la inducción. Al subrayar
que el verdadero conocimiento comienza con la experiencia, Aristóteles es indudablemente
empirista, en contraste con el racionalismo de su maestro Platón, que
insistía en que los sentidos sólo nos muestran apariencias y el único conocimiento
able es que proviene de la razón.
Pero la observación no basta. Una vez establecidos los principios, deben servir
para deducir los hechos: si no, no serían los principios correctos. Y por eso el método
cientí co tiene para Aristóteles dos etapas, una inductiva y otra deductiva, representadas
en la Figura 10.1.
ArcoConocimiento.pdf
Leyes y teorías
2
Inducción Deducción
Observaciones
1 3
Figura 10.1: El arco del conocimiento: método inductivo-deductivo.
Este esquema célebre, que se ha llamado el arco del conocimiento es un camino
de ida y vuelta, que empieza y acaba en los hechos, pero que no nos deja en el mismo
punto: en el proceso de subir y bajar por el arco, hemos pasado de un conocimiento
de hechos (punto (1)) a un conocimiento de las razones de los hechos (punto (3)).
En la imagen de sentido común de la ciencia, el empirismo ingenuo que
188 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
exponíamos arriba, podemos reconocer una versión simpli cada de este método
inductivo-deductivo. Pero aunque Aristóteles es empirista, difícilmente podríamos
llamarlo ingenuo, porque señala dos puntos de capital importancia que van más allá
de la imagen popular y que hoy siguen aceptándose: que la ciencia no es un simple
agregado de conocimientos, sino que consta de teorías, y que estas teorías permiten
explicar los hechos, en el sentido de que pueden ser deducidos de ellas (parte descendente
del arco). Además, propone un mecanismo por el que se pasa de los hechos a
las teorías (parte ascendente del arco): la inducción.
El concepto del método cientí co de Aristóteles, como su física o su cosmología,
encerraba grandes dosis de sentido común y fue enormemente in uyente a lo largo de
la historia. Pero, como su física o su cosmología, resultó a la postre estar equivocado,
y ha terminado por abandonarse como descripción de lo que la ciencia es o de lo
que debe ser. La diferencia está en que mientras todo el mundo ha oído hablar de
las leyes de Newton y sabe que la Tierra gira alrededor del Sol, muy pocos están al
tanto de las concepciones que han desplazado a Aristóteles en el campo de la losofía
de la ciencia, y el empirismo, en una versión que ya para él resultaría ingenua, sigue
siendo la concepción de sentido común.
El problema de la inducción
En realidad, el talón de Aquiles de la concepción aristotélica está en su a rmación
de que los principios explicativos (las leyes o teorías) se justi can por inducción. La
idea de que una regularidad observada un número su ciente de veces es una ley de
la naturaleza suena razonable, pero no puede ser justicada losó camente. Bertrand
Russell lo explicó muy grá camente con su cuento del pavo inductivista:
Este pavo descubrió que, en su primera mañana en la granja avícola,
comía a las 9 de la mañana. Sin embargo, siendo como era un buen
inductivista, no sacó conclusiones precipitadas. Esperó hasta que
recogió una gran cantidad de observaciones del hecho de que comía a
las 9 de la mañana e hizo estas observaciones en una gran variedad de
circunstancias, en miércoles y en jueves, en días fríos y calurosos, en
días lluviosos y en días soleados. Cada día añadía un nuevo enunciado
observacional a su lista. Por último, su conciencia inductivista se sintió
satisfecha y efectuó una inferencia inductiva para concluir: Siempre
como a las 9 de la mañana. Pero ½ay! Se demostró de manera
indudable que esta conclusión era falsa cuando, la víspera de Navidad,
en vez de darle la comida, le cortaron el cuello.
Fue David Hume, a mediados del siglo XVIII, quien señáló que el inductivismo
reposa sobre una lógica circular. Su única justi cación como principio consiste en
que casi siempre funciona: las inferencias inductivas no suelen acabar como en el
caso del pobre pavo. Pero al justi car el principio de inducción de esta manera,
estamos usando el propio principio de inducción. En de nitiva, decimos que como
el principio ha funcionado en el caso 1, en el caso 2, en el caso 3… entonces va a
funcionar siempre: un claro razonamiento inductivo.
10.2 Por qué el empirismo es ingenuo 189
Después de la crítica demoledora de Hume, se ha acabado reconociendo que no
se puede pasar de un conjunto de enunciados singulares (hechos) a un enunciado
universal (teoría), por muy abundantes y contrastados que sean esos hechos. Esto
es lo que se conoce como el problema de la inducción.
Y ciertamente sería un grave problema si la ciencia partiera de los hechos y
estableciera sus teorías por inducción. Pero ya hemos visto que la ciencia no funciona
así: antes mencionábamos cómo las teorías de Eudoxo, Copérnico, Kepler, Descartes,
Galileo o Newton debieron poco a esa presunta observación meticulosa y objetiva
de un gran número de hechos.
Ahora bien, aunque el problema de la inducción no desmienta la práctica de la
ciencia, ¾no impugna acaso su validez ? Puede que la inducción no se utilice excesivamente
en el contexto del descubrimiento, pero contábamos con ella para el contexto
de la justi cación. Si los hechos no son unos cimientos sólidos sobre los que edi car
nuestras teorías, ¾no se derrumbarán éstas como un castillo de naipes?
La solución de Popper
Esta es la vertiente del problema de la inducción que ha preocupado a muchos
lósofos. Y a eso se refería Karl Popper cuando empezaba su libro Conocimiento
Objetivo con estas contundentes palabras:
Puedo estar equivocado, por supuesto, pero creo que he resuelto un
importante problema losó co: el problema de la inducción (debo
haber alcanzado la solución hacia 1927). Esta solución ha sido
extremadamente fecunda, y me ha permitido resolver un buen número
de otros problemas losó cos.
En esencia, la solución es ésta: aceptamos que las teorías no brotan por sí solas
de los hechos, y ni siquiera pueden ser demostradas por ellos. Y lo hacemos de buen
grado, porque esto nos proporciona la libertad de conjeturar a nuestro gusto, como
nos sugieran nuestras particulares inclinaciones losó cas, estéticas o prácticas. Pero
aunque los hechos no puedan demostrar una teoría, si pueden refutarla. Precisamente
por ser las teorías a rmaciones universales, basta con que hagan una predicción falsa
para que quede probada su falsedad. Una a rmación universal sobre hechos empíricos,
como todos los cisnes siempre son blancos nunca puede demostrarse concluyentemente
(no podemos examinar todos los cisnes que han existido o existirán), pero
basta encontrar un contraejemplo (un cisne negro) para refutarla, o, como Popper
prefería decir, para falsarla.
Aunque Popper inventó la palabra, ya vimos que Bellarmino y Galileo tenían
claro el concepto de la falsación. En realidad, la solución de Popper al problema de
la inducción venía aplicándose desde hacía siglos por los cientícos, si bien de manera
implícita, como un elemento de su modus operandi, una faceta del o cio que, igual
que tantas otras, no se verbalizaba en términos losó cos.
La modestia no era una de las virtudes de Popper (no hace falta recalcarlo, a la
vista de la cita de arriba). Pero sí que hay que reconocer dónde está su verdadero
mérito: en señalar que esta posibilidad de refutación, lejos de ser algo destructivo, se
convierte en la clave de la abilidad de la ciencia cuando la miramos desde un punto
190 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
de vista dinámico. Igual que las mutaciones y la selección natural empujan a lo largo
de los siglos a los organismos a una mejor adaptación al medio ambiente, el juego
de conjeturas y refutaciones de la ciencia, repetido una y otra vez en la historia de
la ciencia, empuja a nuestras teorías a acomodarse mejor a la realidad de las cosas;
en de nitiva, a acercarse a la verdad. Se presupone una teoría, cuando resulta ser
falsada, se sustituye por otra, que acaba por falsarse, y así sucesivamente. Con cada
nueva teoría conocemos algo mejor la realidad. Este enfoque evolucionista es quizá
la mayor aportación de Popper.
Qué es ciencia y qué no lo es
En la inmodesta cita que reproducíamos arriba, Popper a rmaba que su solución
al problema de la inducción había sido la clave para resolver otros problemas losó -
cos. Uno de ellos es el de distinguir qué es ciencia y qué no lo es. Con el planteamiento
que hemos descrito, es evidente que no puede haber ciencia si las teorías no son susceptibles
de falsación: el juego de conjeturas y refutaciones no puede jugarse con
teorías que son por construcción irrefutables. Entonces, el criterio de demarcación
que delimita el campo de la ciencia puede enunciarse de manea muy sencilla: una
disciplina es cientí ca si formula teorías especí cas y bien de nidas, de modo que
son susceptibles de falsación. Ya nos habíamos encontrado con esta idea en la página
99, al comparar la teoría de epiciclos con la de Heráclides. Mencionábamos allí que
teorías como el psicoanálisis o la astrología hacen predicciones demasiado vagas para
ser falsables, y por esa razón no son cientí cas.
Obsérvese qué lejos estamos ya del inductivismo ingenuo: aquí no caracterizamos
el conocimiento cientí co porque sea el correcto, porque surja de los hechos o esté
demostrado por los experimentos… Lo que decimos es algo mucho más simple y
más operativo: ciencia es lo que se pude demostrar que no es verdad. El psicoanálisis
de Freud no es una ciencia, aun cuando pudiera ser verdadero; el geocentrismo de
Tolomeo sí lo era, aún cuando fuera falso: precisamente que hayamos sido capaces
de demostrar su falsedad con rma que era una teoría cientí ca.
En la concepción de Popper, sin embargo, los hechos no pierden importancia.
Podría decirse que siguen siendo tan importantes como en el empirismo, pero su
papel es en cierto sentido, el opuesto: no están al principio del proceso sino al -
nal, y su papel no es el de probar la verdad de las teorías sino su falsedad. Podemos
mantener incluso el esquema del arco del conocimiento, aunque con tres importantes
reinterpretaciones ( gura 10.2). En primer lugar, subimos por el arco hacia las leyes
y teorías no mediante la inducción, sino mediante una conjetura. Por eso ya no podemos
hablar de método inductivo-deductivo, sino de método hipotético-deductivo. En
segundo lugar, en el tramo descendente del arco lo esencial, tanto como explicar
los hechos ya conocidos, es abrir la posibilidad de falsación de la teoría, prediciendo
hechos nuevos que hay que veri car. Esta posibilidad convierte el esquema en
dinámico, y esa es la tercera reinterpretación. Los principios siempre son provisionales,
aceptados mientras hayan resistido a todos los intentos de falsación hasta el
momento.
Este esquema dinámico lo habíamos encontrado ya en la sección 7.3: en realidad,
es esencialmente el método de Galileo. Si volvemos a la gura 7.1, vemos que aquel
10.3 Sentido común colectivo ArcoModificado.pdf 191
Leyes y teorías
2
Hipótesis Deducción
• Observaciones
• Preferencias estéticas o
1 3
• Observaciones
• Predicción de nuevos
filosóficas, ocurrencias…
hechos
Figura 10.2: El arco del conocimiento modi cado: método hipotético-deductivo.
esquema era similar a este arco del conocimiento modi cado, pero puesto boca abajo:
en lugar de ascender a las leyes y teorías, hablábamos allí de descender al mundo
de las matemáticas, donde habitaban nuestros modelos (que aquí llamamos leyes y
teorías); y en lugar de descender a los nuevos hechos predichos por la teoría, allí
ascendíamos al mundo real en el que tenían lugar los experimentos. Los énfasis en
uno y otro esquema son, por supuesto, diferentes: allí subrayábamos el papel de las
matemáticas al deducir las consecuencias de de los modelos, y señalábamos también
que concebir un modelo es similar a hacer un croquis conceptual de los fenómenos.
Pero el proceso que estamos esquematizando en un caso y otro es esencialmente el
mismo.
10.3. Sentido común colectivo
En lo que llevamos de capítulo hemos refutado la concepción popular de la ciencia
como marcha triunfal, hemos explicado por qué el empirismo de sentido común que
sustenta esta convicción es una losofía demasiado ingenua, y hemos presentado el
falsacionismo de Popper como una alternativa más sólida y que re eja mejor el
modo de trabajo de los cientí cos, tal como lo inauguró Galileo. Pero, en el mejor
espíritu cientí co, no vamos a dar por de nitivas nuestras conclusiones, y volveremos
a reconsiderarlas (a falsarlas quizá) en la siguiente sección. En ésta, sin embargo,
vamos a ocuparnos de otras concepciones erróneas sobre la ciencia, que tienen un
carácter más sociológico que losó co o histórico, pero que son seguramente tan
populares como la ciencia-marcha-triunfal.
Una de estas concepciones es la de la ciencia como corpus esotérico: un saber
sólo al alcance de unos pocos iniciados, cultivado por Einsteins de pelo alborotado
que posan delante de una pizarra garabateada con fórmulas incomprensibles.
Un objetivo de este libro ha sido precisamente desmentir esta idea por el procedimiento
que le gustaría a Mr. Gradgrind: por la vía de los hechos. Decíamos en
el prólogo que para conocer la ciencia hay que entenderla desde dentro, y para eso
192 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
hay que aprender a pensar como un cientí co. Eso es lo que hemos intentado hacer
en nuestro recorrido de Tales a Newton. Si el lector ha sido capaz de entender los
capítulos anteriores, habrá encontrado que eso, afortunadamente, no es tan difícil.
Es cierto que cada especialidad cientí ca (la inmunología, la quimico sica o la
cosmología) puede que sea inteligible sólo para los expertos. Pero sus complicaciones
particulares no son esenciales a la ciencia. No revisten mayor misterio que
las propias de otras disciplinas con una larga historia de especialización y formalizaci
ón, como, pongamos por caso, la contabilidad o el derecho mercantil, aunque
a menudo tengan una dosis mayor de matemáticas. La di cultad va a asociada a
la especialización, pero lo esencial de la ciencia tiene que ser accesible a cualquier
persona medianamente inteligente porque no hay ninguna discontinuidad entre el
razonamiento ordinario y el razonamiento cientí co.
Ciencia y tradición
No hay procesos de pensamiento en la ciencia que sean distintos de los procesos
del sentido común, decimos. Pero, eso sí, es un sentido común re nado y madurado
por una tradición que ya dura siglos, y que a lo largo de su evolución ha creado
una prodigiosa caja de herramientas (instrumentos, técnicas, conceptos) que lo
potencian.
Puede resultar sorprendente hablar aquí de tradición, porque nuestra época suele
despreciar la tradición y oponerla a la ciencia. Los mismos partidarios de la ciencia
como marcha triunfal a menudo la presentan como una fuerza revolucionaria. Sin
embargo, la ciencia es una tradición. Si la ciencia progresa es porque cada cientí co
no pretende interpretar el mundo ex novo (como hacen hoy los pintores y los grupos
pop) sino que se inscribe obedientemente en una tradición. En ella aprende los
resultados ya establecidos y el manejo de las herramientas del o cio (instrumentos
como el microscopio o la balanza, o técnicas matemáticas como el análisis de la
varianza o el cálculo de perturbaciones). Más importante aún, absorbe los hábitos
de pensamiento y las actitudes de sus maestros, que a su vez los aprendieron de
los suyos, y así sucesivamente. Cada generación de cientí cos ve más lejos que la
precedente porque se ha subido a sus hombros, como reconoció el propio Newton
en una frase célebre: Si he visto más lejos es porque estoy sentado sobre los hombros
de gigantes. Y si Newton no era un revolucionario, menos aún lo fueron el
archiconservador Copérnico o el sensato Aristóteles. Tampoco Galileo, a pesar de
que su infortunado proceso lo convirtiera en un mártir contra su voluntad.
El cientí co, por tanto, re na su sentido común mediante un aprendizaje dentro
de una tradición, como ha ocurrido siempre en todo o cio. En este sentido, la ciencia
es una actividad muy conservadora: el cientí co sigue teniendo mucho de artesano,
y la suya es una de las pocas profesiones en las que el aprendizaje se sigue estructurando
con los roles de maestro y discípulo, como en los gremios medievales o en
los talleres de los artistas del renacimiento. Si los aprendices renacentistas aprendían
de su maestro el arte de la pintura, los cientí cos aprenden de su director de tesis lo
que Peter B. Medawar (Nobel de medicina en 1960) llamó el arte de lo soluble: la
capacidad de resolver problemas dentro de las técnicas y conceptos de una disciplina.
10.3 Sentido común colectivo 193
Una empresa colectiva
En de nitiva: el éxito de la ciencia no se basa en ninguna arma secreta conceptual,
sólo al alcance de unos pocos elegidos de cerebro brillante y pelo alborotado. Al
contrario, se limita a usar el sentido común, aunque se trata de un sentido común
educado dentro de una tradición de resolución de problemas y equipado con técnicas
y herramientas desarrolladas a lo largo de muchos años.
Pero además este sentido común se potencia enormemente porque la ciencia es
una empresa colectiva: no es el sentido común de un individuo, sino el de toda la
comunidad cientí ca. El genio incomprendido, entregado en solitario a sus investigaciones,
es otro mito. Es cierto que guras como Copérnico o Newton hicieron sus
descubrimientos en solitario (y otros como Kepler o Galileo tampoco puede decirse
que trabajaran mucho en equipo). Pero sus casos son muy poco representativos. Se
trata de pioneros que vivieron en el origen de la ciencia moderna, cuando no existía
un colectivo cientí co organizado, y el aislamiento fue seguramente un hándicap más
que un ingrediente de su éxito.
De hecho, ya en la época de Newton habían surgido las academias cientí cas, y
él presidió durante muchos años, la más destacada: la Royal Society. Por la misma
época, en 1666, se fundaba la Académie Royale des Sciences, donde cientí cos de toda
Europa trabajaban juntos a sueldo del Rey Sol (ver sección 3.3). Desde entonces, el
carácter colectivo de la ciencia no ha dejado de acentuarse.
En parte este proceso se ha debido a la necesidad de instrumentos y laboratorios
cada vez más so sticados y costosos, pero esta no es la razón principal. Lo decisivo
es que la ciencia se marchita pronto sin la interacción entre cientí cos. Incluso un
matemático puro, que no necesita más instrumentos que lápiz, papel y papelera, no
puede prescindir de la comunidad de los demás matemáticos. Para hacer ciencia es
una necesidad vital discutir, poner a prueba las teorías del contrario (para refutarlas
o con rmarlas), reproducir sus experimentos… Y precisamente lo que da solidez y
abilidad a la ciencia es que las teorías de cada cientí co están sometidas a la
crítica permanente de los demás, y abiertas a la posibilidad de falsación por los
experimentos de un rival.
El objeto de los estudios cientí cos
Quedamos entonces en que el éxito de la ciencia no se basa en ningún ingrediente
esotérico sino en el sentido común, aunque, eso sí, se trata de un sentido común
potenciado en el tiempo por la tradición y en el espacio por la comunidad cientí ca.
Pero el caracter de empresa colectiva y mantenida en el tiempo no es exclusivo
de la ciencia. La losofía, la jurisprudencia o la religión pueden reclamar con justeza
estos rasgos… ½y su diferencia con la ciencia no debería estar en la carencia de sentido
común! Así que las características formales que hemos señalado deben rellenarse con
algún contenido propio. Y efectivamente, la ciencia debe mucho de su personalidad
a las peculiaridades de su objeto de estudio.
Un malentendido muy común es que la ciencia trata de temas muy difíciles. En
realidad es justo al contrario. Richard Feynman decía que los físicos tienen el hábito
de tomar el ejemplo más sencillo de cualquier fenómeno y llamarlo ‘física’, dejando
194 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
los ejemplos más complicados para que se ocupen de ellos otras disciplinas. Lo
mismo podríamos decir de la ciencia en general. Averiguar cómo cae una piedra,
cómo se desintegra un neutrón o cómo se transmite la herencia es mucho más fácil
que descubrir cómo acabar con el hambre o las guerras. Hay una anécdota de P.
B. Medawar que ilustra bien este punto. Cuando le hicieron el consabido reproche:
Ustedes, los cientí cos, ¾por qué se dedican a cuestiones tan especializadas, en vez
de emplear su inteligencia en resolver los grandes problemas de la humanidad?, su
respuesta fue: Señora, porque no tengo ni la más remota idea de cómo resolver esos
problemas. Como a él le gustaba decir, podemos desarrollar un arte de lo soluble
para los problemas del mundo físico, pero eso se debe a que el mundo físico es sencillo
comparado con el mundo social.
Concentrarse en lo sencillo tiene la ventaja evidente de que el trabajo es más
fácil. Pero la auténtica ventaja es otra mucho menos trivial: que la sencillez de los
problemas permite de nir con relativa facilidad teorías falsables. Si la ciencia ha podido
progresar es porque las discusiones entre cientí cos pueden acabar dirimiéndose
por un árbitro supremo: la naturaleza. Y eso es posible gracias a que los problemas
son sencillos y pueden de nirse por eso de una manera relativamente exenta de ambiguedades,
algo que casi nunca se consigue cuando se trata de cuestiones del mundo
humano y no del natural.
Que sea un árbitro objetivo, la propia naturaleza, quien dirima las polémicas, es lo
que hace posible que funcione la interacción colectiva que describíamos en el apartado
anterior. La ciencia ha desarrollado así un espíritu, un ethos, muy particular, y que
podríamos resumir del siguiente modo.
Para empezar, la ciencia, como hemos dicho más de una vez, gira en torno a las
preguntas. Dentro de una tradición de investigación, se van depurando las preguntas
más signi cativas, generalmente las que pueden dilucidar cuestiones en disputa entre
teorías alternativas. Cada investigador (o más bien cada equipo de investigación),
con sus desarrollos teóricos o sus experimentos, obtiene sus propias respuestas. Estos
resultados, una vez revisados y criticados por otros cientí cos, son publicados, de
modo que se ven sometidos a la consideración de toda la comunidad cientí ca internacional.
Y como vimos un poco más arriba, generalmente son sometidos a crítica
por cualquier otro grupo de investigación, en cualquier país. En la empresa cientí ca
no se reconoce el principio de autoridad como se hace en otras, y la crítica, lejos de
verse como una ofensa o una deslealtaad, se asume como una parte integrante de las
reglas del juego.
Este saludable espíritu (donde por supuesto pueden también aparecer sus sombras)
no es, claro está, fruto de que los cientí cos posean unas superiores condiciones
morales, sino de que la ciencia se ha planteado como un juego con unas reglas bien
de nidas y en el que el árbitro, la naturaleza, es perfectamente imparcial y tiene una
autoridad indiscutida. En estas condiciones, no es extraño que se juegue deportivamente.
Restringirse a formular teorías falsables puede parecer, por otra parte, una limitaci
ón. Sin embargo, desde sus orígenes la ciencia moderna ha asumido esto como
una virtud, mirando con descon anza, cuando no con cierto desprecio, la a ción de
la losofía a las síntesis grandiosas. Galileo lo dijo muy pronto, y como siempre, con
claridad insuperable: Esta vana presunción de entenderlo todo no puede deberse
10.4 ¾Son verdad las teorías? 195
sino al hecho de no haber entendido nunca nada (pg. 134).
Como una faceta más de esta limitación, la ciencia deja fuera de su investigación
las preguntas sobre las razones o los signi cados, y se limita a buscar las causas
inmediatas de los fenómenos. Esta exclusión a veces se malinterpreta desde posturas
cienti stas, confundiéndola con la a rmación de que tales preguntas no tienen sentido.
En realidad, la ciencia las excluye metodológicamente porque reconoce que poco
seguro se puede decir sobre ellas, y las respuestas no serían susceptibles de falsación.
La ciencia no habla de nalidades, intenciones, sentido o valores, pero eso signi ca
que a rme que tales cosas no existan. No habla de ellas porque no pertenecen a su
ámbito, quedan fuera de su criterio de demarcación.
Por la misma razón, la ciencia tampoco nos impide a rmar que tales cosas no
existen, o incluso que las discusiones sobre ellas, como decían los autores del círculo
de Viena que citábamos en el prólogo (los positivistas lógicos herederos de Comte),
son meras exhalaciones de aire. Pero este tipo de a rmaciones pertenecen al ámbito
de la losofía, no de la ciencia.
10.4. ¾Son verdad las teorías?
A lo largo de este libro ha habido una pregunta que se ha planteado una y otra vez
y siempre hemos eludido responder: la cuestión de si nuestras teorías son verdad o
si son simples hipótesis útiles para manejarnos en la vida. Apareció cuando, después
de encontrar nuestro primer ejemplo de teoría (el universo de las dos esferas), nos
plateábamos para qué servían tales cosas (pg. 53), y también cuando ponderamos la
sorprendente utilidad práctica de la astronomía para hacer algo tan terrenal como
un mapa (pg. 75). Más tarde (pg. 114) bautizamos a las dos posturas: llamamos
instrumentalistas a quienes, como la mayoría de los astrónomos desde Ptolomeo,
defendían que la teoría sólo es un arti cio para salvar las apariencias, y realistas a
quienes, como Copérnico, sostenían que las teorías nos dicen como es el mundo en
realidad.
Finalmente, las dos posturas quedaron vivamente enfrentadas en el con icto entre
Galileo y el cardenal Bellarmino (pg. 159). Recordemos que el Diálogo sobre los
dos máximos sistemas del mundo concluía diciendo que Dios siempre podría haber
producido los efectos físicos que observamos por medios muy distintos de los propuestos
por nuestras teorías, y que por eso, en última instancia, no podemos conocer
la obra de Sus manos. Pero Galileo no estaba exponiendo aquí su postura, que era
justo la opuesta, sino reproduciendo prudentemente la de Bellarmino. Sabemos que
en la cuestión cientí ca que entonces se discutía (la teoría de las mareas) Galileo
estaba equivocado. ¾Es posible que también estuviera equivocado en la vertiente
losó ca?
Los hechos nunca pueden establecer una teoría
Esa provocativa tesis ha sido defendida por el físico Pierre Duhem, que fue tambi
én un notable historiador y lósofo de la ciencia. Para entender su planteamiento
tenemos que partir de nuestra exposición del falsacionismo de Popper. Habíamos
196 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
concluido que los hechos sólo sirven para refutar teorías, pero no para probarlas. Aún
así podríamos considerar probada una teoría en el caso de que no hubiera ninguna
explicación alternativa a los hechos. En su in uyente libro de 1914 La teoría física:
su objeto y su estructura, Duhem señaló que tal situación nunca se da, y que por
tanto los hechos nunca pueden probar una teoría.
Podemos explicar su idea con una analogía grá ca. Supongamos que en una hoja
de papel hay dibujada una gura y queremos averiguar cuál es. No podemos verla
completa, pero podemos realizar observaciones, en cada una de las cuales se nos
muestra un solo punto. A medida que vamos conociendo la posición de más puntos,
nos atrevemos a formular una hipótesis sobre la forma de la gura. Esa hipótesis es
nuestra teoría. En la ilustración 10.3 (a) vemos dos guras que se corresponden con
los puntos, es decir, dos teorías que explican los hechos. Según una teoría, la gura
es un rectángulo (TR), según otra es una circunferencia (TC).
Subdeterminacion1.pdf
TR TR
TC TC
(a) (b)
Figura 10.3: (a) Cuatro observaciones (puntos) y dos teorías alternativas ( guras) que las
explican
(b) Una nueva observación permite descartar una de las teorías.
Una medida nueva (el quinto punto que aparece en 10.3 (b)) nos permite descartar
TR. Ahora bien, ¾podemos decir que TC está probada? En realidad no, porque
no tenemos por qué limitarnos a las dos teorías TR y TC. Podríamos haber considerado
una teoría pentagonal TP que pasara por los cinco puntos y por tanto no
pudiera ser descartada por nuestra observación (ver 10.4 (a)). Justamente esa fue
la situación que se planteó cuando Galileo descubrió las fases de Venus: permitían
decidir entre la teoría de Ptomoleo y la de Copérnico, pero no entre la de Copérnico
y la de Tycho Brahe.
Podría pensarse, sin embargo, que al añadir más y más observaciones (más puntos)
acabaríamos por determinar que la gura correcta es, por ejemplo, la circunferencia.
Sin embargo, no es así, porque por cualquier número de puntos siempre
pasa una gura irregular, así que por más observaciones que hagamos no podemos
establecer cual es la gura real (ver 10.4 (b)).
Pues bien, igual que unos cuantos puntos discretos nunca determinan por completo
una gura, los experimentos nunca determinan por completo una teoría . Esta
tesis es admitida hoy sin discusión en losofía de la ciencia, y se suele llamar téc10.4
¾Son verdad las teorías? 197
TP TC
T TI C
(a) (b)
Figura 10.4: (a) El punto adicional no permite decidir entre la teoría TP y la teoría TC. (b)
Por
muchas observaciones que hagamos, nunca podemos probar concluyentemente que la gura que
subyace a los puntos es una circunferencia.
nicamente subdeterminación empírica de las teorías . Pero es, en de nitiva, la tesis
que defendía Bellarmino frente a Galileo.
La crítica de Duhem es un duro golpe para nuestras pretensiones de poder alcanzar
la verdad a través de la ciencia. Ya tuvimos que abandonar el empirismo
ingenuo, que creía que las teorías pueden derivarse directamente de los hechos, ante
el problema de la inducción planteado por Hume. Pero la solución de Popper nos
permitió mantener la esperanza de poder demostrar que una teoría es verdadera, si
no directamente, sí por eliminación, como resultado al que tiende la competencia
darwinista de teorías, en la que la más apta es la que sobrevive a las contrastaciones
experimentales (la que nalmente no es falsada). Sin embargo, este proceso sólo
permite elegir la teoría correcta si hay un número nito de teorías en competición,
y Duhem muestra que no es así. Incluso aunque en un momento dado sólo dispongamos
de un número limitado de teorías, es muy posible que eso se deba sólo a que
no se nos hayan ocurrido teorías alternativas.
La situación, sin embargo, no es tan dramática como pudiera parecer, porque el
acuerdo empírico no lo es todo en la ciencia. Los cientí cos siempre usan criterios
adicionales de razonabilidad: encaje con otras teorías, simplicidad, amplitud de los
fenómenos explicados, fecundidad para sugerir nuevas ideas, elegancia y belleza…
En especial, las consideraciones estéticas siempre han tenido un papel muy relevante
para los cientí cos (ya lo vimos en relación al universo de las dos esferas, pg. 47 y
al modelo de Copérnico, pg. 117), y bastarían a cualquiera para preferir la teoría
TC a la TI en la gura 10.4. Pero no dejan de ser criterios menos objetivos, que
enturbian la atractiva claridad de la idea inicial de falsación y apelan a presuponer
una simplicidad en el mundo que es en el fondo una cuestión de fe.
198 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
La falsación nunca puede ser concluyente
Pero la cosa no acaba aquí: hay un segundo argumento de Duhem que enturbia
aún más la noción de falsación. Si hace un momento decíamos que no puede ser
exhaustiva, ahora encontraremos que no puede ser concluyente.
La razón es que una hipótesis nunca se puede contrastar aisladamente, sino siempre
en combinación con otras. Así por ejemplo, si queremos veri car cierta predicción
de una teoría, necesitamos usar un cierto instrumento de medida. Si la predicción no
se veri ca, puede que no se deba a que la teoría sea falsa, sino a que nuestras ideas
sobre el funcionamiento del aparato estén equivocadas (quizá nuestro telescopio tiene
menos aumentos de los que creíamos, o introduce una ilusión óptica inesperada). O
puede que sean falsas otras hipótesis auxiliares que siempre están presentes aunque
ni siquiera seamos conscientes de ellas. Por ejemplo, implícitamente suponemos que
la altura con la que se ve una estrella sobre el horizonte es su altura real. Pero eso no
es cierto para posiciones casi rasantes, cuando es importante el efecto de la refracci
ón atmosférica. Una medida que no descuente este efecto nos llevará a conclusiones
erróneas (como le ocurrió a Posidonio en su medida del tamaño de la Tierra, pg.
30).
Con palabras de Duhem, si el fenómeno predicho no se produce, lo único que nos
ha enseñado el experimento es que, entre las proposiciones que usamos para predecir
el fenómeno hay al menos un error, pero no nos ha dicho dónde está el error.
Esta situación no es ninguna disquisición abstracta, sino que aparece continuamente
en la práctica, y todo cientí co la tiene en cuenta en su trabajo. Recordemos la
historia del descubrimiento de Neptuno (pg. 177): la órbita de Urano no se explicaba
con la teoría de la gravitación de Newton, pero los astrónomos no se apresuraron
a dar ésta por falsada. Por el contrario, revisaron las demás suposiciones que interven
ían en la observación, y se cuestionaron una de ellas: que no hubiera más planetas
que los conocidos hasta entonces. Esta hipótesis auxiliar es la que resultó ser falsa,
no la teoría de Newton.
El argumento de Duhem fue adoptado en los años 50 por el lósofo norteamericano
W.V.O. Quine, que lo dio mayor alcance y radicalidad. Su idea es que la
situación descrita por Duhem no se plantea sólo a la hora de veri car una predicci
ón de una teoría cientí ca, sino en todos los campos de nuestra experiencia. Todas
nuestras creencias están interconectadas, de modo que el efecto de la experiencia
no se ejerce nunca sobre tal o cual creencia particular, sino sobre toda la red. En
palabras de Quine:
La totalidad de lo que llamamos nuestros conocimientos o creencias,
desde los asuntos más casuales de geografía o historia a las leyes más
profundas de la física atómica o incluso de las matemáticas puras o la
lógica, es un tejido hecho por el hombre, que entra en contacto con la
experiencia sólo por los bordes. O, para cambiar de imagen, la totalidad
de la ciencia es como un campo de fuerza cuyas condiciones de contorno
son la experiencia. Un con icto con la experiencia en la periferia
ocasiona reajustes en el interior del campo, pero el campo total está tan
subdeterminado por sus condiciones de contorno -por la experienciaque
hay mucha amplitud de elección en cuanto a qué a rmaciones hay
10.4 ¾Son verdad las teorías? 199
que reevaluar a la luz de cualquier evidencia contraria individual. No
hay experiencias particulares que estén vinculadas con a rmaciones
particulares en el interior del campo, excepto indirectamente a través
de consideraciones de equilibrio que afectan al campo como un todo.
Quine llegó a a rmar que siempre es posible sostener una creencia especí ca
contra cualquier evidencia, reajustando su cientemente otras creencias. Sin llegar
a conclusiones tan radicales, la idea de que los hechos no pueden falsar de modo
concluyente una teoría, debido a que siempre entran en juego muchas hipótesis
entrelazadas y no es posible decidir con seguridad dónde está el fallo ha pasado al
repertorio estándar de la losofía de la ciencia, con el nombre de tesis de Duhem-
Quine (o subdeterminación holísitica de las teorías).
Los hechos son posteriores a la teoría
Hasta aquí hemos tenido que reconocer que los hechos objetivos, en los que tantas
experiencias tenían puestos los positivistas, resultan mucho menos poderosos de lo
que esperábamos. No sólo no permiten establecer por inducción las teorías, como
querían los empiristas, sino que no está claro que permitan falsarlas de modo exhaustivo
o concluyente, como quería Popper. Lo que no hemos cuestionado es que
existan esos hechos objetivos. Ahora ha llegado el momento de hacerlo.
La crítica más básica al empirismo, la que va directamente a su raíz, es que las
teorías no pueden basarse en los hechos porque no existen hechos preteóricos , sino
que lo que entendemos por hechos depende de la teoría que sostengamos.
En realidad, se trata de un fenómeno tan básico que se da ya en el nivel de
la percepción de nuestros sentidos. Si paseamos por una habitación no vemos que
cambie de tamaño ni de orientación, a pesar de que las imágenes en la retina lo
hacen a cada paso que damos. Esto es así porque nuestro cerebro procesa los datos
visuales para acomodarlos a la hipótesis de que el entorno es estable. El resultado
que llega a la consciencia es, como dijo Hermann von Helmholtz ya en el siglo XIX,
el producto de inferencias inconscientes. Y esas inferencias se hacen de acuerdo
con una teoría implícita (en el ejemplo, la presunción de que nuestro entorno físico
es estable).
Hay multitud de ilusiones ópticas que explotan esto y que demuestran que incluso
los hechos más elementales que podemos concebir, nuestras propias percepciones,
dependen de una teoría. Igual que en nuestra percepción no tenemos acceso consciente
a los datos previos al procesamiento, en nuestra investigación no disponemos
nunca de hechos previos a la teoría, aunque sea una teoría que no hayamos enunciado
explícitamente.
Vemos de este modo que una de las funciones que atribuíamos a las teorías en la
sección 2.3, la de guiar nuestra observación indicándonos lo relevante y lo irrelevante,
opera a un nivel mucho más radical de lo que entonces podíamos imaginar.
Antes incluso que Helmholtz, el distinguido geólogo y lósofo William Whewell
(que entre otros muchos méritos, posee el de ser el inventor de la palabra cientí co)
ya había señalado que en ciencia no hay hechos puros divorciados de las teorías, y
que la distinción entre lo que llamamos hecho y lo que llamamos teoría es ante todo
200 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
psicológica. Ambos se establecen por inferencias, pero en el caso de las teorías
somos conscientes de que hay una inferencia y en el caso de los hechos no lo
somos (bien porque las inferencias se han realizado inconscientemente, como en la
percepción visual, bien porque hemos aceptado los hechos sin re exión, como parte
de lo que se da por hecho en nuestra cultura).
Que los hechos están inevitablemente cargados de teoría es hoy aceptado sin
discusión por los lósofos de la ciencia, y, como ocurría con la subdeterminación
de las teorías, también en realidad por los cientí cos, que saben muy bien que sus
instrumentos no proporcionan nunca hechos sino medidas, que siempre se interpretan
de acuerdo con alguna teoría. Así, una partícula elemental nunca se ve: lo
que se observa es una traza en una cámara de niebla o un máximo de señal en un
detector para cierto ángulo de observación. Es la teoría la que dice lo que signi can
esas medidas. El hecho, la detección de la partícula, es en de nitiva el resultado
de una inferencia, que tiene como premisas el fenómeno observado (la traza en la
cámara de niebla o la lectura del detector) y la teoría aceptada sobre los fenómenos
subatómicos. Si esto nos parece muy alejado de lo que solemos entender por un
hecho, debemos tener presente que el proceso es análogo al que realiza inconscientemente
el cerebro cuando paseamos por una habitación y vemos que el suelo no se
inclina ni se mueven las paredes…
Kuhn y la presunta irracionalidad de la ciencia
Si los hechos no pueden falsar las teorías de modo concluyente ni exhaustivo y si
ni siquiera pueden establecerse previamente a éstas, ¾qué queda de la tranquilizadora
con anza en que podemos alcanzar la verdad que nos había legado Popper?¾Es que
no existe el conocimiento objetivo? Muchos autores con inclinaciones relativistas
y posmodernas han abrazado con entusiasmo esta tesis. Y ciertamente parece que
al cuestionar la fuerza de los hechos y su propia independencia de las teorías nos
hemos quedado sin una base sólida que sustente no ya el realismo cientí co (las
pretensiones de verdad de las teorías) sino siquiera la racionalidad de la ciencia.
Este cuestionamiento de la racionalidad de la ciencia tomó un gran impulso a raíz
de la publicación, en 1962, del in uyente libro de Thomas S. Kuhn, La estructura
de las revoluciones cientí cas. Kuhn, a quien conocimos como estudioso de la física
de Aristóteles en el capítulo 4, analizaba históricamente el progreso de la ciencia y
distinguía periodos de ciencia normal y ciencia revolucionaria.
En los periodos normales, la ciencia es la actividad eminentemente conservadora
que describimos en la sección 10.3, en la que se trabaja dentro de una tradición
y la competencia entre teorías rivales se decide por el arbitrio del experimento.
Esto es posible porque esas teorías rivales comparten un consenso sobre cuestiones
más básicas, como el tipo de problemas interesantes y de explicaciones admisibles,
los criterios de validez de una teoría, o lo que es relevante a la hora de describir los
resultados de los experimentos. Este consenso meta-teórico es lo que Kuhn denominó,
con un término que ha hecho fortuna, paradigma.
Sin embargo, ocurre a veces que hay fenómenos que no se explican bien con
ninguna de las teorías rivales disponibles. Si estas anomalías empiezan a proliferar,
el paradigma entra en crisis, y comienza un periodo revolucionario en el que se
10.4 ¾Son verdad las teorías? 201
cuestionan los supuestos básicos sobre los que reinaba el consenso.
Tenemos un ejemplo muy claro en la Revolución Cientí ca por antonomasia, que
hemos estudiado extensamente en este libro. Comenzó con la crisis del paradigma
aristotélico en la obra de Copérnico y Tycho Brahe, y llegó a su término con la
instauración nal del paradigma newtoniano. Algo similar ocurrió, según Kuhn, con
el nacimiento de la física cuántica a principios del siglo XX.
El punto más problemático de Kuhn es su a rmación de que, ya que los criterios
de validez y relevancia forman parte del propio paradigma, sólo se puede juzgar el
mérito relativo de las teorías dentro de un paradigma. Dos paradigmas distintos no
podrían juzgarse mutuamente, serían inconmensurables. El cambio de un paradigma
a otro sería un cambio en la manera de ver el mundo, que, como dijimos al nal
del capítulo 4 (pg. 90) se parecería más a una conversión religiosa que a un proceso
objetivo y racional.
Esta idea convirtió a Kuhn en un gurú para los relativistas de toda condición. A
pesar de que él mismo negó repetidamente que defendiera una posición relativista,
o que negara el progreso de la ciencia, sus ideas se recibieron como la Buena Nueva
en muchos departamentos de Ciencias Sociales, y el relativismo pasó a ser artículo
de fe. Para estos adadémicos, si las teorías no están determinadas por los hechos
y si los distintos paradigmas son inconmensurables, lo que decide que se adopten
unas creencias u otras son factores sociales; fundamentalmente, claro, los intereses
el grupo dominante (patriarcado, burguesía, complejo industrial-militar, etc). En
realidad, no habría doctrinas más verdaderas que otras, sólo a rmaciones con más
o menos seguidores. Quizá podría decirse que la medicina occidental es superior al
chamanismo, pero en todo caso porque hay más gente que cree en ella. Una gran
parte de lo que hoy se llaman Science Studies o Science and Technology Studies
(STS) está dominada por estas ideas (recordemos la Escuela de Edimburgo que
mencionábamos en el prólogo, pg. 8)
De este modo, lo que parecían cuestiones académicas de una disciplina minoritaria
como la losofía de la ciencia han adquirido implicaciones sociales y políticas
muy concretas (por poner un ejemplo: ¾por qué debe el estado subvencionar la astronom
ía en vez de la astrología, si la segunda tiene muchos más partidarios que la
primera?). En palabras del lósofo Larry Laudan:
Feministas, apologistas religiosos (incluyendo los cientí cos
creacionistas), contraculturales, neoconservadores, y una hueste de
curiosos compañeros de viaje han proclamado que encuentran crucial
grano para sus molinos en, por ejemplo, la pretendida
inconmensurabilidad y subdeterminación de las teorías cientí cas.
Muchos cientí cos contraatacaron y durante los años 90 se desarrollaron varias
agresivas polémicas que llegaron a llamarse Science Wars. Quizá la escaramuza más
comentada de esta guerra de las ciencias fue la publicación por el físico Alan Sokal
de un artículo titulado Transgressing the Boundaries: Towards a Transformative
Hermeneutics of Quantum Gravity. Se trataba de un texto sin sentido que parodiaba
la jerga de los lósofos posmodernos, pero fue aceptado en 1996 como un artículo
serio en la revista de teoría crítica posmoderna Social Text. Más tarde, Sokal reveló
el engaño, cali cándolo de experimento sobre los estudios culturales. No hace falta
202 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
decir que los lósofos parodiados por Sokal no le encontraron mucha gracia a la
broma.
10.5. Una conclusión personal
La guerra de las ciencias ha perdido virulencia, pero más por aburrimiento de los
contendientes que porque se haya alcanzado ningún entendimiento entre ellos. Los
cientí cos siguen pergeñando teorías y haciendo experimentos con el convencimiento
de que así llegan a conocer el mundo tal como es; la ciencia sigue funcionando
igual que siempre, y los departamentos de Science Studies siguen igual de activos,
predicando que la ciencia es una construcción social.
Llegados a este punto, el lector puede preguntarse legítimamente si ha merecido la
pena dedicar esta atención a la losofía de la ciencia. Nuestra excursión desde el arco
del conocimiento de Aristóteles a los paradigmas de Kuhn parece haber aportado
más incertidumbre que claridad. Creo, sin embargo, que era necesaria. Kant dijo que
la lectura de Hume le sacó de su sueño dogmático. A nosotros, conocer las críticas
de pensadores como Hume, Duhem, Quine o Kuhn también puede servirnos para
despertar de las certezas tranquilizadoras pero demasiado simples del empirismo
ingenuo.
Pero ¾qué debemos concluir de todo esto?¾Por qué postura debemos optar entre
tantas interpretaciones divergentes, en el abanico que se extiende de la positivista
Viena al relativista Edimburgo? Ya que no hay consenso, se hace necesario tomar
una postura personal. Es lo que haré en esta última sección, que por eso, a diferencia
del resto del libro, está escrita en primera persona. Téngalo en cuenta el lector, y
no olvide que debe ser él en última instancia quien saque sus propias conclusiones.
Cientí cos y liliputienses
En la sección 10.4 hemos expuesto una serie de doctrinas aparentemente corrosivas
para las pretensiones de verdad y objetividad de la ciencia: la subdeterminación
de las teorías, la carga teórica de los hechos y la inconmensurabilidad de paradigmas.
Mi opinión es que todas estas tesis tienen gran trascendencia desde el punto
de vista losó co, pero su importancia práctica se ha exagerado mucho por autores
que no tenían contacto con la realidad cotidiana de la ciencia. Resulta signi cativo
que ninguno de sus proponentes extrajera de ellas las consecuencias relativistas
que luego se les han asociado casi automáticamente. A Duhem y Whewell, que eran
cientí cos profesionales, no se les ocurrió abandonar su trabajo pese a propugnar la
subdeterminación de las teorías y la inexistencia de hechos puros. Y Thomas Kuhn
no se cansó de repetir (con poco éxito, la verdad) que ni era relativista ni negaba el
progreso de la ciencia.
Quizá la clave de esta diferente interpretación es que al no cientí co le resulta
difícil apreciar donde radica la solidez de la ciencia. Si su punto de partida, como
generalmente ocurre, es el empirismo ingenuo de sentido común, aprender que los
hechos no pueden demostrar una teoría, que en realidad no pueden estrictamente
falsarla y que ni siquiera son anteriores o independientes de ella, puede resultarle
10.5 Una conclusión personal 203
un shock que haga tambalear sus certezas. Pero al cientí co esto le afecta mucho
menos, porque sabe que lo esencial en la ciencia no son los hechos sino la teorías. Y
su con anza en ellas se basa mucho más en la consistencia de todo el edi cio teórico
y su poder explicativo que en tal o cual observación o resultado experimental aislado.
En la ciencia, los problemas se abordan desde distintos frentes y se exige que
las respuestas sean coherentes. La realidad no se parcela: en última instancia, sólo
hay una ciencia, y en ella unos pocos principios sencillos dan cuenta de resultados
aparentemente dispares o inconexos, de forma que encajan conuna coherencia que
no puede ser casual. Las teorías cientí cas tejen un tapiz en el que todo está relacionado
con todo, y cuya solidez no depende de un único hilo, de un experimento
crucial. Como los liliputienses capturaron a Gulliver, la ciencia captura la realidad
con miles y miles de hilos, cada uno quizá nísimo, pero extraordinariamente fuertes
en conjunto.
La tentación de ngir hipótesis
Esto no signi ca que las doctrinas de Duhem, Quine o Kuhn sean irrelevantes.
No deberían hacernos dudar de la racionalidad de la ciencia (aunque se trate de
una racionalidad más compleja y menos lineal, más interesante en suma, que la del
empirismo ingenuo o el falsacionismo, también ingenuo, de Popper). Pero sí que
cuestionan con mucha fuerza las pretensiones del realismo.
Hemos de nido el realismo cientí co como la creencia en que nuestras teorías son
verdad, es decir, nos dicen como es el mundo en realidad. Aunque tradicionalmente
esta postura había convivido con el instrumentalismo (que veía las teorías como
meros instrumentos de predicción y resúmenes de los fenómenos), la división de
opiniones acabó tras el éxito aplastante de la física de Newton. Virtualmente todos
los cientí cos se convencieron de la realidad del mundo sólo podía ser la que decían los
Principia. El matemático Jacques-Louis Lagrange lo expresó con una frase célebre:
Newton ha sido el mayor genio que nunca ha existido, y el más afortunado, porque
el sistema del mundo sólo se puede descubrir una vez.
Durante todo el siglo XIX la opinión dominante fue que todo podría explicarse
aplicando las leyes de Newton, ya fuera a los planetas o a los átomos. Este mecanicismo
iba acompañado de manera natural por otra idea: el determinismo. Las leyes
de Newton permiten calcular la evolución futura de un sistema si se conocen las
fuerzas que actúan y las posiciones y velocidades iniciales de las partículas. De este
modo, en la célebre formulación de Pierre-Simon de Laplace:
Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del
pasado y la causa de su futuro. Un intelecto que en un determinado
instante conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las
posiciones de los objetos que la componen, si fuera lo su cientemente
vasto como para someter los datos a análisis, podría condensar en una
simple fórmula el movimiento de los más grandes cuerpos del universo
y de los átomos más ligeros; para tal intelecto nada podría ser incierto
y tanto el futuro como el pasado estarían presentes ante sus ojos.
204 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
De lo que no se daban cuenta esos cientí cos era de que al atribuir una realidad
metafísica a las construcciones teóricas de la ciencia, su mecanicismo estaba cometiendo
el mismo error que aquella losofía mecánica de Descartes y sus seguidores
(pg. 179). Estaban olvidando la modestia que Galileo colocó como virtud fundacional
de la ciencia moderna y cayendo en la vana presunción de entenderlo todo.
La cuestión tiene su buena dosis de ironía, porque precisamente Newton había
advertido contra esa tentación en la que cayeron sus entusiastas seguidores. Toda
teoría mínimamente compleja tiene entidades que no son mani estas, entidades para
las que no hay procedimientos de medida u observación. Por ejemplo, los hipotéticos
átomos que forman la luz en una teoría corpuscular, o el hipotético éter vibrante en
una teoría ondulatoria. Newton defendía que tales entidades ocultas, si bien servían
para formarse una imagen mental útil para orientar la investigación, debían estar
proscritas del contenido de la losofía natural. Lo dijo con la frase lapidaria que
encontramos en la sección 9.4: Hypotheses non ngo. Pero los orgullosos cientí cos
del siglo XIX ngieron toda clase de hipótesis, tomando por realidad lo que sólo
era un contenido imaginativo.
Naturalmente, no todos se dejaron llevar por estos excesos. Heinrich Hertz, por
ejemplo, en sus Principios de Mecánica de 1876 a rmaba que la física no es losofía,
y por tanto no tiene como propósito elaborar un cuadro exhaustivo de la naturaleza
de las cosas, sino tan sólo construir imágenes de los fenómenos cuya invención es
un hecho esencialmente humano. Otro físico que señaló lo mismo fue el austriaco
Ernst Mach:
Lo que nos representamos como detrás de las apariencias existe sólo
en nuestro entendimiento y tiene para nosotros sólo el valor de una
técnica memorística o una fórmula, cuya forma, al ser arbitraria e
irrelevante, varía fácilmente según el punto de vista de nuestra cultura.
Mach se atrevió incluso a enmendar la plana al propio Newton: para él, el tiempo
absoluto y el espacio absoluto newtonianos pertenecían a la despreciable especie de
las hypotheses. Su crítica marcó un punto de in exión, entre otras cosas porque
impresionó al joven Einstein, que acabó demostrando con su teoría de la relatividad
que Mach tenía razón. Einstein reconoció su deuda con Mach, diciendo que le
hizo quebrar su fe dogmática en la mecánica newtoniana (haciéndose eco, signi-
cativamente, de lo que Kant dijo de Hume). Más tarde, la física cuántica volvió a
mostrar que Mach estaba en lo cierto al descon ar de que los átomos pudieran ser
las partículas newtonianas que imaginaban los físicos del siglo XIX.
Con Mach, el instrumentalismo volvió por la puerta grande. Para él, el objetivo
de la ciencia no era averigüar cómo son las cosas, sino describir los hechos de la
manera más compacta posible:
La ciencia puede considerarse un problema de mínimos, que consiste en
presentar del modo más completo los hechos con el menor gasto posible
de pensamiento.
10.5 Una conclusión personal 205
Mapas y teorías
Mach estuvo acertado (y profético) al aguar la esta al mecanicismo decimonónico.
Pero una cosa es recordar que, como ya advirtió Kant, que la cosa en sí, el
sustrato de los fenómenos, es inaccesible a nuestro conocimiento y otra convertir la
ciencia en poco más que un truco mnemotécnico.
Las teorías no son la realidad, sólo la representan. Pero aunque las teorías no
cartografíen la realidad, pienso que sí deberían ser, en cierto sentido al menos, similares
a mapas. Un mapa emplea símbolos convencionales, pero no es enteramente
convencional. Su parecido con la realidad puede ser muy remoto, pero será un mapa
válido si capta su cientemente bien algún aspecto que nos interesa. El plano del
metro sólo es el a la topología de las líneas. Pero con eso basta para orientarse en
la red. La relación entre el plano y la realidad está muy lejos de ser una correspondencia
biunívoca. Pero hay una correspondencia, y la prueba es que las predicciones
basadas en el plano se cumplen: los pasajeros llegan a su destino. De hecho, más
que su parecido con la realidad, lo que buscamos en un mapa es su utilidad: que nos
sirva para no perdernos en el metro, para calcular la distancia por carretera entre
dos ciudades, o para saber el tipo de terreno de una comarca. Pero esta utilidad
se deriva siempre de que hay una similitud estructural entre el mapa y la realidad
externa.
Podemos articular mejor esta imagen con ayuda de las ideas de Pierre Duhem
sobre la estructura de las teorías cientí cas. Para Duhem, una teoría tiene dos elementos:
un sistema axiomático y unas reglas de correspondencia, que ponen en
relación al primero con el mundo real. Las leyes abarcadas por la teoría son deducibles
como proposiciones del sistema axiomático, y se traducen a magnitudes
medibles mediante las reglas de correspondencia (aunque no tiene por qué haber
correspondencia experimental para todo). Por ejemplo, en la teoría newtoniana las
tres leyes de Newton y la de la Gravitación Universal forman el sistema axiomático,
y unos procedimientos para medir masas, tiempos y distancias son las reglas de
correspondencia.
El sistema axiomático sería el contenido sintáctico de la teoría; las reglas de
correspondencia son el diccionario que proporciona el contenido semántico. La gura
10.5 muestra un esquema grá co del plantemiento de Duhem, debido a Carl Hempel.
Hempel comparó la teoría con la red de un trapecista: el sistema axiomático ota
sobre el suelo de la realidad, anclado a este en puntos concretos (las observaciones)
por las reglas de correspondencia.
La red no es un mapa en el sentido estricto de que cartografíe la realidad, pero sí
en el sentido amplio de que tiene algún tipo de parecido, cierta similitud estructural
con ella, que se expresa por las reglas de correspondencia.
A la hora de interpretar correctamente el alcance de ese parecido, es importante
entender que, además del contenido sintéctico y semántico de una teoría, existe tambi
én lo que yo llamo un contenido imaginativo. Un modelo intuitivo, que a menudo
es muy importante para el cientí co, pero que no forma parte de la estructura lógica
de la teoría, porque no juega ningún papel en la deducción formal de resultados ni
en su veri cación experimental: son las hypotheses de Newton.
Por ejemplo, la gravitación de Newton nos pinta el mundo como un espacio
206 10. Epílogo: ¾Qué es, entonces, la ciencia?
RedHempel.pdf
Axiomas Términos ( no definidos)
α
λ
)
γ
μ
δ Sistema
axiomático
β
ω
R l d d i
O
Reglas de correspondencia
Observaciones
O1
O2
O3
“Realidad”
Figura 10.5: La representación de Hempel de la estructura de las teorías y su relación con la
realidad. Obsérvesé que los términos que forman el sistema axiomático no se de nen más que a
través de sus relaciones mutuas, igual que ocurría con las palabras punto o recta en la
geometría
de Euclides. No todos los términos tienen necesariamente reglas de correspondencia, pero
algunos
sí, y son esos anclajes los que ponen en contacto la teoría con la realidad.
euclídeo vacío, poblado de partículas que se ejercen fuerzas a distancia. Pero desde un
punto de vista pragmático, operativo, la gravitación de Newton es un procedimiento
para calcular las trayectorias de los planetas o de otros objetos. Eso es lo único que
es susceptible de falsación, y para esto no es necesaria ninguna imagen mental del
mundo. Que la teoría de Newton funcione signi ca que hay alguna similitud entre
su estructura y la estructura de la realidad, pero no que la imagen mental que nos
sugiere tenga algo de cierto. Así, aunque el propio Newton estaba convencido de la
realidad de su espacio euclideo absoluto y de su tiempo absoluto, Einstein acabó
por mostrar que ambos no eran más que contenido imaginativo.
Podríamos decir que, aunque el contenido imaginativo es a menudo vital en el
contexto de descubrimiento, es irrelevante en el contexto de justi cación. Por eso,
el parecido con la realidad que nos permite hablar de que la teoría es una especie
de mapa sólo se aplica al sistema axiomático, pero no al contenido imaginativo.
Esto es un punto crucial que no es fácil de asimilar, y que es invariablemente pasado
por alto en las exposiciones populares de la ciencia. Un divulgador del siglo XIX,
por ejemplo, presentaría la teoría newtoniana como una descripción de la verdadera
realidad del mundo, y lo que contaría a sus lectores es su contenido imaginativo: un
espacio euclídeo vacío, con espacio y tiempo absolutos, etc. No sabría que los mismos
resultados operativos (las mismas predicciones) se obtienen con una teoría que concibe
el mundo como algo totalmente opuesto: un espacio curvado cuatridimensional,
no vacío sino lleno de un campo de densidad de energía. Y de haber conocido tal
teoría, la habría descartado por su ridícula complicación.
Pero en 1916, Einstein propuso justamente una teoría como esa: la Relatividad
General. Esa teoría consiguió explicar unas minúsculas discrepancias entre las observaciones
de la órbita de Mercurio y las predicciones de Newton (se repitió aquí la
historia de Urano, pero con el desenlace opuesto: esta vez el hipotético nuevo planeta,
que fue bautizado como Vulcano, no se encontró, y al nal hubo que abandonar
10.5 Una conclusión personal 207
la teoría de Newton). Los divulgadores de hoy presentan el esquema imaginativo
de Einstein como la verdad sobre el mundo. Pero, una vez más, habrá seguramente
muchas teorías alternativas, opuestas en lo imaginativo pero empíricamente equivalentes,
al menos dentro de la capacidad de los experimentos actuales (un ejemplo
son las supercuerdas).
¾Cómo es entonces el mundo realmente? No lo sabemos. Sabemos que no puede
ser como dijo Newton porque sus predicciones, aunque increíblemente buenas, fallan
en algunos casos. Pero no tiene por qué ser como dijo Einstein, porque hay
muchas otras teorías alternativas no falsadas, como las supercuerdas. Ahora bien,
sería ridículo esgrimir esta discrepancia entre teorías para negar la racionalidad de
la ciencia o para a rmar que cualquier otra teoría puede ser también válida.
Esto nos permite apreciar en su justo valor las ideas de Kuhn. Dos mapas válidos
de una misma región pueden tener aspectos completamente distintos (así, una foto
de satélite y un mapa del metro). Puede por eso resultar muy difícil compararlos y
juzgar cual es mejor. Puede que ni siquiera haya uno que sea el mejor para todas
las aplicaciones. Pero si son válidos deben tener una correspondencia con la realidad,
y si esa correspondencia existe no pueden ser estrictamente inconmensurables.
Igualmente, la metáfora del mapa permite superar nalmente la dialéctica entre
realismo cientí co e instrumentalismo que nos ha perseguido todo el libro.
La cartografía proyecta la esfera terrestre sobre un plano y el resultado es un mapa.
La ciencia proyecta la realidad sobre nuestros conceptos, y el resultado es una
teoría. En lugar de puntos y líneas sobre el espacio euclídeo del plano, tenemos
magnitudes y leyes físicas en el espacio abstracto de las matemáticas. El mapa no
es el territorio, y las teorías no son la realidad. Pero además, si la cartogra a se
ve en di cultades porque una esfera no es un plano y es imposible encontrar una
proyección perfecta, ¾cómo va a poder la ciencia proyectar elmente nada menos
que la realidad, ese ente multidimensional e inimaginable, sobre el limitado espacio
que abarcan nuestros conceptos? Parece ingenuo pretender, como hace el realista
cientí co, que nuestras teorías cartografían con precisión la realidad. Pero parece
igualmente un error pensar, como el instrumentalista, que no nos dicen nada sobre
el territorio. Puede que sean burdos, pero son mapas. Y por indirecto, incompleto y
falible que sea el conocimiento que nos proporcionan, es un conocimiento real, y un
conocimiento perfeccionable.
